平稳时间序列MA(q)模型的计算随机过程课程设计论文

课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目: 平稳时间序列MA(q)模型的计算学院：理学院专业：数学与应用数学班级：学生姓名：学生学号：指导教师：2013 年 12 月 10 日目录任务书 (3)摘要 (4)1.基本原理 (1)2.问题的分析与求解 (1)2.1 模型的识别 (1)2.1.1 MA(q)序列的自相关函数 (2)2.1.2 MA(q)序列的偏相关函数 (3)2.2 样本的自相关和偏相关函数 (5)2.2.1样本的自相关函数 (5)2.2.2 样本偏相关函数与自相关函数的关系 (6)2.3 模型的参数估计 (6)3.计算程序与结果 (7)4.确定模型阶数 (13)5.结论 (13)6.参考文献 (13)附录 (14)《随机过程》课程设计任务书姓名吕超学号2012027143 指导教师蔡吉花设计题目平稳时间序列的MA(q)模型的计算理论要点时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数和阶数，确定平稳时间序列模型的类型，看是否是要研究的MA（q）模型.然后运用此模型进行相关分析。

设计目标通过课程设计，独立完成所给出的课题。

通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码，加深计算理论知识的理解，培养计算软件开发的实践技能，提高分析解决具体问题的能力。

研究方法步骤①获取被观测系统时间序列数据。

②根据数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数和偏相关函数。

③判断该数据符合MA(q)模型,最后由参数估计求出MA(q)模型预期结果由已知的一组平稳时间序列的数据，编写matlab程序求出自相关函数和偏相关函数,并且画图判别平稳时间序列符合MA(q)模型,由参数估计求出MA(q)模型.计划与进步的安排课程安排一周，分 4 次完成：第一次（ 1 天）：审题并查找相关资料，第二次（2-3天）：对相关资料进行整理和分析，第三次 (4-6天)：编写程序进行求解并撰写论文，第四次（ 7 天）：对论文进行整体检查和排版。

参考资料[1]吴怀宇时间序列分析与综合武汉大学出版社[2]周荫清随机过程理论电子工业出版社[3]刘次华随机过程（第五版）华中科技大学出版社[4]田铮时间序列的理论与方法高等教育出版社施普林格出版社填写时间2013年12月15日摘 要时间序列是指按照时间先后的顺序排列的随机序列，或者说是定义在概率空间(,,)p Ω上的一串有序随机变量集合}{,0,1,...t X t =±，简记为{}t X ；它的每一个样本（现实）序列，是指按时间先后顺序对X 所反映的具体随机现象或系统进行观测或试验得到的一串动态数据}{,0,1,...t x t =±。

所谓时间序列分析，就是根据有序随机变量或者观测到的有序数据之间相互依赖所包含的信息，用概率统计方法定量的建立一个合适的数学模型，并根据这个模型对所相应序列所反映的过程或系统做出预报或进行控制。

本文主要研究自回归模型(线性模型)，首先对MA （q ）模型的理论作相关分析，包括模型的识别、模型的定阶方法、求样本的自（或偏）相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。

再通过引例，用Matlab 程序对化学反应过程中记录的浓度的197个数据进行分析，找出其变化规律，先将已知数据标准化，然后求出其变自相关函数和偏相关函数，再画出图像，根据图像判别相关函数的拖尾，截尾性，最后确定一个具体的MA （q ）模型。

关键字：平稳时间序列，自相关函数，偏相关函数，MA(q)模型平稳时间序列的MA(q)模型的计算1. 基本原理MA （q ）模型：设{}t X 为零均值的实平稳时间序列，阶数为q 的滑动平均模型定义为11t t t q t q a a a θθ--X =---(1.1)其中{},1,2,k k q θ=称为滑动平均系数，并简记公式(1)为()MA q 。

满足()MA q 的随机序列称为MA(q)序列。

用延迟算子表示，以上(1)公式可以写成()t t B a θX = (1.2)1()1q q B B B θθθ=--- (1.3)对于(1.2)中的()MA q 模型，若满足条件：()0B θ=的根全在单位圆外，即所有根的模于1，则称此条件为MA(q)模型的可逆性条件。

