(word完整版)初一数学分类讨论思想例题分析及练习
第一编 数学思想方法 第三讲 分类讨论思想 Word版含解析
第三讲 分类讨论思想思想方法解读考点由概念、法则、公式引起的分类讨论典例1 (1)2015·福建高考]若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2(a>0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析]因为f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x>2，所以当x ≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a>1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案] (1,2](2)已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n＋a na n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝________.解析] 由题意可得，S n >0，因为S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，所以S n ＝S n －1＋a 1，即数列{S n }是以S 1＝a 1为首项，以a 1为公差的等差数列，所以S n ＝n a 1，所以S n ＝n 2a 1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2a 1－(n －1)2a 1＝(2n －1)a 1，当n ＝1时，适合上式，所以b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝1＋22n －1＋1－22n ＋1＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋4n 2n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 答案] 4n 2＋6n2n ＋1四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．【针对训练1】 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即5(a 1＋2d)·a 1＝(2a 1＋2d ＋2)2 d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4， 所以a n ＝－n ＋11或a n ＝4n ＋6. (2)设数列{a n }前n 项和为S n ，因为d<0，所以d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 由a n ≥0，即－n ＋11≥0得n ≤11. 所以当n ≤11时，a n ≥0，n ≥12时，a n <0.所以n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ； n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－a 12－…－a n ＝S 11－(S n －S 11)＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.考点由参数变化引起的分类讨论典例2 2015·江苏高考]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求c 的值．解] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3. 当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2>0(x ≠0)，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时，x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞时，f ′(x )>0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减．(2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<b <－427a 3.又b ＝c －a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，427a 3－a ＋c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，427a 3－a ＋c <0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )<0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上g (a )>0均恒成立，从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)x 2＋(a －1)x ＋1－a ]， 因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 综上c ＝1.1．变量或参数变化时常见的分类讨论(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论． (2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k 存在和不存在，直线截距式中按截距b ＝0和b ≠0分类讨论．2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”． (2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．【针对训练2】 2016·四川高考]设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1. 而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增． 又由s (1)＝0，有s (x )>0， 从而当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 考点 根据图形位置或形状分类讨论典例3 2015·广东高考]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解] (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心坐标为C 1(3,0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94.