力学部分主要公式： (1). 牛顿第二定律
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力学部分主要公式：
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能
重力势能
(5). 保守力的特点
g cos( t ) 于是甲虫的速度为： v 2
例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为 2l 的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上, 且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着
圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离, 已知细杆与圆环间的摩擦系数 处处相同,试求 的取值范围. 解: 设初始时细杆的旋转 角速度为 0 ,转过 角后 角速度为 .由于摩擦力
新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化 可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向. （1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.
（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞 给出新星体能否与大星体 M碰撞的判断。
fl
f r p0
f gh
( s 1)
此体元 运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律： f 速度：v 2as 2gh a gh
例5. 质量为 m 长为 l 的匀质棒可绕固定的支点在竖直 0 30 平面内运动. 若棒在与水平线成 角位置从静止开始 下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力. 解: 由转动定理
a R
由以上四式解得:
T2
T1
5 T1 mg 4
3 T2 mg 2
绳中的张力分析 任取线元
d 2
T dT
d
dN
dl Rd
此线元切向运动方程为：
T
df
d 2
d d T cos df (T dT ) cos 2 2
此线元法向运动方程为：
d d dN T sin (T dT ) sin 2 2
10 的角速度旋转，
J2
第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，
求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
f
m1 g
m2 g
a1
m1
a1
m2
a2.
解： 画隔离体图，受力分析
a1
m1
a1
m1
T
T
a1
m2
a2.
T
a1
m2
a2.
a1
m1
T
T
列方程：
T
a1
m2
a2.
T T cos m1a1
T cos m2 (a1 a2 cos )
m2 g T sin m2 a2 sin
a1 a2 沿绳的方向加速度应该相等：
并不作功,故细杆和圆环 构成的系统机械能守恒
A
l
C
R
l
B
1 1 2 应有: J C0 J P 2 2 2 1 1 2 2 这里 J C m(2l ) ml 12 3
A
l
1 J P m(2l ) 2 mr 2 12
v C r
P
l
B
r R
解得:
l0 l 3r
d l J mg cos dt 2 1 2 这里 J ml 3 d
0
mg
3g cos 得到角加速度 dt 2l 表达式可写成 d d d 3 g cos dt d dt 2l d 3g cos d 2l 3g d cos d 2l
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。 对于盘1：
d 1 J1 fr1 dt
d1 fr1 dt J1
阻力矩
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
fr1 d1 dt J1
dN dT
dN Td
解此方程得到： 当
两式相除得到：
dT d T
T T1e
时，
T T2
1
6 ln 于是得到摩擦系数为： 5
例10 均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系
数为µ,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向
下滚动, 求此 临界值. 解: 质心运动方程 N
m1 g
m2 g
fr2 d 2 dt 两边积分 J2
r2 2 J2
2
r2 d 2 J2 0
N1
r1
fdt
0
t
fdt
0
t
于是有： J1 J2 (10 1 ) 2 r1 r2
10
o1
f
o2
N2
r2
不打滑条件： r11 r2 2
f
接触点处两盘的线速度相等
V
小滑块对地的速度为
半球面对地的速度为V
以地为参照系.
小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为
小球速度：
x V R cos y R sin
水平方向动量守恒 系统机械能守恒：
V
m x MV 0
1 1 2 2 2 m x y MV mgR cos mgR cos 2 2 2 g cos cos 解得： 2 R 1 m cos / m m
E p mgz 1 2 弹性势能 E p kx 2 Mm 万有引力势能 E p G r
F dr 0
L
作功与路径无关
(6).振动的微分方程
d q Cq 0 2 dt
圆频率: (7). 阻尼振动
2
C
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个 小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统 处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块 的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角 始终不变，试求 , a1 , a2.
