圆形薄板的横向振动学习资料
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第十五章--薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
得常微分方程
d2 F d r2
或
2 r2
1 r
r
1 r2
2
2
2
W
0
取振形函数为如下的形式：
W F(r) cosn
其中n=0，1，2，…。相应于n＝0，振形是轴对 称的。相应于n＝1, 2；圆板的环向围线将分别 具有一个及两个波，板的中面将分别具有一根 或两根径向节线，余类推。将上式代入式
(1)试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。
(2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。
当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这
时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
kx ny
Dkn sin a sin b
Ckn
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到 （7-94） 其中 式(7-88)可改写为 （7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
（7-96）
（7-97）
设主振型
（7-98）
其中
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下 ①固定边 （7-90） ②简支边 （7-91） ③自由边 （7-92） （7-50） （7-49） （7-48）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为
（7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为 （7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
弹性力学圆形薄板.ppt
所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
（解题思路→A、B、C、K）
A2 B2 ln C ln K q4
64D
3、典型问题的边界分析
※ 对于无孔圆板受均布载荷的问题
由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
d2 d 2
d d
Εz
1 2
1
d d
d2 d 2
0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微
分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，
由边界条件来决定。
对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。
得特解 ω1=q ρ 4/64D
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx
M
yx
M yx x
d
x
M yx A
M yx A
M yx d x x
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 M yx d x
x
边界上的总的分布剪力为
Vy
Qy
M yx x
d
x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也
就是有集中反力）M yx A M yx B
yz
0
u w 0 w v 0
z x
y z
u w 0 v w
z x
z y
u
w x
z
f1 ( x,
y)
v
w y
z
f2 ( x,
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
非线性弹性地基上圆形薄板主参数共振研究
维普资讯
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
第２ Ｏ卷 第 ６期 ２０ ０ ７年 儿 月
唐 山 学 院 学 报
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＴａ ｇ ｈ ｎ Ｃ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｓ ａ ｏ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｖ０ ． Ｏ Ｎｏ ６ Ｉ２ ．
ＮＯＶ ０ ．２ ０７
非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形薄 板 主 参 数 共振 研究
ｐ ｒ ｍｅ ｒ ｃｒ ｓ ｎａ ｃ ；ｃｒ ｕｌｒ ｐｌ ｔ ａ ａ ｔ ｉ ｅ ｏ ｎ ｅ ｉｃ ａ ａ ｅ
０ 引 言
近年 来 ． 同 几 何 特 性 板 的非 线 性 振 动 得 到 了 人 们 广 泛 不
本 文 研 究 一 个 置 于 非 线 性地 基 上 圆板 的参 数 共 振 问题 。
ｌ 非 线 性 弹 性 地 基 上 圆 形 薄 板 受 简 谐 激 励
的 基 本 方 程
考 虑 图 １ 示 的周 边 固定 的 圆形 薄板 ． 厚 为 ｈ 半 径 为 所 板 。 Ｒ， 其 周 边 上 均 匀 分 布 简 谐 压 力 Ⅳｒ 。 在 —ｎ ＋ ｃｓ ｔ考 虑 非 ｏＳ ．
关键词 ： 非线 性地基 ； ａｅｋｎ方法 ； Ｇ ｌｒ ｉ 多尺度 法 ； 主参 数 共振 ； 圆板
中图分 类号 ： ２ 文献标 识码 ： ０３ １ Ａ 文章编 号 ：６ ２—３ ９ ２ ０ ） ６ ０ １ ４ １７ ４ Ｘ（０ ７ ０ —０ ０ —０