故线段AB的中点M的轨迹C的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94在圆C1：(x－3)2＋y2＝4内部的部分，设AB方程为y＝k1x，当AB与圆C1相切时⎩⎨⎧y＝k1xx2＋y2－6x＋5＝0⇒(k21＋1)x2－6x＋5＝0，由Δ＝36－4×5×(k21＋1)＝0得k1＝±255，代入方程组得x＝53，因此x∈⎝⎛⎦⎥⎤53，3.即⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94⎝⎛⎭⎪⎫53＜x≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x＝53，⎝⎛⎭⎪⎫x－322＋y2＝94，解得⎩⎨⎧x＝53，y＝±253.不妨设其交点为P1⎝⎛⎭⎪⎫53，253，P2⎝⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L：y＝k(x－4)所过定点为P(4,0)，则kPP1＝－257，kPP2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【针对训练3】 (1)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32答案 A解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t6t ＝12.若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.(2)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0答案 D解析不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.。
初一数学 找规律 分类讨论思想
找规律经典模型及例题汇总一、a n n a 与例题：（10西城二模）一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）。
∴第6个整数是67326=+，第n 个整数是32+n （n 为正整数）． 练习：1、（10怀柔二模）按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．答案：1125，122+n n2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________． 答案：12)1(1+-+n n例题：（10通州一模）某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .解：第8年的老芽数是21a ，新芽数是13a ，总芽数是34a ，则比值为3421． 练习：1、（08石景山一模）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8……，则这列数的第8个数是 ． 答案:212、(09房山二模)填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，请填出图4中的数字.5675320531108975答案：7,9,11,176二、（n )1(-与1)1(+-n ）例题：（09通州二模）12. 观察并分析下列数据，寻找规律： 0，3，－6，3，－23，15，－32，……那么第10个数据是 ；第n 个数据是 .∴第10个数据是33 ，第n 个数据是33)1(1--+n n ． 练习：1、（10房山一模）一组按规律排列的式子：2581114916,,,,...(0)a a a a a --≠，其中第8个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．答案：2364a-，1321)1(-+-n n a n2、（10门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）,则第n 个式子是 （n 为正整数）答案：na n n13)1(--3、（09崇文一模）一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）．答案：8，)1(2)1(11+-++n n例题：（08通州二模）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 ． ∴第10行倒数第三个数是3601901721=-． 练习：1、（08大兴一模）自然数按一定规律排成下表，那么第200行的第5个数是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15… … … … …. …. ….. ………. 答案：199052、如图的数字方阵中，方框所缺的数，按照适宜的规律填上（ ） A 、100 B 、128 C 、129 D 、130 答案：C例题：（11平谷二模）如图，将连续的正整数1,2,3,4……依次标在下列三角形中，那么2011这个数在第 个三角形的 顶点处（第二空填：上，左下，右下）．∴2011这个数在第671个三角形的上顶点处． 故答案为：671，上．练习：1、（08崇文一模）观察下列等式：1312-=，2318-=，33126-=，43180-=，531242-=，…….通过观察，用你所发现的规律确定200831-的个位数字是 . 答案：32、右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是_____________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是____________；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是_______________（用含n 的代数式表示）. 答案：B ，603，6n+3例题：（09平谷一模）已知：,434434,323323,212212+=⨯+=⨯+=⨯……若ba ×10=b a+10（a 、b 都是正整数），则a+b 的最小值是 ．∴a+b 的最小值是19 练习：１.（10密云一模）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数答案：A例题1：（10昌平一模）观察下列图案：第1个图案第2个图案第3个图案照这样它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图案中共有个三角形，第n （1n ，且n 为整数）个图案中三角形的个数为 （用含有n 的式子表示）． 