3.1自主招生模拟训练
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1. （七宝中学自招）函数 y 2 x 1 的自变量 x 的取值范围是
。
1 x
2. （延安中学选拔）已知实数 a 满足 2010 a a 2011 a ，那么 a 20102
。
3. （ 华 师 一 附 中 ） 已 知 a、b、c 为 正 实 数 ， 且 满 足 b c a b a c k , 则 一 次 函 数
A
P
R
B
Q
C
【练习】
1、
实数
a
,
b,
c
满足：
b
2
a2
c2
bc
6a 3 bc 2a 1
0
,试求 a 的取值范围. 0
2、 若100a 64 和 201a 64 均为四位数，且均为完全平方数，求整数 a 的值.
-4-
3. 已知 a 3 1 2 7 ， b 3 1 2 7 ，则 a b
。
4
-1-wenku.baidu.com
11. 已知 y m 2 m 4 ,若 m 为整数，在使得 y 为完全平方数的所有 m 的值中，设 m 的最大值为 a ， 最小值为 b ，次小值为 c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全
平方数．）
（1）求 a、b、c 的值；
（2）对 a、b、c 进行如下操作：任取两个求其和再除以 2 ，同时求其差再除以 2 ，剩下的另一个
13. （七宝自招）等腰三角形的一腰长为 5cm ， 底边长为 6cm ， P 是底边上任意一点.则点 P 到两腰的
距离之和是
cm .
14. （2012 南模）如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上一点，过点 C 作圆 O 的切线交 AB 的延长线
于点 D ，若 ABC 70 ，则 D
。
33
33
4. 三个正方形 ABCD , CEFG , RKPF 的位置如图所示，点G 在线段 AK 上，正方形 CEFG 的边长为
4 ，则△ AEK 的面积为（
）。
A.14
B .16
C .18
D .20
A
D
G
B
C
5. 正实数 a1 , a2 , a3 ,, a2013 满足 a1 a2 a3 a2013 1 ，
数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所
得三个数的平方和等于 2015 ？证明你的结论．
12. （2015 建平）火车站里的自动扶梯用 2 分钟就可以把一个静止在扶梯上的人送上楼去。若自动扶梯不 动，人沿着扶梯走上去需用时 3 分钟，若此人沿着运动扶梯走上去，所需时间是 分钟。
最小值为
。
8. （复附自招） x y 336 的整数解有几组？
9. （南洋模范）如图， ABC 30 ， BC 4 ， D 是线段 BC 的中点， E 是射线 BA 上一动点，则
CE ED 的最小值为
。
AE
C
D
B
10. （华二自招试题）已知： x、y 为有理数，且满足 21 3 3 x y ，求 ( x, y)
a
c
b
y kx k 5 的图象一定经过
象限。
4.
（七宝中学自招）已知关于
x
的不等式组
5
x
2x 3 a0
无解，则
a
的取值范围是
。
5. （上中自招）已知 a 0 ，则 a 1 的最小值为
。
a
6. （华师一附中）正实数 x, y 满足 xy 1,那么 1 1 的最小值为
。
x4 9y4
7. （延安中学选拔）已知△ ABC 的三条高的比是 3 : 4 : 5 ，且三条边的长均为整数，则△ ABC 周长
20. （2015 七宝）求| x 1 | | x 1 | | y | 3 图像的面积。
-3-
21. （2014 复附）△ ABC 为等边三角形， P 从 A 到 B 用时1 秒，Q 从 B 到 C 用时 2 秒， R 从 C 到 A 用时 3 秒。若 P、Q、R 同时出发，问：时间 t 为何值时△ PQR 的面积最小？
。
C
A
O
BD
A
DG
EF H N
M
B
LK C
15. （2015 复附）如图，在△ ABC 中，正方形 DEFG 、 EHLB 、 NMKL 边长分别为 c、a、b ，求
a、b、c 满足的关系式为
。
-2-
16. （2010 格致）已知关于 x 的方程 x 2 (2k 3)x k 2 1 0 的两根 x1 , x2 , 若 x1 x2 3 ，则 k
设 P 3a1 1 3a2 1 3a2013 1 ，则（
）。
A.P 2014 B.P 2014 C.P 2014 D. P 与 2014 的大小关系不确定
FP RK E
-5-
的值为
。
17. （2015 七宝）已知 x 2 bx a 0 有一根为 x 1 ，求 a 2 b 2 的最小值。
18. （2014 交大）在前1000 个整数1，2，3，，1000 中，数码1 共出现了
次。
19. （2013 复附） 已知： a b c ， b c a ， c a b ，求 a b c 的值。
。
1 x
2. （延安中学选拔）已知实数 a 满足 2010 a a 2011 a ，那么 a 20102
。
3. （ 华 师 一 附 中 ） 已 知 a、b、c 为 正 实 数 ， 且 满 足 b c a b a c k , 则 一 次 函 数
A
P
R
B
Q
C
【练习】
1、
实数
a
,
b,
c
满足：
b
2
a2
c2
bc
6a 3 bc 2a 1
0
,试求 a 的取值范围. 0
2、 若100a 64 和 201a 64 均为四位数，且均为完全平方数，求整数 a 的值.
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3. 已知 a 3 1 2 7 ， b 3 1 2 7 ，则 a b
。
4
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11. 已知 y m 2 m 4 ,若 m 为整数，在使得 y 为完全平方数的所有 m 的值中，设 m 的最大值为 a ， 最小值为 b ，次小值为 c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全
平方数．）
（1）求 a、b、c 的值；
（2）对 a、b、c 进行如下操作：任取两个求其和再除以 2 ，同时求其差再除以 2 ，剩下的另一个
13. （七宝自招）等腰三角形的一腰长为 5cm ， 底边长为 6cm ， P 是底边上任意一点.则点 P 到两腰的
距离之和是
cm .
14. （2012 南模）如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上一点，过点 C 作圆 O 的切线交 AB 的延长线
于点 D ，若 ABC 70 ，则 D
。
33
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4. 三个正方形 ABCD , CEFG , RKPF 的位置如图所示，点G 在线段 AK 上，正方形 CEFG 的边长为
4 ，则△ AEK 的面积为（
）。
A.14
B .16
C .18
D .20
A
D
G
B
C
5. 正实数 a1 , a2 , a3 ,, a2013 满足 a1 a2 a3 a2013 1 ，
数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所
得三个数的平方和等于 2015 ？证明你的结论．
12. （2015 建平）火车站里的自动扶梯用 2 分钟就可以把一个静止在扶梯上的人送上楼去。若自动扶梯不 动，人沿着扶梯走上去需用时 3 分钟，若此人沿着运动扶梯走上去，所需时间是 分钟。
最小值为
。
8. （复附自招） x y 336 的整数解有几组？
9. （南洋模范）如图， ABC 30 ， BC 4 ， D 是线段 BC 的中点， E 是射线 BA 上一动点，则
CE ED 的最小值为
。
AE
C
D
B
10. （华二自招试题）已知： x、y 为有理数，且满足 21 3 3 x y ，求 ( x, y)
a
c
b
y kx k 5 的图象一定经过
象限。
4.
（七宝中学自招）已知关于
x
的不等式组
5
x
2x 3 a0
无解，则
a
的取值范围是
。
5. （上中自招）已知 a 0 ，则 a 1 的最小值为
。
a
6. （华师一附中）正实数 x, y 满足 xy 1,那么 1 1 的最小值为
。
x4 9y4
7. （延安中学选拔）已知△ ABC 的三条高的比是 3 : 4 : 5 ，且三条边的长均为整数，则△ ABC 周长
20. （2015 七宝）求| x 1 | | x 1 | | y | 3 图像的面积。
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21. （2014 复附）△ ABC 为等边三角形， P 从 A 到 B 用时1 秒，Q 从 B 到 C 用时 2 秒， R 从 C 到 A 用时 3 秒。若 P、Q、R 同时出发，问：时间 t 为何值时△ PQR 的面积最小？
。
C
A
O
BD
A
DG
EF H N
M
B
LK C
15. （2015 复附）如图，在△ ABC 中，正方形 DEFG 、 EHLB 、 NMKL 边长分别为 c、a、b ，求
a、b、c 满足的关系式为
。
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16. （2010 格致）已知关于 x 的方程 x 2 (2k 3)x k 2 1 0 的两根 x1 , x2 , 若 x1 x2 3 ，则 k
设 P 3a1 1 3a2 1 3a2013 1 ，则（
）。
A.P 2014 B.P 2014 C.P 2014 D. P 与 2014 的大小关系不确定
FP RK E
-5-
的值为
。
17. （2015 七宝）已知 x 2 bx a 0 有一根为 x 1 ，求 a 2 b 2 的最小值。
18. （2014 交大）在前1000 个整数1，2，3，，1000 中，数码1 共出现了
次。
19. （2013 复附） 已知： a b c ， b c a ， c a b ，求 a b c 的值。