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｉ ａ ｙ Ｐａ ａ ｅ ｒ ｃ Ｒｅ ｏ ｎ ｅ ｔ ｄ ｎ Ｐｒ ｍ ｒ ｒ ｍ ｔ ｉ ｓ ｎａ ｃ
杨 志 安
（ 山学 院 唐 山市 结 构 与振 动工 程 重 点 实 验 室 ． 北 唐 山 ０ ３ ０ ） 唐 河 ６ ００
摘要 ： 究非 线性地 基 上 圆形 薄板 受简谐 激励 的非 线性振 动 问题 。按 照 弹性 力 学理 论 建 立 非线 性 研 地基 上 圆形 薄板 受简谐 激 励 的动 力学 方 程 ， 利用 Ｇａｅｋｎ方 法将 其 转 化 为 非 线 性振 动方 程 ， 方 ｌｒ ｉ 该 程是 马休 型方 程 。应用 非 线性 振 动 的 多尺 度 法 求 得 系 统 主参 数 共 振 的近似 解 ， 并进 行 数 值 计 算。 分析 阻尼 、 地基 系数 、 何参 数 等对 共振 响应 曲线 的影 响。 几
板壳理论 课件 chapter2 弹性薄板的稳定和振动
2D
2
(2.2.7)
其中
m r K r m
2
, r
a b
(2.2.8)
利用dK/dr=0，可知r=m当时K值最小，其最小值为K=4，因而最 小的临界屈曲应力为：
s x cr
4 2 D 2 b h
(2.2.9)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
应该注意到，当n=1, r=m时，sx具有最小值，这说明当板屈曲时， 在受压方向上可能形成几个半波，而在y轴方向则只有一个半波， 且(2.2.9)式仅当a/b为整数时才成立。 当a/b非常小时，(2.2.7)式括号内的第二项恒小于第一项，只要使括 号内的第一项取最小值m=1 ，即得sx的最小临界值。
(2.1.1)
y
Qx q0 x y
将(2.1.1)式的前两式一并代入第三式有：
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 x y x2 y2
(2.1.2)
第二章 弹性薄板的稳定和振动
将(1.2.4)代入(2.1.2)式中有：
4 w 4w 4w D w D w D 4 2 2 2 q x x y y4
图2.3 单向受压板
第二章 弹性薄板的稳定和振动
如以受压为正，且取代入方程(2.1.13)中，即得这一问题的 屈曲控制方程为： 边界条件是：
2w D w N x 0 2 x
4
(2.2.1)
2w x 0, a: w 0 2 x 2w y 0, b: w 0 y2
2 xy 2 w 2 w 2 w x 2 2 x y x 2 y 2 x y y x
第二章 薄板振动分析
第二章 薄板的振动问题
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
§2-1 薄板的自由振动
等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为
4w
m D
2w t 2
px, y,t
D
（1）
其中 m 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。
首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题
4w m 2w 0 D t 2
（2）
令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得
wt
ab 00
mx ny
0 sin a sin b
w sin mx st t0a来自dxdy cosmnt
in
ny
b
dxdy
sinmnt
s
in
mx
asinny
b
讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题：
•分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有 值存在；
•方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性； •非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能 用固有函数展开成平均收敛的级数。
2
2
dW dr
d2W dr 2
dr
对于夹支圆形薄板，可简化为
（7）
UW
Dr
d2W dr 2
2
1 r
dW dr
2
dr
（8）
设薄板振形泛函为
4W 2 m W 0
D
U
W
2
1 2
m
W
2dxdy
（9）
其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以 导出方程（4）。
为了求固有频率或固有函数的近似解，设
32D
3a2
2m
板壳理论 15
2
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度
现讨论特征根
m 2 2 m 2 2 2 , 2 2 2 a a
薄板的振动问题
板壳理论
14
则微分方程的解可以写成
Ym C1 cosh y C2 sinh y C3 cos y C4 sin y
其中
振形函数
m 2 2 m m 2 2 2 2 , a D a
m 1 n 1
A11
Amn 0 (m 1, n 1), Bmn 0
min 11 2
1 1 D x y w cos 2 2 2 t sin sin a b a b m
板壳理论
薄板的振动问题
12
2 wt at 2 t 2 wt qi m t 2
wt wt ( x, y, t )
其中qi — 薄板的惯性力（单位面 积）
其中m — 薄板单位面积的质量
D 4 we q
2 we 0 t 2
2 wt D ( wt we ) m 2 t 2 4 D ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
其中Ym为常系数
W 0
W
2m
D
