§11.1 随机事件及其概率

第十一章概率与统计

命题探究

(2017课标全国Ⅱ,18,12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单

位:kg),其频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于

50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖

方法有关;

量<50 kg箱产量≥50 kg

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确

到0.01).

附:

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k 3.841 6.63510.828

,

K2=-.

解析(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.

由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,

故P(B)的估计值为0.62.

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.

因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50 kg箱产量≥50 kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

K2=-≈15.705.

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积

为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值

为50+-≈52.35(kg).

核心考点

1.频率分布直方图;

2.独立性检验;

3.相互独立事件的概率乘法公式;

4.用样本的数字特征估计总体的数字特征.

思路分析

(1)由题意可知:P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分别求得B,C发生的频率,即可求得A的概率;

(2)完成2×2列联表,求得观测值,与参考值比较,即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;

(3)根据频率分布直方图即可求得其中位数的估计值.

思维拓展

第3问解法二:根据已知数据分析可得中位数一定落在第四组[50,55)中,设中位数是x,

则0.004×5+0.02×5+0.044×5+(x-50)×0.068=0.5,解得x≈52.35,即新养殖法箱产量的中位数的估计值为52.35kg.

方法总结

解决统计图表问题时,应正确理解图表中各量的意义,通过图表掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布.

储备知识

频率分布直方图的特征:

(1)各小矩形的面积和为1.

(2)纵轴的含义为频率/组距,小矩形的面积=组

距×频率

组距

=频率.

(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘其底边中点的横坐标之和.

(4)众数的估计值为最高的小矩形的底边中点的横坐标.

(5)中位数是把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标.

命题规律

1.必考内容:各种统计图表与概率的有关内容相结合或与统计案例相结合.

2.考查形式:以解答题为主,将统计与概率知识结合起来考查.

3.分值:约12分.

能力要求

1.会列频率分布表,会画频率分布直方图,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的数字特征估计总体的数字特征,理解用样本估计总体的思想;

2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单的应用.

§11.1随机事件及其概率

考纲解读

分析解读 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能事件的概率的意义,会用排列、组合的基本公式计算一些等可能事件的概率.3.用互斥事件的概率公式计算一些事件的概率是高考的热点.

五年高考

考点事件与概率

1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()

A. B. C. D.

答案D

2.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.

答案

3.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数

(1)试估计C班的学生人数;

(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;

(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ

,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)

1

解析(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×=40.

(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2, (5)

事件C

为“乙是现有样本中C班的第j个人”,j=1,2, (8)

j

由题意可知,P(A

)=,i=1,2,...,5;P(C j)=,j=1,2, (8)

i

P(A i C j)=P(A i)P(C j)=×=,i=1,2,...,5,j=1,2, (8)

设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意

知,E=A

C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.

1

因此

P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3) +P(A5C4)=15×=.

(3)μ1<μ0.