3.7抛物面122

2 有界性(bounded)
椭圆抛物面(3.24)位于xoy平面的上方，且在z轴的正向无界.
3 顶点及截距(vertex and intercept)
(4.6－1)与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；x y 0 ， z y 0 ， x z 0 代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y 轴,，z轴上的截距都是零。
三、双曲抛物面的形状
三、双曲抛物面的概念
定义3.9
在直角坐标系下，由方程
x2 y 2 2 2z 2 a b
（3.25）
Hale Waihona Puke Baidu
所表示的曲面叫做双曲抛物面 ( hyperbolic paraboloid ), 也叫马鞍面, 其中a，b为任意的正常数. 方程（3.25）叫做双曲抛物面的标准方程.
四、双曲抛物面的几何特性与形状
程。 分析：
x 2 y2 对称面为xOz 面与yOz 面 2 + 2 = 2z a, b > 0 a b
1 ，求这个椭圆抛物面的方 , 1,1 3
且 (1, 2, 6), ( 1 , 1,1) S 3
a, b
Ⅱ 双曲抛物面
一、双曲抛物面的概念 二、双曲抛物面的性质
y O
x
z
O
y
x
z
精品课程《解析几何》
z
y
x
O y
O
x
双曲抛物面被 xOy 面分割成上、下两部分，上半部分沿x 轴的两个方向上升，下半部分沿y 轴的两个方向下降，曲面的
大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面。
试验证双曲抛物面的参数方程为 x a u v , y b u v , z 2uv, 式中 u , v 为参数.
x
Cx＝0
y O
Cy＝0
主抛 物线
x2 y2 2 2 0 b a z 0
————其为点（0，0，0）
x 2 2a 2 z ————xoz 面上的抛物线 y 0
y 2 2b2 z ———— yoz 面上的抛物 线 x 0
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均 向z轴正方向
x2 y2 当a b 时, 2 2 2 z x 2 y 2 2a 2 z , a b
课程《几何学》
例 将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴旋转
o
y
课程《几何学》
例 将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴旋转
o
y
x
例2 作出曲面 z 4 x2 与平面 2 x y 4 ，三坐标面所围成
的立体在第一卦限部分的立体图形.
z
（0，0，4）
A
D
O
（2，0，0）
x
B
C
（0，4，0） y
例2 作出曲面 z 4 x2 与平面 2 x y 4 ，三坐标面所围成
的立体在第一卦限部分的立体图形.
分别在抛物线（2）和（3）上变化.
②用y
=
2 y2 x 2a 2 z 2 ， C y k： 2b 抛物线 k截曲面 y k. z
结论：取这样两个抛物线， 它们所在的平面互相垂直， 它们的顶点和轴都重合，且 两抛物线有相同的开口方向， 让其中一条抛物线平行于自 己（即与抛物线所在的平面 平行），且使其顶点在另一 个抛物线上滑动，那么前一 抛物线的运动轨迹是一个椭 圆抛物面. x
曲面在x轴,y轴及z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点 叫做顶点.
4 主截线
1°用坐标面z = 0 截割曲面，得
两相交直线 Cz=0 . 2°用坐标面y = 0 截割曲面，得
x 2 2a 2 z , 抛物线 C y 0： y 0.
两条主抛物线具有相同的顶点 和对称轴,但开口方向相反.
y O
x
① 当 k 0 时，（4）为原点； ② 当 k 0 时，（4）为椭圆，其顶点为（0， b 2k，k）， （ a 2k ，0，k）. 两半轴长为： a 2k , b 2k .
椭圆抛物面(3.24)是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成 的，这些椭圆的顶点（ a 2k ,0，k）,（0， b 2k ,k）
z
Cy＝0
y
3°用坐标面x = 0 截割曲面，得
y 2 2b 2 z, 抛物线 Cx 0： x 0.
O
x
Cx＝0
5 平截面
1°用平面z = h截割曲面，得 x2 y2 2 2 1, 双曲线 Cz h： 2a h 2b h z h. 当h>0 时， 实轴平行于x轴 当h<0 时， 实轴平行于y轴 x z
a
0
a
3 a 2
y
.
3 a 2
a
x
平面x a, y a, z a, x y z
z
3 a 2
3 a 在第一卦限所围立体图 2
a x=0
y=0
0
z=0
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x

谢谢观看！
3,4
作业：P73
5. 平截线
1°用z = k (k>0)截曲面
z
x2 y2 2 2 1, 椭圆 Cz k：2a k 2b k z k.