则有
m 4 4 D 4 a m
2
m 2 2 a
D m
当两边不全是自由边，则其振动自然频率则有
2m
D
4
m 2 2 2 a
D m
2
D m 2 2 2 m a
D m
m 2 2 2 a
m 2 2 m 2 2 2 2 , i 2 a a
板壳理论
薄板的振动问题
11
例如：设初速度
汽车振动分析与测试课件 第10讲 圆形薄板的自由振动
0
上述微分方程的解就是下列两个微分方程通解之和
2
r
2
1 r
r
1 r2
2
2
2
f
(r, )
0
采用分离变量法来解上述两个微分方程。设它们的解为 w(r, ) R(r)F( )
代入微分方程可得
r2
d2R
dr 2
1 r
dR 1
dr
R
2
1 F
d2F
d 2
d2F k2F 0
于是 d 2
(6-123)
因 wm (x, y)是方程(6-116)的解，故有 D4wm (x, y) h2wm (x, y) (6-124)
将上式代入式(6-123)，可得 m (t) m2 m (t) hwm (x, y) q(x, y,t) m1
为了使这个方程解耦，要利用到薄板故有振型的一个正交关系，即
Jn
(a)
dIn dr
(a)
dJn dr
(a)In
(a）=
0
(6-100)
2009-2
山东理工大学 交通与车辆工程学院
3
下表列出了方程的前16个的 amn 值。
利用下列两个恒等式
a
dJ n dr
(a)
nJn (a)
aJ n 1 ( a)
a
dIn dr
(a)
nIn
(a)
aI n 1 ( a)
可以将方程(6-100)改写为
n b
2
D h
由题意得 q(x, y,t) q0 (t t1)
周边铰支矩形薄板
利用式(6-134)，可得
M mn
h
sin
m a
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直
法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方
向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小
得多。
在 假 定 （ａ）、（ｂ ）、（ｃ）下 建 立 的 平 板 理 论 一 般 称 为 泊 松 — 克 希 霍 夫
）ｙ＝ｙ０
＝
０，ｋΦ
鄣ｗ 鄣ｙ
＋Ｄ
鄣２ｗ 鄣ｙ２
＋μＤ
鄣２ｗ 鄣ｘ２
＝０
ｙ＝ｙ０
（２ｅ）
３、矩形薄板自由振动的解
设方程（１）的解为：
ｗ （ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ （ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）
（３）
式中 Ｗ （ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：
鄣４Ｗ 鄣ｘ４
＋2
鄣４Ｗ 鄣ｘ２鄣ｙ２
＋
鄣４Ｗ 鄣ｙ４
挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件
的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条
件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。
参考文献 ［1］黄炎.弹性薄板理论［M］.北京：国防科学技术大学出版社，1992 ［2］曹志远.板壳振动理论［M］.北京：中国铁道出版社，1989 ［3］张英世，刘宗德.矩形薄板的横向振动［J］.工程力学，1997 增刊: 515- 518
－α４Ｗ ＝０
（４）
式中：α４＝ω２ ρh D
Ｗ （ｘ，ｙ）为 ｘ，ｙ 的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的
边界条件写出 Ｗ （ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出
Ｗ （ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
板的振动
薄板的横向振动
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
1.薄板横向振动微分方程
2.薄板的边界条件
中面 当薄板弯曲变形时，中间弯成曲面，称为弹性曲面 板上任意一点沿x、y、z方向的位移分别用u、v、w表 示，其中w称为横向位移或挠度
克希霍夫的薄板理论有下面几个基本假设： （1）变形前与中面垂直的法线在板弯曲时仍保持为直线并 与弹性曲面垂直。这个假设称为直法线假设，它表示横向 剪切变形 xz yz 被忽略不计，虽然横向剪应力 yz 并不为零。 及 xz （2）板弯曲时板内的应力以弯曲应力 为主，而 为次要应力， 为更次要应力。 （3）板弯曲时厚度的变化略去不计。这表示 ，于 是与中面垂直的直线上各点都具有相同的横向位移w，即w 与z无关。 （4）板的挠度w比板的厚度h小得多。由这个假设认为，板 弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面，因而中面内各 点都没有平行于中面的位移。
7.2 薄板的边界条件
1.固定边 薄板在AD边上的挠度为零，绕y轴的转角为零，因此AD边的边界条件为
w x 0 0
w x
x 0
0
（7.17）
2.简支边 薄板在AD边上的挠度为零，弯矩M x 为零，由式（7.11），AD边的边界 条件为
2w 2w w x 0 0，（ 2 2 ）x 0 0 x y
v 2w y z 2 z y y y
z z x y x y xy
2w x 2 x
y
2w 2 y
x y
2w 2 xy
（7.2）
图7-3
h
2w t 2
中面取出一矩形微元ABCD，弯曲变形 后成为曲面A’B’C’D’，如右图所示， 这个弹性曲面沿x、y方向的倾角分别为
在薄板中取一截面与oxz平面平行
第三章板壳理论
m W D W
