第4章 能带理论

4.3 中心方程与能带
一、能带 中心方程系数行列式（这个行列式只能中中间写起）为零， 可以得到以下结论：
每给定一个k值，便可以得到一组Ek,
k1 k2
E1(k1), En(k1), … En(k1), …
E1(k2), E2(k2), … En(k2), …
能带是周期势函数中运动 的Bloch电子的必然属性, n是能带编号
金属中的准自由电子（价电子）模型
金属中的自由电子除去与离子实相互碰撞的瞬间外，无相互作用。 电子所受到的势能函数为常数。
电子波函数仍然为自由电子波函数 电子受到晶格的散射，当电子的波矢落到布里渊区 边界时，发生Bragg衍射
4.5 能带的空晶格模型
r (x) = |f
|2
f = Aeikx
金属、绝缘体、半导体的能带特征
Eg
导带 Eg 价带
金属
绝缘体
半导体
4.7布洛赫电子在外场中的运动
金属、绝缘体、半导体的能带特征
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
4.8计算能带的紧束缚方法
u (r R) e ik ( r R ) (r R) e ik r ( r ) u (r )
4.2 布洛赫（Bloch）定理
四、波矢k的物理意义
单电子波函数和本征值与k有关 hk不是电子动量的本征值 但波矢的变化表征了电子同其它准粒子相互作用或外场作用的动量变化
将周期势函数和布洛赫函数的周期函数部分作傅立叶展开
V (r ) VG eiGr
G
uk (r ) uG eiGr
G
结合上述结果并令傅立叶系数相等，可以得到
2
2m
(G k )uG (k ) VG 'uG-G' (k ) Ek uG －中心方程
G'
这是一组关于uG的线性齐次方程组，其非零解的条件是系数行列式为零
单电子周期势场示意图
4.2 布洛赫（Bloch）定理
一、Bloch定理内容
k ( r ) u k ( r )e
uk (r ) uk (r Rl ) Rl l1a1 l2a2 l3a3
ik r
uk(r): 与晶格平移周期一致的周期函数
(l1 , l2 , l3 )
为整数
4.6能带与原子能级劈裂

For the total number N of atoms in a soliຫໍສະໝຸດ Baidu (1023 cm–3), N energy levels split apart within a width E.
Two atoms
Six atoms Solid of N atoms
4.1 单电子近似
一、复杂性的起源－多体问题
晶体的总哈密顿量
薛定谔方程
ˆ (R , R H 1 2
RN a , r1 , r2
rNe ) E ( R1 , R2
RN a , r1 , r2
rNe )
问题：这个方程如何求解? 即便这个方程解存在，有意义吗？
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
4.1 单电子近似
二、晶体多粒子体系的简化方案之绝热近似
问题：绝热近似后，电子体系的哈密顿中含有电子 坐标的交叉项，薛定谔方程依然不能求解
困难依旧在
4.1 单电子近似
三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似
电子在周期势场中运动
若可以找到近似的势函数，使得体系的哈密顿量及薛定谔方程为：
周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性 由于电子波函数的空间位相有自 由电子波函数一项决定，Bragg 衍射同样发生 能带必然存在，能带结构是晶体 的必然属性
Bloch定理：
k (r ) uk (r )eikr
uk(r): 与晶格平移周期 一致的周期函数
E
(k)2 E 2m
k
f
r+ = 4A2cos2(kx)
ikx+ Ae-ikx = A e +
f
f = Ae-ikx
f = Aeikx
r－ = 4A2sin2(kx)
ikx- Ae-ikx = A e －
E
k(G/2) = (G/2)2时：
自由电子波满足Bragg 方程，行波不存在，代 之于驻波解，形成能带
第四章 能带理论 Energy Bond Theory
4.0 引言
一、基本内容 单电子近似的基本思想 布洛赫定理 金属自由电子的空晶格模型 能带的一般性 电子在外场中的运动 金属、半导体、绝缘体能带的差别 二、学习要点

熟练掌握以下内容 布洛赫定理及能带的一般性 能带的起因的物理解释，能带的一般特点 固体导电性与能带结构的关系
(k)2 E 2m
Resulted from r-
Eg
k
2p/a p/a 0 p/a 2p/a
Resulted from r+
4.5 能带的空晶格模型
能带结构是晶体的普遍属性
价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性
晶体中价电子可用被周期调制的 自由电子波函数描述
ˆ [ H
j
2
2me
2j V (rj )]
[
j
2
2me
2j V (rj )] (r1, r2 rN ) E (r1, r2 rN )
分离变量求解，获得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一 个方程，多电子问题化简为单电子问题
4.1 单电子近似
三、晶体多粒子体系的简化方案之单电子近似
4.2 布洛赫（Bloch）定理
二、Bloch定理的物理理解
||2必然具有同晶体一致的周期性
晶体具有平移周期性
uk(r)必然具有同晶体一致的周期性
波函数可以有任意常复数因子
价电子的基本特征： 1. 价电子的局域性 2. 价电子的非局域性
晶体中价电子可用被周期调制的 自由电子波函数描述
周期函数反映了电子的局域特性 自由电子波函数反映了电子的非 局域特性
4.4 能带的基本性质
一、
4.4 能带的基本性质
二、
4.4 能带的基本性质
能带的表示方法
Eg
Eg
周期区图示
简约区图示
4.4 能带的基本性质
能带的表示方法
每个能带的状态总数
由周期性边界条件可以得出 每个能带所能填充的能带总 数为单胞数目的2倍
周期区图示
4.5 能带的空晶格模型
物理上理解能带的一种方法
Electrons must occupy different energies due to Pauli Exclusion principle.
S带、P带、杂化带等说法
4.7布洛赫电子在外场中的运动
电子群速度与能带形状的关系
4.7布洛赫电子在外场中的运动
满带不能导电
4.7布洛赫电子在外场中的运动
4.2 布洛赫（Bloch）定理
二、Bloch定理的物理理解
布洛赫波示意图
4.2 布洛赫（Bloch）定理
三、Bloch定理的严格证明
引进平移算符
ˆ ( R) f (r ) f (r R) T ˆ ,T ˆ] 0 [H
平移算子和哈密顿可以有相同的本证函数，设平移算子的本证函数为：C(R)
五、波矢k的取值
周期性边界条件：
k (r Ni ai ) k (r )
k
i 1, 2,3
l l1 l b1 2 b2 3 b3 N1 N2 N3
4.3 中心方程与能带
一、中心方程
利用Bloch定理，可以将Bloch电子的薛定谔方程写为如下形式
2 2 ( i k ) V ( r ) 2m uk (r ) Ek uk (r )