A
l
v C r
N
l
P
B
列出细杆质心运动方程
maC切 N
maC法 f
R
不打滑的条件:
f N
2 2
f
f aC法 (l 3r )r 即 2 N aC切 l R
由于
0r l
所以 4l
R
例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 开始时第一个圆盘以
T2
T1
d d T cos df (T dT ) cos 2 2 df d d dN T sin (T dT ) sin 2 2 d d d 利用近似： cos 1 sin 2 2 2
忽略二阶无穷小量，得到：
dN
dN dT
dN Td
两式相除得到：
3mg cos mg cos Rx sin R y cos 4
当 0 时,得到
3mg Rx 4 mg Ry 4
Ry
0
Rx
例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴 在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
3g d cos d 两边积分 2l 3g 2 得到 (sin sin 0 ) l
0
3g d cos d 2l 0
Ry
轴反力的两个分量 Rx
0
Rx
和 Ry ,列出质心运动方程: 法线方向 切线方向
2
mg
l 2 m mg sin Rx cos R y sin 2 l d m mg cos Rx sin R y cos 2 dt
1 长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使 4
麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度 多大？ 解： 以麦杆和甲虫为系统
v0
o
12v0 解得： 7l
碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为
2 l 1 1 2 于是有： m v0 m l m l 4 4 12
解得： a1 a2 g cot
m1 m1 1 m1 arccos 2 4 2 m2 m2 m2
例2. 质量为M、半径为R的光滑半球，其底面放在光 滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。 已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 角。系 统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速 度。 解：设半球面到图示 虚线位置时，小滑块 与竖直线夹角为
mac mgsin mgcos
转动定理
ac
θ mg
f
1 mR 2 mg cos R 纯滚动条件: 2
1 解得: tan 3
ac R
例11. 一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R
的大星体作半径为 2R的圆周运动.从远处飞来一个
GM 质量为2m, 速度为 v 的小流星.恰好沿着 R 卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成
2 2
R
vC r l0 l 3r
2 2
r
细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动 切向加速度为 aC切
dvC dvC dr d 2 2 2 l 3r dt dr d dt
l 4 02 R
法向加速度为
l r aC法 r 2 2 2
2 2 0
l 3r
l N1l sin 60 2Mg cos 60 0 2
求得：
1
N2
2 Mg
2 3
f
600
B
例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个 小孔，孔与水面相距为 h 水从小孔 流出，求水从小孔流出时的速度。 解：在孔处取单位体积的小体元 体元左侧面积为单位面积，受力等于 该处的压强 f l gh p0 右侧面积为单位面积，受力 f r p0 此体元经受力
或写成 3mg (sin sin ) mg sin R cos R sin 0 x y
3mg cos mg cos Rx sin R y cos 4
3mg (sin sin 0 ) mg sin Rx cos Ry sin 2
碰后，当甲虫距轴心为 x 时系统的转动惯量为
1 J ml 2 mx 2 12 作用在系统上的重力矩为：
o
v0
x
据转动定理：
M mgxcos d J M
dt
应有：
dx 即：2mx mgx cos( t ) dt
d dJ J mgx cos( t ) dt dt
,问
为源自文库值时
T2
T1
2m
m
T2
T1
2m g
mg
列方程:
m:
2m :
T1 mg ma
T2
T1
2mg T2 2ma
T1
a
T2
2m g
a
mg
滑轮:
1 2mR 2 RT2 RT1 2
不打滑的条件:
a R
T1 mg ma
2mg T2 2ma
1 2mR 2 RT2 RT1 2
例3：长为l 质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直
0 60 墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为
一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时 梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与 地面之间的摩擦系数 A N 1 解：系统力平衡 力矩平衡
f N1 N 2
0
N 2 2Mg
f
m1 g
m2 g
fr1 d1 dt 两边积分 J1
r1 d1 J1 10
1
fdt
0
t
r1 10 1 fdt J1 0
对于盘2：
t
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
d 2 J2 fr2 dt d 2 fr2
dt J2
f
fr2 d 2 dt J2
m1 g
m2 g
可解得：
J r 10 1 J r J 2 r12
2 1 2 2 1 2
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
例9: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m 的物体, 绳与滑轮之间的摩擦系数为 绳与滑轮之间无相对滑动. 解: 受力分析:
d P （1). 牛顿第二定律 F dt d L （2). 角动量定理 M dt
对于质点,角动量 L r P 对于刚体,角动量 L J (3). 保守力与势能关系 F E p
(4). 三种势能
重力势能
(5). 保守力的特点
g cos( t ) 于是甲虫的速度为： v 2
例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为 2l 的匀质细杆AB开始时绕着C点旋转,C点靠在环上, 且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着
圆环外侧运动,直至细杆的B端与环接触后彼此分离, 已知细杆与圆环间的摩擦系数 处处相同,试求 的取值范围. 解: 设初始时细杆的旋转 角速度为 0 ,转过 角后 角速度为 .由于摩擦力
新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化 可以忽略不计, 新星的速度仍沿原来方向. （1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.
