第四章+能带理论

单电子势函数。

a

其中势函数V(r)具有布喇菲格子的周期性。在独立电子

近似中，每个电子都遵循具有周期势场的单电子薛定谔

方程，这样的电子称为布洛赫电子。

上述推导表明H和T

R (对所有R)是对易算符，它们应该

有相同的本征函数:

的定义，连续两次应用平移算符，其结果与先后顺序无关，即对任何有

根据上述关系，平移算符T

R

的本征值c(R)有如下关系：

的本征值必须满足：

(')()(')

C R R C R C R

+=

根据平移算符的定义：根据波函数的归一性：要求：

a i (i=1,2,3)表示布喇菲点阵的三个基矢，总可以适当

，使

i

·a j=2πδij

与平移算符本征值一一对应，可把k的取值限制在第一布里渊区。

布洛赫波函数并非动量算符的本征, 也不是其本征值

边第二项一般不为零来说明

并非布洛赫电子的真实动量，通常称其为赝动量。

与声子动量的比较？

的区域所允许的k点(许可态)的数目

(1)0

(2)22'

1()()L

ikx

k E k e V L E k k ?=

=∫∑h 考虑弱势场的作用，真正在晶格中存在的电子波应该是入射波加上周期性势场所产生的电子波的叠加。用微扰论推k=n π/a (n 为整数)时，满足布拉格条件，电子波被全反射。由于反射波和入射波具有同样的强度，只不过是方向相反了，因此发射波不能作为入射波的一个微扰来处理。

E g =2?V n ?

入射波和反射波线性叠加。

(0)(0)'()()()

k k x A x B x ψψψ=+为线性系数。

将线性叠加波函数代入薛定谔方程:

根据量子力学严格推导

2

()

ψ+2()ψ?2

ψ

由图看出，在允许取的E 值（能级）之间，有一些不允许取的E 值（能隙）。

f(E)函数图

f(E)

E

E ~ k 曲线与a 有关、与U 0b 乘积有关。乘积U 0b 反映了势垒的强弱。

()

02sin cos()cos()a maU b a ka a βββ??+=????

h 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大，与外层电子相比，它们的势垒强度较大。

?计算表明：U 0b 的数值越大所得到的能带越窄。

所以，内层电子的能带较窄。

E(k)

著《固体物理学》，P172。

E C >E

B

，能带发生交叠；E

B

>E

C

>E

A

，存在禁带E

g

=E

B

-E

C

。

度，根据定义，该能带对电流的电流密度的贡献上式累加对第一布里渊区内所有的状态进行。在上一节课，我们已E(k)=E(-k)，电子速度v(k)=-v(-k)状态的几率相等，因此处于电子对电流的贡献刚好互相抵消，该带对电流的贡献为零：()

n n k

j e v k =?∑所有的电子都以相同的速度沿电场相反的方向从

一个状态变到另一个状态。由于E(k)和倒格矢不变，尽管所有的电子都在作同方向的运动，但从布dk eF dt =?h

对于不满带：部分低能量状态被电子填充，其余高能量状态并无电子占据。在施加外场后，由于所有的状态代表点均向右移Δk ，电子填充能带对k 空间不再对称，电子对电流的贡献不再成对抵消，因此：

有外场的情况下：

结论：不满带中电子起导电作用。

()0

n n k

j e v k =?≠∑

绝缘体半导体半金属*

导体价电子，却是导体。

空穴概念的说明

设某一能带顶部有一波矢为k 的电子空缺而形成的电流为j

其中求和不包括k ′=k 的状态。由于满带电流为零，因此有

'

'(')

k j e v k =?∑()()0()

j e v k j ev k +?=?=上式表明空缺一个状态的能带的电流犹如一个带正电荷e ，具有空缺态电子的速度的“粒子”对电流的贡献，这一粒子称