解答：解：第5个图案中，有6+4×4=22（个）三角形；第n 个图案中，有6+4（n-1）=4n+2（个）三角形．例题2.（10西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n Dn的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A nB nC nD n 能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含有n 的式子表示）. 答案为：4n 2-4n ．练习：．1、（10大兴一模）如图4所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是x第1个第2个第3个…答案：)2(+n n2、（08顺义二模）如图，图①，图②，图③，图④……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n 个“山”字中的棋子个数是 ．答案：5n+23、（08丰台二模）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：请问第n 个图案中有白色纸片的张数为A ．43n +B ．31n +C ．nD ．22n + 答案：B4、（10丰台一模）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有 个．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形(图4)…图①图②图③图④答案：80个.例题：（10海淀一模）如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△211B D C 的面积为1S ，△322BDC 的面积为2S ，…，△1n n n B D C +的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．S 2=S △B3C2A -S △AC2D2=21×4×3 - 21×4×332 即第n 个图形的面积S n =13+n n． 练习：1、（11丰台二模）已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥ 于点E 1，联结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ，n S = （用含n 的代数式表示）. 答案：S 1=41,S n = 2)1(1+n S △ABC ．A2、（10平谷一模）如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，．则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律，第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．答案：4, 8n-43、（10延庆二模）如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥答案：1)41(2,32---n ππ4、（10门头沟一模）如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________（n 为正整数）.1P2P3P......B 1B 2A 1A OB答案:2n-25.（11延庆二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为)0,1(，点D 的坐标为)2,0(． 延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形C C B A 111； 延长11B C 交x 轴于点2A ，作正方形1222C C B A … 按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________； 第n 个正方形的面积为_____________（用含n 的代数式表示）．答案：5×（23）4，5×（23）2n-2．例题：（10丰台二模）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．联结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；联结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°，……．按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________．第1个菱形 第2个菱形 第3个菱形 …… 第n 个菱形边长 1 3 33()13-n练习：1、09西城二模）如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方（形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示C 1D 1C 2DC ABD C 2A n 的纵坐标答案：2，()212+n .2、（09延庆二模）如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=；依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是答案：123-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n3、（08昌平一模）如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边 长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中：第一个正方形CM 1P 1N 1的顶点分别放在Rt ABC △的各边上；第二个正方形M 1M 2P 2N 2的顶点分别放在11Rt APM △的各边上,……, 其他正方形依次放入。
完整word版2初一数学寒假专题2分类讨论
初中数学思想和解题方法专题一、学习指引1．知要点：数形合思想；分思想；化化思想；方程思想2．方法指引：（2）分法：在数学中，我常常需要依照研究象性的差异，分各种不一样样状况予以考．种分思虑的方法是一种重要的数学思想方法，同也是一种解策略．分是依照数学象的相同点和差异点，将数学象区分不一样样种的思想方法，掌握分的方法，会其，于加深基知的理解．提高剖析、解决的能力是十分重要的．正确的分必是周祥的，既不重复、也不漏．分的原：（ 1）分中的每一部分是互相独立的；（ 2）一次分按一个准；（ 3）分逐行．二、分授课：一、情境引入1、一桌子有四只角，砍掉一只角后，剩几个角？上，砍去一只角后可能出多种状况，我需分，列出各种状况，再决定弃取.2、人清点票平时先将票分，把相同面的票放在一起；商里的商品也是分放；同学交作也是分学科上交⋯⋯教介分思想：当我所要研究的果有多种状况，而不能够够到同一种模式下的候，必按可能出的所有状况来分，得出在各种状况下相的，最后将各种行，种理的方法就是分思想 .分是研究的常用方法，通分，能够使复的得了然，易于解决 .二、典例解1、与有理数集相关的分例 1 将以下各数填入相的会集内：－ 3 ， 7．2 ，－5，0 ， 0． 02，－ 1， 10 ，－ 0 ． 5 6分数会集：｛⋯｝，非的整数会集：｛⋯｝．点：分数会集注意包括正分数和分数，部分学生易只填正分数而忽略了分数。