（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞 给出新星体能否与大星体 M碰撞的判断。
fl
f r p0
f gh
( s 1)
此体元 运动单位距离就可以流出 按照牛顿第二定律： f 速度：v 2as 2gh a gh
例5. 质量为 m 长为 l 的匀质棒可绕固定的支点在竖直 0 30 平面内运动. 若棒在与水平线成 角位置从静止开始 下落,试计算当棒落到水平位置时,作用于支点的力. 解: 由转动定理
a R
由以上四式解得:
T2
T1
5 T1 mg 4
3 T2 mg 2
绳中的张力分析 任取线元
d 2
T dT
d
dN
dl Rd
此线元切向运动方程为：
T
df
d 2
d d T cos df (T dT ) cos 2 2
此线元法向运动方程为：
d d dN T sin (T dT ) sin 2 2
10 的角速度旋转，
J2
第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，
求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度
10
r1
r2
解： 受力分析： 无竖直方向上的运动
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
N1 f m1 g N 2 f m2 g
以O1点为参考点， 计算系统的外力矩：
f
m1 g
m2 g
a1
m1
a1
m2
a2.
解： 画隔离体图，受力分析
a1
m1
a1
m1
T
T
a1
m2
a2.
T
a1
m2
a2.
a1
m1
T
T
列方程：
T
a1
m2
a2.
T T cos m1a1
T cos m2 (a1 a2 cos )
m2 g T sin m2 a2 sin
a1 a2 沿绳的方向加速度应该相等：
并不作功,故细杆和圆环 构成的系统机械能守恒
A
l
C
R
l
B
1 1 2 应有: J C0 J P 2 2 2 1 1 2 2 这里 J C m(2l ) ml 12 3
A
l
1 J P m(2l ) 2 mr 2 12
v C r
P
l
B
r R
解得:
l0 l 3r
d l J mg cos dt 2 1 2 这里 J ml 3 d
0
mg
3g cos 得到角加速度 dt 2l 表达式可写成 d d d 3 g cos dt d dt 2l d 3g cos d 2l 3g d cos d 2l
M ( N2 m2 g )(r1 r2 )
f (r1 r2 ) 0
作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。 只能用转动定律做此题。 对于盘1：
d 1 J1 fr1 dt
d1 fr1 dt J1
阻力矩
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
fr1 d1 dt J1
dN dT
dN Td
解此方程得到： 当
两式相除得到：
dT d T
T T1e
时，
T T2
1
6 ln 于是得到摩擦系数为： 5
例10 均匀圆柱体,从静止沿斜面下滑,圆柱与斜面间摩擦系
数为µ,当摩擦系数为某一临界值时,圆柱体恰纯滚动地向
下滚动, 求此 临界值. 解: 质心运动方程 N
m1 g
m2 g
fr2 d 2 dt 两边积分 J2
r2 2 J2
2
r2 d 2 J2 0
N1
r1
fdt
0
t
fdt
0
t
于是有： J1 J2 (10 1 ) 2 r1 r2
10
o1
f
o2
N2
r2
不打滑条件： r11 r2 2
f
接触点处两盘的线速度相等
V
小滑块对地的速度为
半球面对地的速度为V
以地为参照系.
小滑块滑离半球面前绕球心的角速度为
小球速度：
x V R cos y R sin
水平方向动量守恒 系统机械能守恒：
V
m x MV 0
1 1 2 2 2 m x y MV mgR cos mgR cos 2 2 2 g cos cos 解得： 2 R 1 m cos / m m
E p mgz 1 2 弹性势能 E p kx 2 Mm 万有引力势能 E p G r
F dr 0
L
作功与路径无关
(6).振动的微分方程
d q Cq 0 2 dt
圆频率: (7). 阻尼振动
2
C
l. 水平轻绳跨过固定在质量为m1的水平物块的一个 小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统 处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块 的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角 始终不变，试求 , a1 , a2.
