抛物面椭圆抛物面

§4.6 抛物面
一、椭圆抛物面
z
x2 y2 2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
椭圆抛物面方程
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕 z 轴旋
转而成的）
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
与平面 y y1 的交线为抛物线.

x
2


2
p
z

y12 2q

y y1
它的轴平行于 z 轴.
顶点

0,
y1 ,
y12 2q

（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
图形如下：
z
o
y
x
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2

2
pz1

y2 2qz1

1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2

y2

2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
一、双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
一、双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
一、双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2z截痕法来自用z = a截曲面x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0