结论：椭圆抛物面可看作 由一个椭圆的变动（大小 位置都改变）而产生，该 椭圆在变动中，保持所在 平面与xOy 面平行，且两 对顶点分别在两主抛物线 上滑动
x
作出曲面 x 2 y 2 a 2，x2 z2 a 2 ,x 0, 0, 0所围立体图 y z
z
a
0
a
y
a
x
作出曲面 z 1 x 2 y 2 和 x 2 y 2 z 1 所围立体图形
z 1
0
1
y
x
–1
3 平面x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图 2 z
x2 y 2 双曲抛物面 a 2 b2 2 z
x2 y 2 2 2 z 2 a b
椭圆抛物面
x2 y 2 2 2 z 2 a b
抛物面的方程可以写成统一的形式：
Ax2 By2 2z AB 0 （＊）
当 AB 0 时， （＊）表示椭圆抛物面； 当 AB 0 时， （＊）表示双曲抛物面.
z
（0，0，4）
A
D
O
（2，0，0）
x
B
（0，4，0） y C
例 3 作出球面 x2 y 2 z 2 8 与旋转抛物面 x2 y 2 2 z 的交线.
z （0，0，2）
o
.
x
y
例 3 作出球面 x2 y 2 z 2 8 与旋转抛物面 x2 y 2 2 z 的交线. z L
（0，0，2）
.
x y 4
2 2
. .
o
x
y
2 2
例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
y
6
2
x
6
例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
x
精品课程《解析几何》
例 将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
旋转抛 物面
绕它的对称轴旋转
x2 y 2 2 pz
.
o
y
x
二、椭圆抛物面的性质
1 对称性（symmetric）
椭圆抛物面(3.24)关于z轴对称，z轴为主轴； 关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面； 而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心.
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
y
2
x
6
例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
6
y
2 4
x
6
精品课程《解析几何》 例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
4.主截线
1°用z = 0 截曲面
z
Cz 0： 0,0,0 顶点
2°用y = 0 截曲面
两条主抛物线具 有相同的顶点,对 称轴和开口方向
x 2 2a 2 z， 抛物线 C y 0： y 0.
3°用x = 0 截曲面
y 2 2b 2 z， 抛物线 Cx 0： x 0.
例2 作出曲面 z 4 x2 与平面2 x y 4 ，三坐标面所围成
的立体在第一卦限部分的立体图形.
分析：
2 x y 4, 直线 Γ xy： z 0.
x 2 z＋4, 抛物线 Γ zx： y 0.
O
z
（0，0，4）
（0，4，0）
y
（2，0，0）
6
0
6
y
2 4
x
6
5作出曲面 x2 y2 a 2，x2 z2 a 2 ,x 0, 0, 0所围立体图 y z
z
0
a
y
x
a
作出曲面 x 2 y 2 a 2，x2 z2 a 2 ,x 0, 0, 0所围立体图 y z
z
y=0
x=0
0
z=0
a
y
a
3 a 2
a
0
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
3 平面x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图 2
z
3 a 2
a
0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
平面x a, y a, z a, x y z
z
3 a 2
3 a 在第一卦限所围立体图 2
1 对称性 （symmetric）
双曲抛物面(3.25)关于yoz平面，xoz平面对称，这两个平面
称为主平面；关于z轴对称，z轴称为主轴；而关于xoy平面，
x轴,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心.
2 有界性 (bounded)
由(3.25)知双曲抛物面(3.25)是无界曲面.
3 截距（intercept）
6
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
6
y
2 4
x
6
精品课程《解析几何》 例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
6
x+y+z=6
0
6
y
2 4
x
6
例4 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成 z 的立体图
Cz＝h
y
O
Cz＝h
精品课程《解析几何》 2°用平面y= t 截曲面，得 抛物线
z
2 t2 x 2a 2 ( z 2 ), C y t： 2b y t.
O
y
x
Cy＝t
精品课程《解析几何》 z 结论：如果取两个这样的
抛物线，它们的所在平面 相互垂直，有公共的顶点 与轴，而两抛物线的开口 方向相反，让其中的一个 抛物线平行于自己（即与 抛物线所在的平面平行）， 且使其顶点在另一抛物线 上滑动，那么前一抛物线 的运动轨迹便是一个双曲 抛物面。
y O
平行截割法
主截口
x2 y 2 2 2z 2 a b
z
用z = 0 截曲面
用y = 0 截曲面
用x = 0 截曲面 辅助截口 用z = h 截曲面 用y = k 截曲面 用x = t 截曲面
x y 0
例1 已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与
yOz面，且过点 1, 2,6 和
临沂大学理学院
专业课程《几何学》
§3.7 抛物面
课程《几何学》
Ⅰ椭圆抛物面
一、椭圆抛物面的概念 二、椭圆抛物面的性质
三、椭圆抛物面的图形
课程《几何学》
一、椭圆抛物面的概念
1 定义3.8
在直角坐标系下，由方程
x2 y 2 2 2 z a, b 0 2 a b
(3.24)
所表示的曲面叫做椭圆抛物面 (elliptic paraboloid). 方程(3.24)叫做椭圆抛物面的标准方程.