非的整数会集体了两种分准的重叠，既要足符号的非性，又要足整数的要求。
所以填0， 10 例 2 算( 26) ( 14) ( 18) ( 16)解：原式 = ( 26) ( 18) ( 14) ( 16)=44 ( 30) 14点拨：此题是依照各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简单 .例 3 一个数的平方与它的绝对值比较较，能够确定它们之间的大小关系吗？剖析：我们知道，对于范围在0 到 1 之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字自己的；而对于大于1 的数，它们的平方是大于这些数自己的．由于题目中所给数的范围没有明确出来，所以我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们能够看做是这个数的正当）的大小，所以需要分状况进行议论．亦可辅助数轴进行议论 .解：分类的思想是先议论特别点，再议论其他的范围．不如设这个数为 a .（ 1）当 a=±1 或 a=0 时，此时│a│＝ 1 或 0 时，有 a 2=│a │；（ 2）当 a ＞ 1 或 a ＜－ 1 时，此时│a │＞ 1，有 a 2＞│a│；（3）当－ 1 ＜ a＜ 0 或 0＜ a＜1 时，此时 0 ＜│a│＜ 1，有 a 2＜│a │.议论：利用分类议论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏．2、与数轴相关的分类议论.数轴上的点到原点的距离是非负的，但地址可能在原点的左侧或右侧，所以涉及到与距离相关的题目时应注意分类议论。
初一数学分类讨论题
初一数学分类讨论题（原创版）目录1.初一数学分类讨论题的概述2.分类讨论题的解题技巧3.举分类讨论题的实例进行解析4.如何提高初一数学分类讨论题的解题能力正文一、初一数学分类讨论题的概述初一数学分类讨论题是一种要求学生根据题目所给条件进行分类讨论的题型，它能够有效检验学生对知识点的掌握程度以及逻辑思维能力。
分类讨论题在初一数学中占有较大比重，掌握这类题目的解题方法对于提高初一数学成绩具有重要意义。
二、分类讨论题的解题技巧1.仔细审题，明确题目要求在解答分类讨论题时，首先要仔细阅读题目，明确题目所求，将题目中的已知条件进行梳理，为分类讨论做好准备。
2.合理分类，避免重复和遗漏分类讨论的关键在于将题目中的条件进行合理分类。
分类时，要遵循不重复、不遗漏的原则，确保每种情况都得到了讨论。
3.逐步推导，注意逻辑严谨在分类讨论过程中，需要根据已知条件逐步推导出结论。
在推导过程中，要注意保持逻辑严谨，确保每一步都符合数学原理。
三、举分类讨论题的实例进行解析例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。
解：首先，根据正方形的性质，知道正方形的对角线长度等于边长的√2 倍。
因此，这个正方形的边长为 10 厘米。
然后，根据正方形的面积公式，计算出正方形的面积为 100 平方厘米。
所以，这个正方形的面积是 100 平方厘米。
四、如何提高初一数学分类讨论题的解题能力1.加强基础知识的学习，提高解题速度和准确率分类讨论题的解答离不开对基础知识的掌握，只有熟练掌握基础知识，才能在解题过程中迅速找到解题思路。
2.多做练习，总结解题经验通过不断地做题，可以积累丰富的解题经验，提高分类讨论题的解题能力。
在解题过程中，要注重总结经验，形成自己的解题方法。
3.学会灵活运用解题技巧在解答分类讨论题时，要善于运用解题技巧，如合理分类、逻辑推导等，以提高解题效率。
七上期中数学分类讨论(已整理)
【前言】 考虑问题要全面一、什么就是分类讨论思想如果一个命题得题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，就需要按可能出现得各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题得正确答案，这种解决问题得思想叫做分类讨论。
二、“分类讨论”得解题步骤1、明确要分类进行讨论得对象（留意讨论对象得取值范围）；2、原则：正确选择分类得标准，进行合理分类 （确定分类得标准就是重点、难点）；3、归纳并作出结论；三、分类得原则1、不重复例1 对三角形进行分类，把三角形划分为：锐角三角形 、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形分析：等腰三角形划分进来不恰当，分类得标准不一致，产生重合要么按角划分、要么按边划分回顾：书本对于有理数得划分，按照正负分，按整数分数分2、不遗漏例2 比较a 与－a 比较大小分析：a 得正负无法确定，故需要按照0,0,0a a a ><=分3种情况来讨论，不要遗漏0a =得情况3、逐层分类例3 已知0,0,,a ab b c a <>>>化简c a b a c b c a -+--+++2分析：除了对C 取值进行分类外，还需要进一步对2a c -进行分类讨论详细解答见--数形结合（答案）四、哪些地方可能会出现分类讨论从代数与几何得角度瞧都有可能。
其一就是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同得取值情况，分别在不同得取值范围内讨论解决问题。
其二就是根据几何图形得点与线出现不同位置得情况，逐一讨论解决问题【题型划分】【1、有理数概念、定义】例1 下列个数中：1330.70125---，，，，，中负分数有 个；负整数有 个；自然数有 个例2 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间得距离为1，点A 与原点O 得距离为3，那么点B 所对应得数为___________练习1、⑴在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数得个数为 个．⑵①10a -；②21a --；③a -；④2(1)a -+一定就是负数得就是 （填序号）．2、⑴下列说法正确得就是（ ）A 、a -表示负有理数B 、一个数得绝对值一定不就是负数C 、两个数得与一定大于每个加数D 、绝对值相等得两个有理数相等⑵两数相加，其与小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ）A 、这两个加数得符号都就是正得B 、这两个加数得符号都就是负得C 、这两个加数得符号不能相同D 、这两个加数得符号不能确定3、已知点A 在数轴上对应得数就是1，点B 对应得数就是－2，数轴上动点甲与乙，甲从A出发，开始以每秒1个单位长度移动，乙从B 出发，开始以每秒2个单位长度移动，若甲、乙两点同时开始移动，移动3秒钟后，甲、乙两点甲点对应得数就是几？乙点对应得数就是几？【2、绝对值中得a a 型】 当0a >时，1a a a a ==；当0a <时，1a a a a==-。
