二项式定理2

解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x2的系 数是 C20(1)C31 (1)2C42 (1)3C53 20
解法2 运用等比数列求和公式得
原式 (x 1)[1 (x 1)5] (x 1) (x 1)6
1 (x 1)
x
在(x 1)6的展开式中,含有 x3 项的系数为 C63 20 所以 x2 的系数为-20
(a0 a1 a2 a7 ) f (1) (4)7 47
例题点评
求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设 二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等 式，再根据结果求值
求多项式的展开式中特定的项(系数)
例4 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
的展开式中,x2 的系数等于___________
求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6
(3) a0 a1 a2 a7
解:设f (x) (3x 1)7
f
f (1)
(1)
a0 a1 a2
a0 a1a2
a3 a7
a7
（3）因为a1, a3, a5, a7是负数
所以a0 a1 a2 a7
a0 a1 a2 a7
C80C84 C82C63 C84C42 C86C21 C88
=1107
例9 (x2 3x 2)5的展开式中 x 的系数是____2__4_0____
解：原式化为[( x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr1 C5r (x2 2)5r (3x)r
要使x的指数为1,只需r 1
T2 C51(x2 2)4 3x
a1a2
a3 a7
a7
2(a1 a3 a5 a7) f (1) f (1) 27 47
(1) a1 a3 a5 a7 26 213 8128
(2) a0 a2 a4 a6 f (1) (a1 a7 ) 8256
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例3已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 a6x a7
(a b)0
1
1 20
(a b)1
11
2 21
(a b)2
1 21
4 22
(a b)3
13 31
8 23
(a b)4 1 4 6 4 1 16 24
(a b)5 1 5 10 10 5 1 32 25
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 64 26
二项式系数有什么特点？
C 0 ,C 1 ,C 2 ,,C n
(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为:
针对(a+b)n的 标准形式而言
Tk 1 Cnkbnk ak ;Tk 1 Cnk ank (b)k
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr xr Cnn xn
二项式定理的逆用
例1 计算并求值
n
n
n
n
f(r) 20
令 f (r ) Cnr
14
定义域{0,1,2, … ,n}
当n= 6时,其图象是7个
6
孤立点
O 36
r
归纳提高 一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
性质1 (对称性)：
在二项展开式中，与首末两端“等距”的
两项的二项式系数相等。即
(1) 1 2Cn1 4Cn2 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
解(1):将原式变形
原式 Cn01n Cn11n1 2 Cn21n2 22
(1 2)n 3n
Cnn 2n
例1 计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 2nCnn
Cr n
C nr n
注：在杨辉三角表里，每一个数都等
于它肩上两个数的和
即:
Cr n1
C r1 n
Cnr
归纳提高
性质2(增减性与最大值)：
若n为偶数
n
中间一项（第 最大值；即最
2n
C2
1项）的二项式系数取得 大。
n
n
当r≤ 2 1时， Cnr单调递增；
当r≥
n 2
1时，
Cnr
单调递减；
归纳提高
CC22rr00
320r 320r
2r 2r
C r1 20
C r1 20
319r 321r
2r1 2r1
37 r 42 55
r 8
3(r 1) 2(20 r) 2(21 r) 3r
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
例题点评
求复杂的代数式的展开式中某项 (某项的系数),可以逐项分析求解, 常常对所给代数式进行化简,可以 减小计算量
例题 5:求( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6 项
的系数.
解(
x 1)6 的通项是 C6r (
x )6r
C xr
6r 2
6
(2x 1)5 的通项是
C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s ( x 1)6(2x 1)5 的通项是
640
例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算
求展开式中系数最大(小)的项
例6.在(2x 3)20的展开式中,求其项的最大系数 与最大二项式系数的比
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
C2r0 220r
3r
C r1 20
220r
1
3r
1
C2r0 220r
3r
15 x(x8 4 2x6 6 4x4 4 8x2 24 )
所以x的系数为15 24 240
例题点评 括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合 并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二 项式.
C 2 r1 20r1 20
3r1
11.6 r 12.6
系数最大的项是第13项 即C2102 28312
二项式系数最大的项为第11项,即
C10 20
所以它们的比是
C2102 28312 C2100
5 27 313 11
例 7 在 (3x 2y)20 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
二项式定理2
Cn0
,
Cn1
,
Cn2
,Cnr
,C
n n
复习提问
1.二项式定理的内容
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
2.二项式系数:
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
C
r n
,
C
n n
3.二项展开式的通项Tk+1= Cnk ank bk
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
解:(2)原式 C50 (x 1)5C51(x 1)4C52(x 1)3
C53(x 1)2 C54(x 1)C55 C55
[(x 1) 1]5 1 x5 1
逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只 有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用
性质2(增减性与最大值)：
中式若n间系为两数奇项相数（等第，且n同2 1、时n取2得1 最1 大项值）。的即二项
n1
n1
Cn2 Cn2
当r≤
n
2
1时，
C nr 单调递增；
当r≥
n
2
1
时，
C
rwk.baidu.comn
单调递减；
例题分析
例2．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数
的和为2n； （2） (a + b)n的展开式中，奇数项的二
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0 6, s 0 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
所以 x6 的系数为:
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
小结：求解二项式系数和时，灵活运用赋值
法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1。
归纳提高
性质3(各二项式系数的和) ：
C 0 C1 C 2 C n 2n
n
n
n
n
性质4(奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和)：
C0 C2 C4 C1 C3 C5
n
n
n
n
n
n
求奇数(次)项偶数(次)项系数的和
例3已知(3x 1)7 a0x7 a1x6 a6x a7
求(1)a1 a3 a5 a7 (2)a0 a2 a4 a6
(3) a0 a1 a2 a7
解:设f (x) (3x 1)7
f (1) a0
f (1) a0
a1 a2
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
由此确定r的取值
三项式转化为二项式
例8 求( x 1 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
( x 1 1 )8 [( x 1 ) 1]8
x
x
C80(
x
1 x
)8
C81
(
x
1 x
)7
C87
(
x
1 x
)
C88
再利用二项式定理逐项分析常数项得
观察猜想
(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn
展开式的二项式系数有什么变化规律？ 二项式系数最大的是哪一项？
研究它的一般规律，我们先来观察 n为特殊值时，二项展开式中二项式系 数有什么特点？
当 n 0,1,2, 时，求 (a b)n展开式的
二项式系数，及二项式系数的和。