A
l
v C r
N
l
P
B
列出细杆质心运动方程
maC切 N
maC法 f
R
不打滑的条件:
f N
2 2
f
f aC法 (l 3r )r 即 2 N aC切 l R
由于
0r l
所以 4l
R
例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 开始时第一个圆盘以
T2
T1
d d T cos df (T dT ) cos 2 2 df d d dN T sin (T dT ) sin 2 2 d d d 利用近似： cos 1 sin 2 2 2
忽略二阶无穷小量，得到：
dN
dN dT
dN Td
两式相除得到：
3mg cos mg cos Rx sin R y cos 4
当 0 时,得到
3mg Rx 4 mg Ry 4
Ry
0
Rx
例6.一长为 l 的细麦杆可绕通过中心 o 的水平转轴 在铅锤面内自由转动。开始时麦杆静止于水平位置 一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v0 垂直落到麦杆的
3g d cos d 两边积分 2l 3g 2 得到 (sin sin 0 ) l
0
3g d cos d 2l 0
Ry
轴反力的两个分量 Rx
0
Rx
和 Ry ,列出质心运动方程: 法线方向 切线方向
2
mg
l 2 m mg sin Rx cos R y sin 2 l d m mg cos Rx sin R y cos 2 dt
1 长度处，落下后甲虫立即向端点爬行。问为使 4
麦杆以均匀的角速度旋转，甲虫沿麦杆爬行的速度 多大？ 解： 以麦杆和甲虫为系统
v0
o
12v0 解得： 7l
碰撞过程角动量守恒，设碰后系统的角速度为
2 l 1 1 2 于是有： m v0 m l m l 4 4 12
解得： a1 a2 g cot
m1 m1 1 m1 arccos 2 4 2 m2 m2 m2
例2. 质量为M、半径为R的光滑半球，其底面放在光 滑水平面上。有一质量为m的小滑块沿此半球面滑下。 已知小滑块初始位置与球心联线与竖直线成 角。系 统开始时静止。求小滑块滑离半球面前绕球心的角速 度。 解：设半球面到图示 虚线位置时，小滑块 与竖直线夹角为
mac mgsin mgcos
转动定理
ac
θ mg
f
1 mR 2 mg cos R 纯滚动条件: 2
1 解得: tan 3
ac R
例11. 一个质量为m 的卫星围绕着质量为M,半径为R
的大星体作半径为 2R的圆周运动.从远处飞来一个
GM 质量为2m, 速度为 v 的小流星.恰好沿着 R 卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成
2 2
R
vC r l0 l 3r
2 2
r
细杆质心C将沿着圆的渐开 线运动 切向加速度为 aC切
dvC dvC dr d 2 2 2 l 3r dt dr d dt
l 4 02 R
法向加速度为
l r aC法 r 2 2 2
2 2 0
l 3r
l N1l sin 60 2Mg cos 60 0 2
求得：
1
N2
2 Mg
2 3
f
600
B
例4：在水平地面上的一个桶内成有水，桶的侧面有个 小孔，孔与水面相距为 h 水从小孔 流出，求水从小孔流出时的速度。 解：在孔处取单位体积的小体元 体元左侧面积为单位面积，受力等于 该处的压强 f l gh p0 右侧面积为单位面积，受力 f r p0 此体元经受力
或写成 3mg (sin sin ) mg sin R cos R sin 0 x y
3mg cos mg cos Rx sin R y cos 4
3mg (sin sin 0 ) mg sin Rx cos Ry sin 2
碰后，当甲虫距轴心为 x 时系统的转动惯量为
1 J ml 2 mx 2 12 作用在系统上的重力矩为：
o
v0
x
据转动定理：
M mgxcos d J M
dt
应有：
dx 即：2mx mgx cos( t ) dt
d dJ J mgx cos( t ) dt dt
,问
为源自文库值时
T2
T1
2m
m
T2
T1
2m g
mg
列方程:
m:
2m :
T1 mg ma
T2
T1
2mg T2 2ma
T1
a
T2
2m g
a
mg
滑轮:
1 2mR 2 RT2 RT1 2
不打滑的条件:
a R
T1 mg ma
2mg T2 2ma
1 2mR 2 RT2 RT1 2
例3：长为l 质量为M的均质重梯上端A靠在光滑的竖直
0 60 墙面上，下端B落在水平地面上，梯子与地面夹角为
一质量也为M的人从B端缓慢爬梯，到达梯子中点时 梯子尚未滑动，稍过中点，梯子就会滑动，求梯子与 地面之间的摩擦系数 A N 1 解：系统力平衡 力矩平衡
f N1 N 2
0
N 2 2Mg
f
m1 g
m2 g
fr1 d1 dt 两边积分 J1
r1 d1 J1 10
1
fdt
0
t
r1 10 1 fdt J1 0
对于盘2：
t
10
o1
N1
r1
f
o2
N2
r2
d 2 J2 fr2 dt d 2 fr2
dt J2
f
fr2 d 2 dt J2
m1 g
m2 g
可解得：
J r 10 1 J r J 2 r12
2 1 2 2 1 2
J1r1r2 10 2 2 2 J1r2 J 2 r1
例9: 质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m 的物体, 绳与滑轮之间的摩擦系数为 绳与滑轮之间无相对滑动. 解: 受力分析: