高等代数考研复习[线性变换]

(2) A (k11 k2 2
ks s ) ks A ( s );
k1A (1 ) k1A (1 ) k2A ( 2 )
(3) 线性变换将线性相关的向量组变成线性相 关的向量组. 1.3 线性变换的运算
A 设V是数域P上的线性空间，
性变换. 1) 线性运算
n n
A = AA A. 0 规定：A = E. 当 A 可逆时，规定 1 n n (A ) = A . 一般地，AB BA, 但是 f (A ) g (B ) g (B ) f (A ).
A
即
3)逆变换 逆变换的定义：设 A 是线性空间V上的线性 变换，如果存在V上的线性变换 B ，使得
A 可逆 是 A1, A2 , , An 线性无 换，证明：
关. 例3 设A 是n维线性空间V的线性变换，且
A 2E , B = A 2A 2E
3 2
证明：A
,B
都是可逆的线性变换.
例4 在 R2 中求一个线性变换 A ，使得 A (1, 2) (2,3), A (0,1) (1, 4). 并求
A ( x1 , x2 , x3 ) ( x3 , x2 , x1 ).
,B
分别为
A ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 , x1 x2 , x1 ),
确定线性变换 A B , AB . 问A 是否可逆，若
可逆求出逆.
例2 设 1, 2 , , n 是V的基， A 是V的一个线性变
(1, 2 , , n ) .
2.4 特征值特征向量的性质
k 1 * A , A , A , A , f ( A)的特征 A ( ) , (1)若 则
1 | A| 值分别为 , , , , f ( ). 并且除了 A 外其余矩
k

阵的特征向量与A的特征向量相同，A与A的属于
B (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) B.
1 B X AX . 则
反之，相似矩阵可看作同一线性变换在两组不
同基下的矩阵.
题型分析： (1)判别线性变换的可逆性； (2)确定线性空间上的线性变换； (3)求线性变换及其运算在基下的矩阵； 例1 在 R3 上定义线性变换 A
1 , 2 , , n 上的作用相同，即
则
A (i ) B (i ) (i 1,2, A = B.
, n),
(ⅱ) V上线性变换确定定理：
1 , 2 , , n 设1, 2 , , n 是线性空间V的一组基，
是V中任一一组向量，则在V上一定存在一个线
性变换 A 使得 A
则称 k A 仍是V的线性变换，并称它为数乘线性 变换. 说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性 变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记 为L(V).即对 A , B L(V ) A + B L(V ), k A L(V ).
令 1, 2 , , n 是n维空间V的基，对任意的
A L(V ), A P
A (1, 2 ,
1 , 2 , , n
nn
使得
, n ) (1, 2 , , n ) 并且
A + B A B, 1 , 2 , , n k A kA. nn dim L(V ) n . 故L(V)与 P 同构.因此，
线性变换 A 在这组基下的矩阵为A，则
(1)A的特征值与 A 的特征值相同；
(2) 如果 ( x1, x2 , , xn )是A的属于 0 的特征向 量,则 (1, 2 , , n ) 是A 的属于 0的特征向量. 反之亦然，即 A 0 A ( ) 0 . 2.3 特征值特征向量的求法： 有限维线性空间上求线性变换的特征值与特
,B 是V上的线
把线性变换的加法与数乘运算统称为线性变换的
线性运算. a) 加法运算 定义
(A + B )( ) A ( ) B ( ), V , 则称 A + B 仍是V的线性变换，并称它为 A
与
B 的和.
b) 数乘运算
定义 (k A
)( ) k A ( ), V , k P.
2、特征值、特征向量与相似对角化
2.1
线性变换的特征值与特征向量的定义
设
A
是数域P上线性空间V的一个线性变
换，如果存在P中的一个数 和V中的非零元 素，使得 A ( ) ,
则称
是A 的属于 为 A 的一个特征值，
特征值 的特征向量.
由A 的属于特征值 的全部特征向量再添上零 向量构成的集合 V { | A ( ) , V } 也是V的 一个子空间，称为 A 的特征子空间. 2.2 线性变换的特征值特征向量与矩阵的特征 值特征向量之间的关系 设 1, 2 , , n 是数域P上n维空间V的一组基，
征向量可转化为求线性变换在某组基下所对应
的矩阵的特征值与特征向量.
(1)先求出A 在某组基下的矩阵A;
(2) 由 | E A | 0, 可求得A的n个特征向量； (3) 求齐次方程组 (i E A) X 0 的基础解系，得 属于i 的线性无关的特征向量 ( x1, x2 , , xn ),则 属于 i 的线性变换 A 的特征向量为
1、线性变换概念、运算与线性变换矩阵
1.1
线性变换定义：设V是数域P上的线性空间，
A是V上的一个变换.如果对于任意的α,β ∈V,
k∈P 都有 A(α+ β)=A(α)+A(β)，A(kα)=kA(α),
则称A为空间V上的一个线性变换. 说明:(1) 如果对任意的α ∈V，A(α)=0，则称A为 零变换.
