人教A版高中数学必修五浙江专用提升综合素养(一) 解三角形
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提升综合素养（一） 解三角形
1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212 C ．28
D ．6 3
解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝3
2，则S △ABC
＝12bc sin A ＝12×3×8×3
2
＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的
值为( )
A.19
B.13 C ．1
D.7
2
解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝⎛⎭⎫32a 2－a 2a 2＝7
2
.
3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )
A.3
5 B ．－35
C ．±35
D ．±45
解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝4
5.又θ∈(0，π)，
∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±3
5
.
4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334
m 2
，则此人这时离开出发点的距离为( )
A ．3 m B. 2 m C ．2 3 m
D. 3 m
解析：选D 在△ABC 中，S ＝1
2AB ×BC sin B ，
∴
334＝1
2
×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)．
5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3
2
，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7
D ．7
解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝3
2，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.
6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )
A ．一定是锐角三角形
B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．一定是直角三角形
解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝5
8.因为a
两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×
5
8－
32×398
<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.
7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于3
2
，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝3
2
，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .
∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7. ∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝3
8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.
解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×8
5
＝45
， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝7
25
.
答案：
725
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋
tan A
tan B ＝2c
b
，则A ＝________，c ＝________. 解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos B
cos A sin B
＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C
cos A sin B
＝
c b cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°
，所以c ＝2 2. 答案：60° 2 2
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝2
3，sin B ＝5cos C .
(1)求tan C 的值；