抽样方法、正态分布
生物统计学课件--3正态分布和抽样分布.
当152<X<162时，
P(152 X 162 ) (162 156 .2) (152 156 .2)
4.82
正态曲线有一组而不是一条
2、正态分布的累积函数
x
F(x) P(X x) f (x)dx
1
x 1( x )2
e 2 dx
2
对于任何总体分布，随机变量X的值落入任意区间（a，b）的 概率，为：
b
P(a x b) f (x)dx
a
e 2 2
1
1( x )2
e2
2
2
其中：- ∞ < x < ∞， > 0 。
正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线
x
决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最 高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越 陡峭，数据越整齐。
N（ ，2 ） N（1 U< 1.15）= (1.15) - (-0.82)
= 0.87493 - 0.20611 = 0.66882
3、非标准正态分布：
常见的情形是 N（，2），为了能够使用正态分布表，可 将N（，2）化成 N（0，1），再按上述方法从正态分布 表中查取相应的数值。
1
2
b 1( x )2
e 2 dx
a
非标准正态分布：
f (x)
1
1( x )2
e2
2
f (x)
( x ) 2
1e 2
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
第53讲 抽样方法、用样本估计总体与正态分布
第53讲 抽样方法、用样品估计总体与正态分布【考点解读】1．了解抽样方法、用样品估计总体的意义。
2．了解正态分布的意义及主要性质．【知识扫描】1．利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样的方法.（1）一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≤N ）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
（2）一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。
（3）当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．2．（1）用样本的频率分布估计总体的分布：频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图 （2）用样本的数字特征估计总体的特征：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差 3.正态分布(1)如果随机变量ξ的概率密度为 φμ,σ(xx ∈(-∞,+∞)其中μ、σ分别表示总体的平均数与标准差，称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，记作ξ～N (μ,σ2),函数图象称为正态密度曲线，简称正态曲线.φμ,σ(x )dx ，则称ξ的分一般的，如果对于任何实数a <b ,随机变量ξ满足P (a <ξ≤b )= 布为正态分布(2)标准正态分布在正态分布中,当μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体，正态分布N (0,1)，称为标准正态分布，记作ξ～N (0,1).(3)正态曲线的性质(ⅰ)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； (ⅱ)曲线关于直线x =μ对称； （ⅲ）曲线在x =μ时位于最高点；（ⅳ）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线向它无限靠近；（ⅴ）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.(4)若ξ～N (μ,σ2),则E ξ=μ,D ξ=σ2.(5)若X ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.6826, P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544, P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.9974.(6)通常认为服从正态分布N (μ,σ2)的随机变量X 只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值 ,并简称之为3σ原则.22()2x μσ--ba⎰【考计点拔】牛刀小试：1．从编号为150 的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）()5,10,15,20,25A ()3,13,23,33B ()1,2,3,4,C ()2,4,6,16,32D 【答案】B2．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：选B.∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2.故选B.3．（2011四川高考）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量也会有所不同。
抽样分布描述了这些样本统计量的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布。
其中，正态分布是最常见的抽样分布，它在大样本情况下逼近于正态分布。
t分布适用于小样本情况，它相对于正态分布具有更宽的尾部。
F分布用于比较两个样本方差是否相等。
二、抽样分布的重要性1. 参数估计抽样分布为参数估计提供了理论基础。
在统计学中，我们通常通过样本统计量来估计总体参数。
抽样分布告诉我们，样本统计量的分布情况，从而帮助我们确定参数估计的可靠性和精确度。
例如，通过样本均值来估计总体均值，我们可以利用抽样分布计算置信区间，从而确定估计值的范围。
