矩形薄板的振动

整理后，可得
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
4.91
M
x
0 M y
Qy 1 M y dx ( M y dx dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx) 0 x
2 1m 2
的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程 式，从而求出固有频率。
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连续系统的振动
【例4.6】求解四边简支矩形薄板的自由振动 【解】本题边界条件为
Wx 0 Wx a Wy 0 Wy b
m 1 n 1
2W 2W 0, ( 2 ) x 0 ( 2 ) x a 0 x x 2W 2W 0, ( 2 ) y 0 ( 2 ) y b 0 x x
（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；
（3）自由面上的应力为零； （4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，
即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。 2014年3月15日
《振动力学》
3
连续系统的振动
4.3.1 矩形薄板的横向振动 1.振动微分方程 为了建立应力、应变和位移之间的关系，现取一空间直 角坐标系Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的
k
h
2
4.101
来说精确解是难于找到的。 为了寻求一个封闭解，现考察在什么条件下，式（4.100）可 用分离变量法来求解。
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连续系统的振动
令
W ( x, y) X ( x)Y ( y)
将上式代入式（4.100）中，可得
4 X ( x) 2 X ( x) 2Y ( y ) 4Y ( y ) 4 Y ( y) 2 X ( x ) k X ( x)Y ( y ) 0 4 2 2 4 x x y y （4.102）
ua z w x w va z y wa w (高阶小量)
4.88
5
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连续系统的振动
根据弹性力学中应变与位移的几何关系可以求出各点 的三个主要是应变分量为
ua 2w x z 2 x x va 2w y z 2 y y 4.89 ua va 2w 2 z y x xy
2M y
4.94
因
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M x x zdz h M y 2h y zdz 2 h M xy M yx 2h xy zdz 2
h 2 h 2
4.95
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连续系统的振动
将式（4.90）代入式（4.95），积分后得
2w 2w M x D( 2 2 ) x y 2w 2w M y D( 2 2 ) y x 2w M xy D(1 ) xy
4.96
再将式（4.96）代入式（4.94），即可得到薄板微元的运动
4.103a 4.103b
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连续系统的振动
现讨论式（4.103a）中，首先要满足边界条件，设
4 X ( x) 4 X 4 x 2 X ( x) 2 X 2 x
4.104a 4.104b
根据上两式，有
X ( x) sin
m x ,0<x<a,m=1,2 a
4.109
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连续系统的振动
令
Wm ( x,y ) Ym (y)sin
m x a
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代入式（4.100）有 m 4 m x m 2 m x ( ) sin Ym -2( ) sin Ym a a a a m x m x 4 -k sin + sin Ym Ym 0 a a 即为 m 2 4 m 2 Ym -2( ) Ym - k -( ) Ym 0 a a 上式的解为
a b
设 W x, y Amn sin m x sin n x 则满足边界条件。将上式代入方程（4.100），得
2 2 m 2 m x n x n 4 A k sin sin 0 mn a b m 1 n 1 a b
2 4 Y Y 4 4 2 ( k ) XY 2 X 2 X 4 0 x y
即有
2 4Y Y 2 4 4 2 ( k )Y 0 4 2 y x
4.106
于是变量得到了分离，要满足式（4.105）的三角函数为
sin x X ( x) cos x
微分方程为
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 P ( x, y ) f (t ) x y y t x
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4.97
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连续系统的振动
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 P ( x, y ) f (t ) x y y t x
上式可改写为
2 2 4 4 X ( x) X Y Y 4 ( k X )Y 2 2 2 X 4 0 4 x x y y 2 2 4 4Y ( x) X Y X 4 ( k Y)X 2 2 2 Y 4 0 4 y x y x
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连续系统的振动
整理后，可得
M xy M x Qy x y
4.92
M
y
0
M yx Mx ( M x dy dxdy ) M x dy ( M yx dx dxdy ) M yx dx x y Qx 1 1 (Qx dy dxdy ) dx Qx dy dx 0 x 2 2
图 4.28
xy
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连续系统的振动
再根据胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：
E Ez 2 w 2w x ( x y ) ( 2 2 ) 2 2 1 1 x y E Ez 2 w 2w y ( ) ( ) y x 1 2 1 2 y 2 x 2 Ez 2 w xy G xy 1 xy
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连续系统的振动
整理后，可得
M M yx Qx 4.93 x y 将式（4.92）、式（4.93）代入式（4.91）得
Mx 2w 2 P( x, t ) f (t ) h 2 2 2 x xy y t
2
M yx
连续系统的振动
多自由度系统的振动
教学内容
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连续系统的振动
4.3 薄板的振动 在工程结构中，除梁、柱基本构件外，还经常会遇到一 种板的基本构件。在本节中将简单介绍薄板的振动问题。 薄板是指其厚度要比长、宽这两方面的尺寸小得多板， 薄板在上下表面之间存在着一对称平面，此平面称为中面， 且假定： （1）板的材料由各向同性弹性材料组成；
4 X ( x) 2 4 X X 4 x
4 X ( x) 4 X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
则-α4=β4，故有
4.105
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连续系统的振动
将上两式代入式（4.103a）中，可写为
4.97
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。 2. 矩形板横向振动微分方程的解 矩形板的横向自由振动的微分方程为
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 0 x y y t x
4.98
此方称同样可应用分离法来求解，设解为
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连续系统的振动
i x j y sin dxdy ，并对整个面积进行积分 a b 2 2 2 ，并考虑 m n k 4 ，则得固有频率为 a b
将上式两边乘以 sin
mn
中面位置上，如图4.27所示。设板上任意一点a的位置，将
由变形前的坐标 x、y、z来确定。
2014年3月15日
图 4.27
4
连续系统的振动
根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互 独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移
w(x,y,t)所决定。
根据假定（3），可认为处处为零。 根据假定（4），剪切应变分量 不难看出，板上任意一点a(x,y,z)沿x,y,z三个方向的位 移分量u,v,w分别为
4.90
现画薄板微元的受力图如图4.28所示。
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连续系统的振动
图4.28中Mx、 Mxy和 Qx、My、Myx和Qy分别为OB面、 OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩
和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、
σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。 p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴 方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力
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4.107
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连续系统的振动
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
sin y Y ( y) cos y
4.108
现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和 x=a边为简支，则满足此边界的条件β=mπ/α，故式(4.107)可写 为
Ym (y)=C1mch(1m y)+C2 msh(1m y)+C3mcos(2 m y)+C4 msin(2 m y)
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（4.110）
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连续系统的振动
式中
m 2 k ( ) , a m 2 2 2 2m k ( ) a 再由y=0及y=b的边界条件，由式（4.110）可求得Cim(i=1,2,34)
2w h 2 dxdy t
，则有
z
F
0 Qy x dydx Qx dy Qy dx Qx dydx Qy dx y
8
Qx dy
2 w 2014年3月15 日 P( x, y ) f (t )dydx h 2 dydx 0 t 《振动力学》
连续系统的振动
w( x, y, t ) W ( x, y ) cos t
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4.99
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连续系统的振动
将式（4.99）代入式（4.98）可得
4w 4w 4w 4 2 k W 0 4 2 2 4 x x y y
4.100
式中
D 再根据板的边界条件来求解固有频率。注意到对于一般边界条件
D 2 k h
D h
m 2 n 2 a b