(完整word版)初中数学分类讨论问题专题
中考数学专题复习——分类讨论问题一、教学目标使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。
形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。
二、教学重点对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。
三、教学难点对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。
四、板书设计1：分式方程无解的分类讨论问题；2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4：分类问题在动点问题中的应用；4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题例题1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x 解：去分母，得：1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 2112无解，求x a x2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3：（2010上海）已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。
（1） 当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-（2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m 综（1）（2）得，41-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02≠m 的条件）总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。
一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。
这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
初一上册分类讨论典型例题
初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。
通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。
下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。
1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。
假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。
根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。
如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。
所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。
当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。
当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。
所以答案是至少有1个数。
2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。
所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。
假设这4个点是A、B、C、D。
我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。
然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。
通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。
3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。
解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。
首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。
如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。
计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。
分类讨论的题目初一上
分类讨论的题目初一上
以下是初一上学期一些可能的分类讨论的题目：
1. 如果 x 是整数，那么 x+1 和 x-1 可能是相邻的整数吗？
2. 在三角形 ABC 中，已知∠A = 60°，∠B = 45°，AB = 2，求 AC 的长度。
3. 已知方程 3x + 2y = 1，当 x = 1 时，求 y 的值。
4. 在一个长为 10cm，宽为 6cm 的矩形中，求一个最大圆的半径。
5. 如果一个角的余角是这个角的补角的 1/4，那么这个角是多少度？
6. 在一个直角三角形中，已知一个锐角为30°，那么另一个锐角是多少度？
7. 如果 x = 5，那么 x 的值是多少？
8. 若 x - 2 + (y - 3)^2 = 0，求 (x + y)^2 的值。
9. 在线段 AB 上取一点 C，使得 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，如果 AC =
2√5，那么 AB 和 BC 的长度分别是多少？
10. 如果方程 (x - a)/(x^2 - 4) = 1 有增根，那么 a 的值是多少？
请注意，这只是部分示例，具体的题目和答案可能会有所不同。
初一数学解题中分类讨论思想的应用分析
２：
—
．
’
５（不
合
题
意
，舍＋２５×２００＝８ ７５０（元 ）．
