B-605_基于定常预处理的Newton-GMRES快速潮流计算方法

时，影响算法收敛性能的主要因素是系数矩阵 A 的 谱分布情况(即特征值的分布情况)或条件数。通过构 造适当的预条件子矩阵对系数矩阵进行预处理，使得 系数矩阵的特征值分布变得集中或减少条件数。 对于高维稀疏线性方程组 Ax b ，预条件子矩 阵 M 的选取原则是寻找合适的 M A1 ，使得预处 MA1 I 并且辅助预处理方程组 z M 1v 理后 A j j ) 1 ， 易 于 求 解 。 式 中 ， I 为 单 位 阵 ， 即 cond ( A ) 1。 ( A 常 用 的 预 处 理 方 法 主 要 包 括 ILU 分 解 法 (incomplete LU factorization method，ILU)[11]、不完全 Cholesky 分 解 法 (incomplete cholesky factorization method ， IC)[12] 、 分 块 对 角 矩 阵 法 (block diagonal method)[13] 、 PQ 分解预处理方法 [14] 等。研究表明， 这几种预处理矩阵没有绝对的好坏。目前，较为流行 的带部分填充量的 ILU 分解法预处理效果较好，但 在进行 ILU 分解时必须处理好填充量和预处理效果 的平衡。
56 603 12866 28388 28839 27586 36647
57 593 14162 27948 28869 29072 37521
4 算例仿真和分析
本文基于 Visual Studio 2008 编译环境，利用 C 语言设计实现了 4 种算法应用到大规模电力系统潮流 计算的情形，它们分别是多波前算法 (MA) 、基于 ILU 预条件子的 GMRES 算法以及基于 PQ 预条件子 和定雅可比预条件子的 GMRES-MA 混合算法。潮流 计算模型均采用极坐标模型，多波前算法收敛精度为 10-6；对于 GMRES 算法，牛顿法内外迭代收敛精度 均设为 10-6 。所采用的算例模型为 IEEE 118 、 IEEE 300 及 5 个 Poland 互联大规模电力系统模型，测试 时间均为平均值。 表 1 给出了 7 个算例系统的网络规模和雅可比 矩阵 J 条件数。由表 1 可以看出，随着网络规模的扩 大，其初次形成的雅可比矩阵 J 的条件数往往是很大 的( cond ( J ) 1e 03 )，接近极限运行状态。
2.2 GMRES 算法
考虑方程组 Ax b ，式中 A R 为大型稀疏非 奇异矩阵， b R n 为给定的向量，取 x0 R n 为任一 向量，令 x x0 z ，设 r0 b A x0 为初始残量。 记 K m 和 Lm 为 两 个 m 维 空 间 ( m n ) 。 K m span{r0 , Ar0 ,..., Am 1r0 } ，并称这个空间为由 A 和 r0 生成的 Krylov 子空间， Lm AK m 。利用 Galerkin 原理，在子空间 K m 中寻找近似解 zm ，使得残余向量 r0 Azm 和 Lm 中的所有向量正交。通过 Arnoldi 迭代 过 程 求 出 K m 的 一 组 标 准 正 交 基 v1 , v2 ,..., vm 和 Hessenberg 矩 阵 H n ， 记 Vm 是 由 v1 , v2 ,..., vm 组 成 的 n m 矩 阵 ， 满 足 AVm Vm 1 H m ， zm Vm ym ， ym R m 。 GMRES 算法原理是通过使残量 Azm b 最 小的矢量 zm K m 来逼近 Ax b 的精确解，从而将问 题转化为求 rm H m ym e1 范数最小的问题，其中 Ax0 b ， e1 (1, 0,..., 0) R m 1 。GMRES 算法是 求解大规模非对称线性方程组的常用算法，具有收敛 速度快、稳定性好等优点。关于 GMRES 算法实施的 具体细节可参考文献[10]，本文不再赘述。
2.3 迭代法的预处理技术
Krylov 子空间方法求解大规模稀疏线性方程组
中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013
系统， Jac 具有高度的稀疏性。同样，利用多波前算 法 (MA) 分阶段求解模式加速预处理矩阵 Jac 的完全 求逆。
118 300 2383 2746wp 2746wop 2736
1 引言
电力工业的快速发展，尤其是互联电网的出现， 电力系统规模越来越大，对潮流计算的快速性和实时 性提出了更高的要求。针对大规模电力系统的快速潮 流计算方法，目前的研究主要分为两个方向：一是移 植到高性能并行计算机求解[1]或应用集群系统并行处 理的技术[2]及其他并行算法[3]，二是结合大型稀疏矩 阵特点寻找计算量少、收敛性好、数值稳定性高的算 法，这些方法主要分为两类：直接法和迭代法。 直接法通过对雅可比矩阵分块处理的基础上进行 三角分解、求逆等达到求解目的。相对于传统的稀疏 三角分解方法，多波前算法 (multifrontal algorithm ，
多个算例仿真测试表明，多波前算法的求解速度较基于 ILU 预条件子的 GMRES 算法快。基于 PQ 分解和定雅可比预处理方法，提出了两种 GMRES-MA 混合算法。在 GMRES 算法每步迭代过程生 成 Krylov 子空间后，利用多波前算法（MA）直接求解辅助预处理方程组。算例测试结果表明， 这两种混合算法的求解效率较基于 ILU 预条件子的 GMRES 和 MA 算法均有所提高，适合于大规模 电力系统潮流计算的快速求解。 关键词：大规模电力系统；潮流计算；多波前算法(MA)；GMRES 算法；预处理
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基于定常预处理的 Newton-GMRES 快速潮流计算方法
夏 沛
三峡大学电气与新能源学院 Email: xp_sharpay@yeah.net
摘
