四边支承矩形薄板自振频率计算

四边支承矩形薄板自振频率计算

1. 基本假定及振动微分方程

弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。板的振动理论是以以下几个假定为基础的：

1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。

2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。 3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。

在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：

022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂t

w

m y x w D y w D x w D （1） 等式中)

1(122

3ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。

微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1

y x W t B t A w m m m m m m ωω+=

∑

∞

=。被表示

成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消

除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：022224444

4=-∂∂+∂∂+∂∂W m y

x W

D y W D x W D ω (2) 2. 边界条件

振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，

其相应的边界条件为：

固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x x

W

； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0

==x W ，0)(022=∂∂=x x

W

；

自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((0

2333=∂∂∂-+∂∂=x y

x W

x W ν

对于四边支承板有如下6中不同边界条件：

（a ） （b ）

（c ） （d ）

（e ） （f ）

一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。对于四边简支矩形板板，一对边简支，另两边任意的矩形板，可以采用C.L.Navier 的重三角级数和M.Levy 的单三角级数经典解法，但代数运算和数值计算都比较繁琐。在工程应用时仍然不是很方便。由于最低自振频率对应的振形比较易于假定。因此能量法在工程中经常用来计算最低自振频率值。本文采用能量法推导出不同边界条件下最低自振频率计算公式。

3.能量法

能量法是由D.C.L.Rayleigh 提出的一个计算薄板最低自然频率的近似方法。其基本原理如下：当板以某一圆频率ω及其振形),(y x W 进行自由振动时它的瞬时挠度可以表示成为：

),()sin cos (),,(y x W t B t A t y x w ωω+= （3）

这里研究自振频率为主，假定不受外荷载作用；薄板发生自由振动时，当板经过平衡位置时，我们有

1cos ,0sin ,0±===t t w ωω，速度达到最大值为W ω±，这时板的形变势能为零，动能达到最大值，即：

dxdy W m T 2

2max 2

1ω⎰⎰=

（4） 当薄板振动距离平衡位置最远时，我们有0cos ,1sin ,=±=±=t t W w ωω，这时板的动能为零，而板的

形变势能为最大，即：

⎰⎰⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂--∇=dxdy y x w y w x w w D U 2222222

2max

)()1(2)(2ν （5）按照格林定理：可以推导出

⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂dxdy y x w y w x w 222222)( ⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=dy y w x w dx y x w x w 222 （6） 对于一个矩形薄板没有自由边，而只有简支边和固支边，则在x 为常量的边界上有0=dx 及02

2=∂∂y w

，

在y 为常量的边界上有0=dy 及

0=∂∂x

w

，则（6）可简化为得到 ⎰⎰∇=

dxdy w D U 2

2max )(2

（7）根据能量守恒定理，最大动能等于最大势能，即 max max T U = （8）利用该等式就可以求出自振频率。

4. 矩形薄板自振频率计算公式推导

采用能量法在工程中计算最低自振频率。一般来说，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要

满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中，已经用能量关系代替了平衡条件。当然，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低自振频率可以具有较好的精度。如果振形曲线是精确的，相应的振动频率也是精确值。如果振形曲线是近似值，相应的频率也是近似值。本文将根据假定振型函数推导6种不同边界条件的四边支承矩形板的自振频率计算公式 1）四边简支矩形板 四边简支板如图（a ）；取振形函数为C.L.Navier 提出的重三角级数：

b

x

n a x m C W mn n m ππsin

sin

1

1

∑

∑

∞

=∞

== 可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件），代入公式（4）（7）可以得到

2

112max 8

mn

n m C ab

m T ∑

∑∞

=∞==

ω， 2222221

1

4max )(8

b

n a m C abD

U mn

n m +=

∑

∑∞

=∞

=π

求最低频率，可以令1==n m 由0max max =-T U 得到：

m

D

b a )

11(

2221+=πω。 四边简支板采用的振形函数是精确的，振形函数不仅能满足位移边界条件，还满足内力边界条件；计算得到的振动频率也是精确解。 2三边简支一边固支