（2）如果对任意的α ∈V，A(α)=α，则称A为V的 恒等变换（也叫单位变换）. （3）A是V的线性变换的充分必要条件是：
A (k l ) k A ( ) l A ( ), , ,V , k , l P.
1.2 线性变换性质： 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变 换，则有 (1) A (0) 0, A ( ) A ( );
1
d) A 可逆 A可逆，且
A (1, 2 , , n ) = (1, 2 , , n ) A .
(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系： 设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 是线性空间V的两 组基，且 (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) X . 如果 A (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A,
高等代数考研复习
第七章 线性变换
2013年 8月
第七章
线性变换
线性变换是线性空间上的线性映射，反映
了线性空间中元素之间的一种最基本的联 系，它是线性函数的推广. 本章主要内容分三部分： 1) 线性变换的概念、运算与线性变换的 矩阵 2) 特征值特征向量与矩阵的相似对角化 3) 值域、核与不变子空间
f ( ) | E A | n Tr ( A) n1
n
(1)n | A |
设 1, 2 , , n 是特征多项式的根，则
AB = BA = E, 其中 E 是恒等变换，则称A 是可逆的，并称 B 1 是 A 的逆变换，记为 A .
逆变换的性质： (ⅰ) 逆变换也是可逆的线性变 换，且(A
1 1
) A .
(ⅱ) 线性变换A 可逆 是A 是双射. 4) 线性变换的矩阵 (ⅰ) 两个线性变换相等 如果线性空间V的线性变换 A 与 B 在V的基
(1)求A 在基 1, 2 , 3下的矩阵. (2) 求A1 在基 1, 2 ,3下的坐标.
V . 例8 设A 是P上n维空间V的线性变换，
如果 A
n1
( ) 0, A ( ) 0. 证明：
n
, A ( ),
,A
n1
( )是V的一组基，并求
A
在这组基下的矩阵.
2
2）线性变换的乘法运算 乘法运算的定义：设为 性变换，定义
A ,B
线性空间V的线
(AB )( ) A (B ( )), V ,
则称 AB 是V的线性变换，并称它为 的乘积. 说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分 配率，数乘结合律.但是不满足交换律.
A与 B
线性变换的方幂与多项式变换： n个线性变换 A 的乘积称为 A 的n次幂，记为
矩阵的运算对应线性变换的运算.即
B 在基1, 2 , , n下的矩阵分别 设线性变换A 与
为A和B,则 a) (A B )(1 , 2 , , n ) (1, 2 , , n )( A B); b) k A (1 , 2 , c) AB (1 , 2 ,
1
, n ) (1, 2 , , n )kA; , n ) (1 , 2 , , n ) AB;
* A 不同特征值的特征向量正交. 当A不可逆时， 的
特征值为 TrA*与零(0为n-1重特征值). (2)矩阵A属于不同特征值的特征向量线性无 关.对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 属于不同特征值的不同特征向量组合到一起 任然线性无关. (3)方阵A的特征多项式为 f ( ) | E A |
2 R 例6 设 中线性变换 在基 1 (1,2), 2 (2,1) 1 2 下的矩阵为 A 在基 1 (1,1), 2 (1,2) ,又 2 3 3 3 下的矩阵为 B 2 4 ,
A
B
(1) 求A B 在基 1 , 2 下的矩阵； (2) 求 AB 在基 1 , 2 下的矩阵； (3) 若 (3,3) ，求A 在基 1 , 2 下的坐标. 例7 已知3维空间V的基 1, 2 ,3 和基
用矩阵表示就是
A (1 , 2 , (1 , 2 ,
, n ) (A (1 ), A ( 2 ), , n ) A.
, A ( n ))
称为线性变换A 在基1, 2 , , n下的矩阵. (ⅳ) 线性变换的运算与矩阵运算的关系： 在线性空Байду номын сангаасV中取定一组基后，V上的线性 变换与它在这组基下的矩阵之间是1-1对应的. 因此线性变换的运算对应矩阵的运算，反之，
1 1 3 , 2 2 , 3 1 3 ,
又V上的线性变换 A 满足 A (1 2 2 33 ) 1 2 ,
A (21 2 23 ) 2 3 , A (1 3 2 43 ) 1 3 .
的线性变换，如果基的像可以被基线性表出， 即
A (1 ) a111 + a21 2 A ( ) a + a 2 12 1 22 2 A ( n ) a1n1 + a2 n 2 an1 n an 2 n ann n
A (3,4).
2 1 22 2 A P , f ( x ) x 3x 2, 例5 设P是数域， 0 2
定义变换 B ：
B ( X ) f ( A) X , X P .
23
23
(1)证明 ： B 是线性空间 P 的线性变换; (2) 求 B 在基 E11, E12 , E13 , E21 , E22 , E23 下的矩阵.
(i ) i (i 1,2,
kn n
, n).
确定线性变换A 的方法：任取 V , 则
k11 k2 2
定义
A ( ) x11 + x2 2
xn n
那么 A 就是V上满足条件的线性变换.
(ⅲ) 线性变换的矩阵
A 是V 设1, 2 , , n 是n维空间V的一组基，