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
板的振动
kn
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
s in knt )
sin
kx
a
sin
ny
b
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动
取振形函数为
x
W
Yk
sin
kx
a
其中Yk是待定的y的函数。W可 以满足该两简支边的边界条件。
将其代入振形微分方程
y
4W 4W 0
得出常微分方程
其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种 及第二种贝塞尔函数，In(x)及kn(x)分别为虚宗量 的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数（又称修 正贝塞尔函数）。
贝塞尔函数
将上式代入
W F(r) cosn
即得振形函数如下：
W (C1Jn (x) C2Nn (x) C3In (x) C4Kn (x)) cos n
4 ab
a 0
b
kx ny
0 w0 sin a sin b d x d y
Dkn
4 ab
a 0
b 0
v0
sin
kx
a
sin
ny
b
d
x
d
y
根据初始条件为
(w)t0 w0( x, y)
可得
w t
t0
v0( x,
y)
Akn Ckn
Bkn
Dkn
kn
w
k 1 n1
(Ckn
cosknt
Dkn
薄板的总挠度为
w
k 1 n1
(
Akn
cosknt
Bkn
sin
k nt )
sin
第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程
4W 4W 0
得到
4 k 2 n 2 2 kx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
2 2 D k n 2 min a 2 b2 m
1 D 1 2 2 b m a
2
与此相应，薄板振动的振形函数为
W11 sin
x
a
sin
y
b
而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最 大挠度发生在薄板的中央(x＝a／2，y＝b／2)。
( w) y 0 0 ( w) y b 0 2w y 2 0 y 0 w y 0 y b
将W的表达式代入(γ2>k2π2/a2)，得到Cl至 C4的齐次 线性方程组，
C1 C2 0
2C1 2 0 ch bC1 sh bC2 cos b ch bC3 sin b ch bC4 0 sh bC1 ch bC2 sin bC3 cos bC4 0
第2章 膜的横振动
Tdy cos Tdy cos 0 T T
z方向(横向)力分量：
dy
dx T T x
Fzx Tdy sin Tdy sin
小振动近似：
u u sin tan ;sin tan x x x x dx
The (3,1) and (1,3) Modes
17
2.2 圆形膜的对称本振振动模式
振动方程
x r cos; y r sin
1 2u 2u 2u 2 2 0 2 2 c t x y
y
(r,) x
1 u 1 2u 1 2u 2 2 0 r 2 2 r r r r c t
相应的振动模式
xn un (r ) AJ 0 a
r
22
n=1
x1 u1 (r ) AJ 0 r a
圆心r=0, 极大。 n=2
a
x2 u2 (r ) AJ 0 a
节线位置
r
a
x2 x1 2.405 r1 x1 r1 a a 0.436a a x2 5.520
26
利用关系
xJ
得到膜的平均位移
0
( x)dx xJ1 ( x)
2n J n 1 ( x) J n ( x) J n 1 ( x) x
p0 J 2 ( a / c) u (t ) 2 exp(it ) k T J 0 (a / c)
共振频率
J 0 (a / c) 0
X ( x)Y ( y) X ( x)Y ( y) k 2 X ( x)( y) 0 X ( x) x 0,l Y ( y) 0; Y ( y) y 0,l X ( x) 0
圆形薄板的横向振动学习资料27页PPT
圆形薄板的横向振动学习资料
6
、露ຫໍສະໝຸດ 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
6
、露ຫໍສະໝຸດ 凝无游氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
ansys圆板的自由振动分析PPT(20页)
November 23, 2020
后处理
1、查看模态
使用【Model】的后处理模块查 看5阶自由振动的状态。单击工程 树下的【SolutionA6】,出现下 方结果栏，右键结果->【Select All】->再次右键结果-> 【Create Mode Shape Results】，结果如图所示。
此时工程树如下图所示。
16
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November 23, 2020
后处理
2、对模态结果进行评估
右键【SolutionA6】-> 【Evaluate All Results】，结果 如图。
17
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November 23, 2020
一阶模态
后处理
二阶模态
18
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算例来源：ANSYS 算例制作： 算例校核： 关 键 词：自由振动
1
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November 23, 2020
目录
2
© 2017 ANSYS, Inc.