方案二 ：３５ Ｘ １５０＋１５ ｘ２５０＝９ ０００（元 ）．
答 ：购 电脑 ２５台，Ｂ电脑 ２５台 ；或 购 Ａ电脑 ３５台 ，Ｃ
电脑 １５台．购买 Ａ电脑 ３５台 ，Ｃ电脑 ｌ５台获利 最多．
（２）若商场销 售一 台Ａ型号 电脑 可获 利 １５０元 ，销 售 一 台 日型号 电脑 可获 利 ２００元 ，销 售 一 台 Ｃ型号 电脑 可获 利 ２５０元，在同时购进两种不 同型号的电脑方案中，为使销售 时获 利 最 多 ，应 选 择 哪 种 进 货 方 案 ？
解 析 （１）解分 三种情况计算 ： ① 设 购 Ａ电脑 台 ，曰电脑 Ｙ台．
一 、 数 学解 题 中 分 类 讨 论 思 想 应 用 步 骤 在初 一数学解题 中使 用 分类 讨论 思 想 ，主 要是 根据 步 骤 进 行 运 算 ．实 际数 学 学 习与 解 题 时 ，分 类 需 要 以 统 一 的 衡 量标 准进 行推进 ，不 能 出现重 复 、遗漏 等 现象 ．在分 类讨 论 时也 要确保讨论 对象 的完 整性 ，首先 要确定 具 体 的研 究 目 标 ，其次进行分 类讨论分析 、综合结 论．在求解 数学 习题 时 ， 运用分类 讨论思 想需 要 以 已知 条件 要求 为 准 ，明确 讨论 目 标之 后进行讨论．对数学 当中较为 复杂的 问题 ，讨 论 时需要 先对 问题进行细化 ，针对不 同的讨论 情况进 行全 面考 虑 ，随 后再 总结讨论结果 ，如此便 可以获得 最终结论 ．针对 每个 步 骤都要 加 以重视 ，不能遗漏 ，保证讨论环 节严谨性 ． 二 、初 一数 学 解 题 中分 类 讨 论 思 想 的应 用 方 法 （一 ）扎 实数学基础 知识 我 通 过 数 学 知 识 的 学 习 了解 到 ，在 学 习 初 一 数 学 知 识 时应 用分类讨论思 想 ，需要结 合平 时学习 的具体情 况 ，提 高 这一方面 的意识 ，发挥 自身在 数学 学习方 面的优 势 ，降低 数
(word完整版)初一数学分类讨论思想例题分析及练习(2)
分类讨论思想在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。
初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。
分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。
特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。
几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。
今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程：|x-1|=2分析：绝对值为2 的数有2个解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。
其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程”(如本题)处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。
3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。
两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0解：作差(1+a)-(1-a)=2a分类讨论：①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a答：当a>0时，1+a>1-a ；当a=0时，1+a=1-a ；当a<0时，1+a<1-a 。
分类讨论思想(初一)
分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。
初一数学分类讨论题
初一数学分类讨论题
（实用版）
目录
1.初一数学分类讨论题的概念和重要性
2.初一数学分类讨论题的解题技巧
3.初一数学分类讨论题的典型例题分析
正文
初一数学分类讨论题的概念和重要性：
初一数学分类讨论题是指在解决数学问题时，需要根据不同情况进行分类讨论的题目。
这种题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和分类讨论的技巧，是初中数学中非常重要的一类题目。
分类讨论题在初一数学教材中占有很大的比重，也是各类考试中的常考点。
因此，掌握好分类讨论题的解题方法对于初一学生来说至关重要。
初一数学分类讨论题的解题技巧：
1.仔细阅读题目，明确题目要求，确定需要分类讨论的条件。
2.分类讨论时，要根据题目条件进行合理分类，避免分类过多或过少。
3.对于每个分类，要按照题目要求，分别进行讨论，避免遗漏。
4.在讨论过程中，要善于运用数学公式、定理和性质，进行严密的推导和论证。
5.在得出结论后，要对各个分类的结论进行整合，得出最终答案。
初一数学分类讨论题的典型例题分析：
例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。
分析：此题需要根据正方形对角线的长度进行分类讨论。
当对角线长度为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (10√2)/2=50 平方厘米；当对角
线长度不为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (a+b)/2，其中 a、b 分别为正方形的两条边长。
因此，需要分别讨论这两种情况，得出最终答案。
北师大版(2024新版)七年级数学上册习题练课件：应用题中的分类讨论思想
（3）在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
一次性购物总金额
优惠措施
不超过450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按售价打9折优惠
超过600元
其中600元部分打8.2折优惠，超过600元
的部分打3折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在
该商场购买乙种商品多少件？
3.某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；
乙种商品每件进价50元，售价80元。
%
40
（1）甲种商品每件进价为____元，乙种商品的利润率为______。
【解析】 设甲种商品每件进价为元，则60 − = 50%，解得 = 40。
故甲种商品每件进价为40元。乙种商品的利润率为 80 − 50 ÷ 50 = 60%。
解得 = > ，不符合题意；
当7月份用水超过 但不超过 时，
根据题意，得 × + − + × + × + ( − − ) = ，