当模型满足可逆性条件时，1()B θ-存在，此时公式(2)可以写成1()t t a B θ-=X它称为逆转形势，模型(1.2)中的t X 可以看做是白噪声序列{}t a 输入线性系统中的输出。

对于一个平稳时间序列预测问题，首先要考虑的是寻求与它拟合最好的预测模型。

而模型的识别与阶数的确定则是选择模型的关键。

2. 问题的分析与求解要想运用平稳时间序列模型对实际生活中的问题进行预报和控制，首先我们得知道是哪类时间序列模型，然后才能运用此模型进行相关分析。

因此，如何判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数成为解决本问题的关键。

2.1 模型的识别由随机过程分析知，利用白噪声t a 的特性，对于任一相关随机时序{},0,1,...t X t =±，总可用一个互相独立的正态白噪声序列t a 经线性滤波作用而得到。

也就是说，以t a 为输入，由滤波器将t a “加权叠加”，给出输出时序t X 。

这种输入、输出及滤波器三者之间的关系可用模型112200(1)t t t t j t j j X a a a a θθθθ∞---==---==∑ （2.1）来描述，式（2.1）中(0,1,2,)j j θ=是实数权重，且0j j θ∞=<∞∑。

式（2.1）通常称为t a 的滑动和，t a 是将时序t X 用现在与过去时刻的白噪声t a 的加权和表出，并且是军方收敛的，特别的，当j q >时，0j θ=式（2.1）可以写成1122t t t t q t q X a a a a θθθ---=---- (2.2)将式（2.2）称为q 阶滑动平均模型，记作MA(q)。

显然，凡是满足MA(q)模型的时序X ，总是平稳的，而不论(1)j j q θ≤≤的值如何。

引入后移算子B ，有 ()t t X B a θ= (2.3) 式（2.3）中212()1q q B B B B θθθθ=----。

如果多项式()B θ可逆，即1()B θ-存在，则式（2.3）可以写成1()t t B X a θ-=将()B θ分解因式1()(1)qj j B v B θ==∏-于是11()()1qjt t tj jb B X Xv B αθ-===-∑式中(1)j b j q ≤≤为常数。

当1(1)j v j q <≤≤时，上式右边的每一项可展开成一个收敛级数。

由此可见MA(q)模型是可逆的。

显然，可逆的虫咬条件是1(1)j v j q <≤≤，或方程式212()10q q B B B B θθθθ=----=的根全在B 平面单位圆外。

为了将AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型加以区别，下特给出一个表，可快速的识别平稳时间序列属于哪类模型。

类别 模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程 ()t t B X a ϕ=()t t X B a θ= ()()t t B X B a ϕθ=平稳条件 ()0B ϕ=的根全 在单位圆外 无条件平稳 ()0B ϕ=的根全 在单位圆外自相关函数 拖尾 截尾 拖尾 偏相关函数截尾拖尾拖尾2.1.1 MA(q)序列的自相关函数设{t X }为零均值的是平稳时间序列，阶数为q 的自回归模型定义为11t t t q t q a a a θθ--X =---用t k -X 乘以上式两边，再取均值(由于序列的值为零，故自相关函数与协方差函数相同)，为了不致混淆，记所得协方差函数为k γ，则1111[][()()]k t t k t r q r q r k r k q r k q E E a a a a a a γθθθθ--------=X X =------1111[][][][]qqqqt t k j t t k j i t i t k i jt i t k jj i i j E a a E a a E a a E aa θθθθ--------=====--+∑∑∑∑利用 2,,[]0,.a s t t s E a a t s σ⎧==⎨≠⎩显然上式第二项对一切k 都为零，其余各项依赖于k (1) 当k =0时，有2222220111[][]qqtii ai ai i E a E a γθσθσ-===+=+∑∑ (2) 当1k q ≤≤时，有2222111[][]aqqk k t ki i kt k ai i k i k i k E a E a σγθθθθσθθ----=+=+=-+=-+∑∑(3) 当k q >时，右边四项都为0，此时0k γ=用0γ除以k γ得标准化自相关函数0/k ργγ=，简称它为自相关函数 综上可得()MA q 序列的协方差函数k γ和自相关函数k ρ2221211(1),0,(),1,0,,a q k a k k q q k k k q k q σθθγσθθθθθ+-⎧+++=⎪⎪=-+++≤≤⎨⎪>⎪⎩（2.4）112211,0,,1,10,.k k q q kk q k k q k q θθθθθρθθ+-⎧=⎪-++⎪=≤≤⎨+++⎪⎪>⎩（2.5）从（2.4）式看出，()MA q 序列的自相关函数k ρ在k q >时全为零，这种性质称为q 步截尾性，它表明()MA q 序列只有q 步相关性，即当||t s q ->时，s X 与t X 不相关，这是()MA q 模型所具有的本质特性，截尾处的k 值就是模型的阶数。