要：比较了多波前算法（MA） 、GMRES 算法应用于大规模电力系统潮流计算的求解效率。经
Abstract: Multifrontal algorithm (MA) and GMRES method are compared for power flow calculation in large-scale power systems.Numerical simulations on several test systems indicate that MA is faster than the GMRES method.In this paper,two combined GMRES-MA methods are proposed based on PQ preconditioner and the constant jacobian preconditioner.Making use of the MA to solve the assisted preconditioning equations,after the Krylov subspace generated by the GMRES method for each step in the outer-iterations.The test results show that these two precondition methods are more effective than with the ILU preconditioner.Furthermore, compared with both MA and GMRES method, they need less computing time.Therefore,these new methods are applicable to the fast power flow calculation in large-scale power systems. Key words: large-scale power systems ； power flow calculation ； multifrontal algorithm(MA) ； GMRES method；preconditioning
Fast Power Flow Calculation Based on Newton-GMRES Method with Constant Jacobian Preconditioners
XIA Pei
College of Electrical Engineering and New Energy Email: xp_sharpay@yeah.net
3 GMRES-MA 混合潮流计算方法
3.1 PQ 分解法预处理
基 于 牛 顿 法 的 潮 流 计 算 方 程 组 为 ： J X k F ( X k ) ，其中 J 为雅可比矩阵，是一个稀 疏不对称矩阵。 PQ 分解法预处理的 GMRES-MA 混 合算法(PQ-GMRES)是在考虑 GMRES 迭代类方法和 多波前算法求解的特点后，选用 PQ 分解法预条件子 对 J 进行预处理，在 GMRES 算法每步迭代过程生成 Krylov 子空间后，利用高效的多波前算法 (MA)直接Hale Waihona Puke Baidu求解辅助预处理方程组 z j M 1v j ，达到快速求解的 目的。PQ 分解法预处理矩阵一旦形成，借助多波前 算法 (MA)灵活的分阶段求解模式，只需进行一次符 号分析和数值分解运算，并记录下分解因子阵，在求 解辅助预处理方程组时，可直接进行调用。
2 理论基础
中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会，湖北宜昌：三峡大学，2013
2.1 多波前算法
多波前算法(MA)于上世纪 80 年代提出，其基本 思路是划分、构造、更新稀疏矩阵中的密集子块 ( 即 波前，指连续的相同结构的列所构成的子矩阵 )。波 前的构造相当于滤掉矩阵中大量的零元素，从而将原 矩阵的分解转化为对所有波前的分解，使得大规模的 稀疏矩阵集成为多个小规模的密集阵，波前的分解直 接调用高效的 BLAS 库。 相对于传统的稀疏三角分解法直接求解大规模稀 疏线性方程组，多波前算法的一个优点是可以采用分 阶段的求解模式：即符号分析、数值分解和回代求 解。线性方程组系数矩阵的结构一旦确定并且在以后 的迭代求解过程中保持不变，那么通常只需对该矩阵 做一次符号分析，避免重复分析占用求解时间。文献 [9] 的潮流计算结果表明，分阶段求解模式较直接求 解模式更快更灵活。 分阶段求解模式的基本过程是首先根据给定的稀 疏矩阵结构，确定填入元，然后生成相应的消去树 （或集成树） ，完成符号分析。在树的指导下不断由 子节点的更新阵集成形成父节点的波前阵，接着通过 对波前阵进行矩阵分解而得到相应的分解因子阵及更 新阵，直到完成对整个稀疏矩阵的分解（消元） ，即 数值分解。最后，对分解因子阵进行回代求解。
n n
3.2 定雅可比法预处理
定雅可比法预处理的 GMRES-MA 混合算法(JacGMRES)选用定雅可比法对 J 进行预处理。定雅可比 预处理矩阵的形成即设置系统各节点电压幅值大小均 为 1，相位均为 0 的情形。此时，初次形成的雅可比 矩阵为： B G Jac G B (2-1) Jac 矩阵只与系统参数有关，对于大规模的电力
MA)[4,5] 是一种比较稳定和高效的算法。以广义极小 残 余 算 法 (generalized minimal residual algorithm ， GMRES)为代表的 Krylov 子空间算法结合适当的预 处理技术，已广泛应用于高维稀疏线性方程组的求解 [6,7] 。 文献 [8] 将预处理共轭梯度法与直接法进行了详 细比较。数值结果表明，对于大型系统 (几百个节点 以上 )，此类迭代法结合适当的预处理明显优于直接 法。相对于共轭梯度法只适用于雅可比矩阵为对称正 定矩阵的情形，GMRES 类方法适合非对称问题的求 解。