解得 = ，符合题意，此时 − = 。
所以该用户7月份用水 ，8月份用水 。
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2 100元，
则分别购进甲、乙两种商品多少件？
解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品 − 件，
由题意，得 + − = ，
解得 = ，则 − = 。
故购进甲种商品40件，乙种商品10件。
根据题意，得 − = ，
解得 = ，则 = 。
答：小明的速度为 /，爸爸的速度为 /。
初中数学分类讨论思想与例题讲解 讲义
初中数学分类讨论思想与例题讲解中学数学用到的数学思想（或方法）有:（1）转化化归思想（2）方程思想（3）分类讨论思想（4）函数思想（5）整体思想（6）数形结合思想这里重点讲一下分类讨论思想.中学数学与小学数学相比,最明显的一个区别就是中学数学中某些问题的答案并不是唯一的,需要分为两种或两种以上的情况进行讨论,尤其是高中数学.这就要求学生具有一定的分类讨论能力,具备分类讨论思想.分类讨论思想,是一种很重要的数学思想方法,分类讨论题是中考和高考的必考题,具有较高的难度,需要学生对学过的定义（概念）、定理、公里、结论等有一个更加深刻的、全面的掌握.在解答分类讨论题时,思维要全面,要想到问题的每一种可能情况,避免出现漏解、讨论不完整的现象.另外,还有一点需要注意的是,并不是每种情况的解都符合题意,这就需要对这些解作出正确的取舍.讨论完之后,要对讨论的结果作出一个总结,如“综上所述,…”等.对于初中学生来说,只要对分类讨论题多加练习,勤于思考和总结,就能初步具备一定的分类讨论能力,让分类讨论思想植根于大脑.下面列举一些分类讨论的题目,并给出解答,希望你们认真、用心领悟这种重要的思想方法.【例1】解关于x 的方程723=-x .分析:因为绝对值等于7的数有两个,分别是7和7-,所以本题要分723=-x 和723-=-x 两种情况.注意,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数. 解:分为两种情况: 当723=-x 时,解得3=x ;当723-=-x 时,解得35-=x .综上所述,方程723=-x 的解为3=x 或.35-=x【例2】解关于x 的方程.12+=+x b ax 解:12+=+x b ax()b x a b x ax -=--=-1212 分为以下三种情况:（1）当2,02≠≠-a a 即时,方程有唯一解,为21--=a bx ; （2）当1,2,01,02===-=-b a b a 即时,方程有无数个解（0乘以任何数都得0）;（3）当1,2,01,02≠=≠-=-b a b a 即时,方程无解.图（3）A AB B【例3】已知50=∠AOB °,30=∠BOC °,求AOC ∠的度数.分析:读题可知,AOB ∠和BOC ∠有一条公共边,但不知道BOC ∠是在AOB ∠的内部还是外部,所以要分为两种情况讨论. 解:分为两种情况:（1）当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图（1）所示,此时: =∠-∠=∠BOC AOB AOC 50°－30°=20°; （2）当BOC ∠在AOB ∠的内部时,如图（2）所示,此时: =∠+∠=∠BOC AOB AOC 50°＋30°=80°. 综上所述,AOC ∠的度数为20°或80°.图（1）COBA 图（2）COBA例4.已知线段AB=5cm,BC=3cm,则线段AC 的长为__________. 解:分为两种情况:（1）当点C 在线段AB 的延长线上时,如图（3）所示,此时: AC=AB+BC=5+3=8cm; （2）当点C 在线段AB 上时, 如图（3）所示,此时: AC=AB －BC=5－3=2cm.综上所述,线段AC 的长为8cm 或2cm.注:例3和例4是关于相对位置展开的讨论. 关于等腰三角形的讨论例 5.若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【 】（A ）50° （B ）80° （C ）50°或65° （D ）50°或80° 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的50°角由于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当50°角为顶角时,它的两个底角为︒︒︒=-65250180;（2）当50°角为底角时,顶角为︒︒︒=⨯-100502180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为50°或80°,选择（D ）. 参看下面的图（4）.图（4）50°角为底角时50°角为顶角时拓展:若把题目中的50°角改为100°角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?例6.若等腰三角形的两条边长分别为3cm 、6cm,则它的周长为【 】 （A ）9cm （B ）12cm （C ）15cm （D ）12cm 或15cm分析:两条边长分别为3cm 、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.解:分为两种情况:（1）当3cm 为腰长,6cm 为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是构不成三角形的;（2）当3cm 为底边长,6cm 为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,此时该等腰三角形的周长为15cm,选择（C ）. 拓展:把题目中的3cm 改为5cm,则答案又是什么? 例7已知2,4==n m ,且,0<mn 则=nm__________. 分析:这是七年级上册数学的内容,考查的是关于绝对值的知识点.关于绝对值的题目大多数也需要讨论. 解:∵2,4==n m ∴2,4±=±=n m ∵0<mn∴n m 、异号,分为两种情况:（1）当2,4-==n m 时,224-=-=n m ; （2）当2,4=-=n m 时,224-=-=n m . 综上所述,2-=nm.注意:本题的两种情况虽然是相互独立的,但结果却是一样的. 例8已知=->==b a b a b a 则且,,3,2__________. 解:∵3,2==b a ∴3,2±=±=b a ∵b a >∴分为下面两种情况:（1）当3,2-==b a 时,532)3(2=+=--=-b a ; （2）当3,2-=-=b a 时,132)3(2=+-=---=-b a . 综上所述,b a -的值为1或5.补充:分类讨论思想解决问题的一般步骤是: 1.先明确需要讨论的对象;2.选择分类的标准,进行合理分类（统一标准 不重不漏）;3.逐类讨论;4.归纳总结,得出结论（结果）. 