November 23, 2020
摘要
对于一个圆板件的自由振动问题进行仿真分析工程。通过有限元的 计算模态分析方法，每一阶段对应一个模态，每个阶次都有自己特定的 频率、阻尼、模态参数。
7
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November 23, 2020
前处理
2、几何模型
在【Geometry】单元格中，点击右键选择【Import Geometry】-> 【Browse】，选择圆板.x_t文件。双击【Geometry】单元格打开几何体，如 下图所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用
y
极坐标最方便，如图7-17所示。
P
极坐标与直角坐标的关系为
由此得到
a
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86） （7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
设主振型
（7-96） （7-97） （7-98）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 在极坐标系中成为
其中
（7-47） （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下
固定边
（7-105）
简支边
（7-106）
自由边
பைடு நூலகம்
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程: 当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
f(x)
200
150
100
①固定边
（7-90）
（7-48）
②简支边
（7-91）
（7-49）
③自由边
（7-92）
（7-50）
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到
（7-94）
其中 式(7-88)可改写为
（7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
50
0
-50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为 （7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为
（7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：
7.6 圆形薄板的横向振动
分析圆形薄板的横向振动，采用
y
极坐标最方便，如图7-17所示。
P
极坐标与直角坐标的关系为
由此得到
a
O
x
7.6 圆形薄板的横向振动
利用上述关系，可以得出
（7-85）
7.6 圆形薄板的横向振动
同样能得出
（7-86） （7-87）
7.6 圆形薄板的横向振动
因而下列两个方程的解是式（7-94）的解
设主振型
（7-96） （7-97） （7-98）
7.6 圆形薄板的横向振动
为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于n=1及n=2，圆板 的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分 别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，……也以此类推。 将式（7-98）代入式（7-96）及式（7-97），得到下列两 个常微分方程：
于是，式（7-46）所示的薄板振动方程 在极坐标系中成为
其中
（7-47） （7-88）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-42）
（7-45）
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-89）
7.6 圆形薄板的横向振动
对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定 圆板半径为a，那么在r=a处相应的边界条件分类如下
固定边
（7-105）
简支边
（7-106）
自由边
பைடு நூலகம்
（7-107）
7.6 圆形薄板的横向振动
例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节 径）时较低的前三阶固有频率。
7.6 圆形薄板的横向振动
频率方程: 当n=0时，圆板不出现节径，上式为
7.6 圆形薄板的横向振动
f(x)
200
150
100
①固定边
（7-90）
（7-48）
②简支边
（7-91）
（7-49）
③自由边
（7-92）
（7-50）
7.6 圆形薄板的横向振动
现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为
（7-93） 代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到
（7-94）
其中 式(7-88)可改写为
（7-95）
7.6 圆形薄板的横向振动
50
0
-50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
r
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
圆板的固有频率通常表示为
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
7.6 圆形薄板的横向振动
（7-99）
（7-100）
7.6 圆形薄板的横向振动
式（7-99）为n阶贝塞尔方程，其通解为
（7-101）
式（7-100）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为 （7-102）
7.6 圆形薄板的横向振动
这样，式（7-94）的通解为
（7-103）
（7-104）
7.6 圆形薄板的横向振动
R（r）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（798）代入式（7-93），然后再代入式（7-90）至式（792），得出以下边界条件：