振动分析基础

分析2
x(t)
88.2kN
v
0
sin(0t)
动张力表达式：
kv
n
v
km
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例题2
均质等截面悬臂梁，长度为 l,
l
弯曲刚度为EI。梁的自由端放置
一质量为m的物块。若不计梁的 固定端
质量。试写出梁－物块系统的运 动微分方程。
EI
m
考察梁和物块所组成的 系统。以物块铅垂方向的 位移作为广义坐标 q=y,坐 标原点O设在梁变形后的 平衡位置，这一位置与变 形前的位置之间的距离， 即为物块静载作用下的挠 度，亦即静挠度，用yst表 示。
000kg，以匀速 v ＝ 0.25m/s 下降。 当重物下降到 l ＝25m 时，钢丝绳
v
上端突然被卡住。
求：（1）重物的振动规律；
m
（2）钢丝绳承受的最大张力。
解：钢丝绳－重物系统可以简化为 弹簧－物块系统,弹簧的刚度为
k EA 2.312 106 N/m l
设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0， 这时重物的位置为初始平衡位置
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asin nt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
2
q02
ห้องสมุดไป่ตู้
q0
n
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相；q0－初始广义坐标；q0－初始速度。
l
例题1
提升重物系统中，钢丝绳的横截
面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性
模量E＝200GPa。重物的质量m＝6
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非 线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。 多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无 穷多个自由度。
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生 的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。
自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激 励下发生的振动。
参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数 ，这种激励所引起的振动。
按系统特性或运动微分方程类型划分：
线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。
自由度与广义坐标
自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐 标数目称为自由度数。
刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动 和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；
质点在空间有3个自由度：三个方向的移动， 如高尔夫球；
质点在平面有2个自由度：两个方向的移动， 加上约束则成为单自由度。
§19-1 单自由度系统的自由振动
；以重物在铅垂方向的位移x作为 广义坐标，则系统的振动方程为
mx kx 0
k
方程的解为
x Asin( nt )
n
k 19.63s1
m
静平衡位置
m
O
利用初始条件
x(0) 0, x(0) v(0) v
x
求得 0
v A 0.0127m
n
x 0.0127sin19.63t
（2）钢丝绳承受的最大张力。
x
T 2 / n
A
0
t
n
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n
为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
n：系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进 行振动的方式都毫无关系
A,：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到
过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关
物理学基础的扩展
单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 mx kx＝0
这一方程，可以扩展为广义坐标的形式 meq q keq q＝0
keq－等效刚度：使系统在广义坐标方向产生单位位移， 需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
meq－等效质量：使系统在广义坐标方向产生单位加速 度，需要在这一坐标方向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
取重物为研究对象
x 0.0127sin19.63t
k
W
FT
mx
mA
2 n
sin
nt
FT
W
mA
2 n
sin
nt
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的静平衡位置
m FT
O
动张力之和 ：
FT max W mAn2 m(g An2 )
x
m
x
W
58.8k N 29.4k N 动张力几乎是静张力的一半
1.自由振动微分方程
l0——弹簧原长； k——弹簧刚性系数；
l0 k
l0 k
st——弹簧的静变形； W k st st W / k
F
m
st
O
x
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：
m
d2x dt 2
W
F
W
k(x
st )
kx
W x
mx kx 0 单自由度无阻尼自由振动方程
mx kx 0
固定端
O ys l
t
y
y
st
Wl 3 3EI
mgl 3 3EI
EI
分析物块运动到任意位
l
m O
ys
yt
置(坐标为y)时，物块的受 力：应用牛顿第二定律
固定端
y
my mg F
W=mg
分析物块运动到任意位置(坐 标为y)时，梁的自由端位移与 力之间的关系
F
EI F'
l
固定端
y yst
F l 3 3EI
引言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附 近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质 点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以 及工程构件和工程结构的振动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求 运动。
振动问题的研究方法－与分析其他动 力学问题相类似：
选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定 积分常数。
2 n
k m
x
2 n
x
0
x C1 cosnt C2 sin nt C1,C2 积分常数
令 : A C12 C22 , tan C1 / C2
x Asin( nt )
A——振幅；
n——固有频率； （n + ）——相位；
——初相位。
周期T 2 n
n
2
1 T
2f
单自由度无阻尼自由振动
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问 题不同的是：一般情形下， 都选择平衡位置作 为广义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－ 动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的－ 拉格朗日方程。
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。
Fl 3 3EI
F ky yst