2.1.2 MA(q)序列的偏相关函数在零均值平稳时间序列中，给定k t k t t X X X -+--,,,11L 和k t X -之间的偏相关函数定义为222][][][][Xk t t kt tk t t X X E XE X E X X E σ---=.考虑用对x t 作最小方差来求MA(q)序列的偏相关函数kk ϕ，同时推出偏相关函数和自相关函数的关系。

为了使应满足方程组k ,2,1j ,0Qkj==∂∂ϕ 由[][][]ij ki k1j k1i kj j k1-j kj 0i t j t ki k 1j k1i kjjt tk 1j kj2t2k 1j j t kj t 22E E Q ---------=-∑∑∑∑∑∑∑+-=X X E +X X E -X=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X -X =γϕϕγϕγϕϕϕϕ于是k j Qi j ki kj j kj ,2,1,01==+-=∂∂--∑γϕγϕ等价于k j i j ki kjj ,,2,1,01==+---∑ρϕρ或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=---okk k k k k k kk k k k kk k k ρϕρϕρϕρρϕρϕρϕρρϕρϕρϕρ 0211102112112011, （2.6） 写成矩阵式为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----k k k k k k ϕϕϕρρρρρρρρρρρ212121112121111由（2.6） 式可得，由自相关函数的值可以求出偏相关函数.kk ϕ，系数可以由上式直接求解.现在给出求解kk ϕ的常用递推式：11111,111111,1,1,1,()(1),,1,2,,.k k k k k k j kj j kj j j k j kj k k k k j j k ϕρϕρρϕρϕϕϕϕϕ-++++-==++++-⎧=⎪⎪=--⎨⎪⎪=-=⎩∑∑2.2 样本的自相关和偏相关函数 2.2.1样本的自相关函数设有零均值平稳时间序列{t X }的一段样本观测值N x x x ,,,21 ,样本协方差函数定义为 ∑-=+-=k N i ki ikxx kN 1*1γ，1,,1,0-=N k .易知，*k γ是k γ的无偏估计，但不一定是非负定的，故常用如下估计式代替*k γ：∑-=+=k N i ki ikxx N11ˆγ，1,,1,0-=N k （2.7）同理样本自相关函数定义为0ˆˆˆγγρk k =，1,,1,0-=N k （2.8） （7）式是k γ的有偏估计，但{k γˆ}是非负定的.事实上，设当时或0≤>t N t ，0=t x ，对于任意的m 个实数m λλλ,,,21 有∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞-∞=+=∞-∞=++====∞-∞=-+==∞-∞=-+==--=-+==-≥=====t it mi i t jt it mi mj jim i m j t ij t tjimi mj t ij t tjim i mj ij N t ij t tjim i mj ij jixNx xNxx N xx N xx N 0)(11111ˆ2111111111111λλλλλλλλλγλλ实际问题中，N 一般取得较大（不少于50），故（2.7）近无偏的.由于（2.7）计误差随k 增大而增大，一般取k 4N <(常取10N k =左右). 2.2.2 样本偏相关函数与自相关函数的关系计算得出k ρˆ的值，进而可以得出kk ϕˆ的值。