关于比较大小的讨论例9已知64,222+-=-=m m B m m A ,试比较B A 、的大小. 分析:在比较两个代数式的大小关系时,常采用作差比较法. 解: ∵64,222+-=-=m m B m m A ∴()64222+---=-m m m m B A6264222-=-+--=m m m m m分为以下三种情况:（1）当,062>-m 即3>m 时,B A B A >>-,0;（2）当,062=-m 即3=m 时,;,0B A B A ==- （3）当,062<-m 即3<m 时,.,0B A B A <<- 例10解关于x 的不等式()63>-x a .分析:既然是关于x 的不等式,那么要求3,03≠≠-a a 即,在分类讨论的时候不再讨论这种情况.解:根据不等式的性质,分为两种情况:（1）当3,03>>-a a 即时,该不等式的解集为36->a x ; （2）当3,03<<-a a 即时,该不等式的解集为36-<a x .例11关于x 的不等式()3232+>+m x m 的解集为__________. 你自己写出解的过程. 解:例12一等腰三角形一腰上的高与另一腰成35°角,则此等腰三角形的顶角是__________度. 解:分为三种情况:（1）当顶角为锐角时,如图（5）所示,则顶角为90°－35°=55°; （2）当顶角为直角时,如图（6）所示,不符合题意;（3）当顶角为钝角时,如图（7）所示,则顶角为()︒︒︒︒=--1253590180. 综上所述,该等腰三角形的顶角为55°或125°.图（5） 图（6） 图（7）例13若324--x x的值为负数,则x 的取值范围是____________.分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负. 解:∵324--x x的值为负数 ∴324--x x 与异号 ∴分为两种情况:（1）⎩⎨⎧<->-03204x x ,解得该不等式组的解集为23<x ;（2）⎩⎨⎧>-<-03204x x ,解得该不等式组的解集为4>x .综上所述,x 的取值范围是23<x 或4>x . （注意,这里用“或”,不能用“且”） 例14化简ba +1.解:分为两种情况:（1）当b a =时,aaa a a ab a 221211=⋅⋅==+;（2）当b a ≠时,()()b a ba ba b a b a ba --=-+-=+1.例15两条相交的直线所组成的图形的对称轴有__________条.分析:直线相交有两种情形:一般相交和垂直相交,从对称的角度考虑,这两种相交的对称情况是不一样的.解:分为两种情况:（1）若这两条直线不垂直,如图（8）所示,则整个图形的对称轴只有2条;（2）若这两条直线垂直,如图（9）所示,则整个图形的对称轴有4条. 综上所述,两条相交的直线所组成的图形的对称轴有2或4条.图（8）图（9）例16已知942++mxx是完全平方公式,则=m__________. 分析:完全平方公式有两种:()2222bababa+±=±.解:分为两种情况:（1）当942++mxx为完全平方和公式时,有()91249432942222++=+++=++xxmxxxmxx所以12=m;（2）当942++mxx为完全平方差公式时,有()91249432942222+-=++-=++x x mx x x mx x所以12-=m . 综上所述,12±=m .注意:例16为易错题,八年级的学生应该注意.说明:在以后我们还会遇到许多分类讨论的题目,到时候我再给你们补充,这里只选16道例题,希望你们对此类题目加以重视.。
初一数形结合、分类讨论例题
数形结合、分类讨论思想习题（一）数形结合1．最小的正整数是_____最大的负整数是 ______绝对值最小的数是 ______2、大于-2.5而不大于4的整数有________个，分别是__________3、绝对值小于3的非负整数是_________绝对值不大于4的整数是________4、设把连接起来”号用“且b b a a b a b a --<<<>,,,.0,0。
点拨：借助数轴可以让此类题形象直观，简便准确5、化简三个数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图1，化简a c c ab b a --++-+变式1、化简b a c b c a --+++变式2、化简c a a c c b b a +--++--点拨：从图形中获取有用信息是解决此类题的关键6、线段AB,延长AB 到C ，使BC=13AB ，D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。
7、已知，线段AB=6cm ，在直线AB 上截取线段BC=4cm ，若M ，N 分别是AB ，BC 中点（1）求M ，N 两点间的距离。
（2）AB=a cm ，BC=b cm ，其他条件不变，此时MN 是多少？（3）由（1），（2），你发现什么规律？8、平面内，若45AOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，则AOB ∠= ；点拨：正确画出图形是突破此类题的关键二、分类讨论法1、解绝对值方程 |x +5|+2=52、 已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.3、已知的值，求的绝对值为互为倒数，互为相反数，且、s mn b a s n m ab b a ++≠3,,0变式、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的平方是4，求200920082)()()(cd b a x cd b a x -+++++-的值。
4、已知a 为有理数且a 0，则+a a2=________变式1、、已知a 、b 均为不等于0的有理数，则代数式abab b b a a++的值为 ； 变式2、求代数式a a b b ab ab ++2的值为___________变式3、若cc b b a a abc 32,0++≠的所有可能值是__________ 点拨：合理分类是解决这类题的关键5、 解关于x 的方程(2)1a x b -=-．6、如果A 、B 、C 在同一条直线上，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）A 、8 cmB 、4 cmC 、8cm 或4cmD 、无法确定变式1：如果在同一条直线上顺次截取A 、B 、C ，线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）变式2、线段AB=6 cm ，BC=2 cm ，则A 、C 两点间的距离是（ ）A 、8 cmB 、4 cmC 、8cm 或4cmD 、无法确定7、已知A 、B 、C 三点共线，线段AB =60，M 为其中点，线段BC =28，N 为其中点，求MN 的长。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。