2. 假设检验抽样分布在假设检验中起着重要的作用。
假设检验是统计学中常用的推断方法，用于判断总体参数是否满足某种假设。
抽样分布提供了计算检验统计量的分布情况，从而帮助我们确定拒绝域和计算p值。
通过与抽样分布进行比较，我们可以判断样本统计量是否显著，从而对总体参数进行推断。
3. 抽样方法选择抽样分布对于选择合适的抽样方法具有指导意义。
不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生影响。
通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，从而提高样本的代表性和可靠性。
例如，在总体分布未知的情况下，我们可以选择使用无偏估计的抽样方法，以减小抽样误差。
4. 统计模型建立抽样分布为统计模型的建立提供了基础。
在建立统计模型时，我们通常需要假设样本统计量服从某种分布。
产品质量检测中的抽样方法与原理
产品质量检测中的抽样方法与原理从食品、药品到日用品，我们每天都接触到各种各样的产品。
然而，你是否想过，这些产品的质量是否能得到保证呢？在这篇文章中，我们将讨论产品质量检测中的抽样方法与原理，以揭示背后的科学和方法。
抽样是产品质量检测中非常重要的一环。
它是指从一个批次或者一个总体中选择一定数量的样品进行测试和评估。
而这些样品的质量表征了整个批次或总体的质量水平。
抽样的目的是保证样品的代表性，即使得抽样样品能够准确地反映整个批次或总体的质量水平。
在产品质量检测中，常见的抽样方法包括随机抽样和分层抽样。
随机抽样是指从被检测的总体中以概率相等的方式选择样品。
这种方法可以减少选择偏差，保证了样品的代表性。
而分层抽样是将总体划分为若干层次，然后在每个层次中进行随机抽样。
这种方法可以更好地控制总体中不同层次的变异性。
抽样方法的选择与检测目标和条件有关。
例如，在食品质量检测中，我们通常会选择随机抽样方法。
因为食品的质量问题可能出现在任何一个位置，而随机抽样可以最大程度上保证样品的代表性。
而在一些特定的产品质量检测中，比如药品或医疗器械的检测，我们可能会使用分层抽样方法，以保证各个层次的质量问题都能得到评估和控制。
抽样方法背后的原理是统计学中的抽样理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
通过样本均值的计算和对正态分布的分析，我们可以得到关于总体均值的估计值，进而对产品质量进行评估。
同时，统计学还提供了对抽样误差的分析和抽样容量的计算方法，以帮助我们设计一个可靠的抽样方案。
然而，抽样并非一种完美的方法。
由于抽样的局限性，我们不能保证抽样样品一定能够完全代表整个批次或总体。
同时，抽样也不能彻底避免人为因素的干扰，比如操作者的主观选择和操作误差。
因此，在产品质量检测中，我们需要将抽样与其他质量控制方法结合起来，以确保产品质量的稳定和可靠。
综上所述，产品质量检测中的抽样方法与原理是保证产品质量的重要环节。
常用的典型抽样分布法
常用的典型抽样分布法引言在数据分析中，抽样是一个常用的技术，它允许我们从总体中选择一个样本，以获取关于总体的信息。
抽样分布是指当我们从总体中进行多次抽样时，某个统计量的分布。
常用的典型抽样分布法是一种通过特定的方式进行抽样，从而得到特定的抽样分布。
本文将介绍几种常用的典型抽样分布法，包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
正态分布抽样正态分布（也称为高斯分布）是一个常见的连续概率分布，它在各个领域中都有广泛的应用。
当样本容量足够大时，根据中心极限定理，抽样分布将近似为正态分布。
因此，当我们使用大样本进行统计推断时，可以采用正态分布进行抽样。
在使用正态分布进行抽样时，我们需要知道总体的均值和标准差。
根据这些参数，我们可以使用随机数生成器从正态分布中抽取样本。
抽取样本的过程可以通过以下代码实现：import numpy as np# 设置总体均值和标准差mu = 0sigma = 1# 生成100个符合正态分布的随机数sample = np.random.normal(mu, sigma, 100)t分布抽样t分布是一种常用的概率分布，它在小样本情况下更为适用。
当样本容量较小时，样本的抽样分布会呈现出较大的偏差。
t分布考虑了样本容量的影响，使得在小样本情况下抽样分布更为准确。
在使用t分布进行抽样时，我们需要知道总体的均值和标准差，以及样本容量。
根据这些参数，我们可以使用随机数生成器从t分布中抽取样本。
使用Python中的scipy库进行抽样的示例代码如下：from scipy.stats import t# 设置总体均值和标准差mu = 0sigma = 1# 设置样本容量n = 20# 生成100个符合t分布的随机数sample = t.rvs(df=n-1, loc=mu, scale=sigma, size=100)卡方分布抽样卡方分布是一种常见的概率分布，常用于处理正态分布总体方差的问题。
在使用卡方分布进行抽样时，我们需要知道总体的方差和自由度。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
生物统计学课件-3正态分布和抽样分布
近似性
当样本量足够大时，样本 统计量近似服从正态分布。
抽样分布在生物学中的应用
01
实验设计
在生物学实验中，常常需要从总体中随机抽取一定数量的样本进行实验，
以评估实验结果的可重复性和可靠性。抽样分布理论为实验设计提供了
理论基础。
02
数据处理和分析
在生物学数据分析和统计推断中，常常需要利用样本统计量来估计总体
生物统计学课件-3正态分布 和抽样分布
目录
• 正态分布 • 抽样分布 • 正态分布与抽样分布的关系 • 实例分析
01
正态分布
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形，对称轴为均值所在直线。
在正态分布中，数据点在均值附近最为集中，向两侧逐渐减少，形成钟形曲线。
正态分布是自然界和人类社会中最为常见的分布形态之一，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
02
抽样分布
抽样分布的定义
01
02
03
抽样分布
描述样本统计量（如样本 均值、样本方差等）的概 率分布。
样本统计量
从总体中随机抽取的样本 所计算出的各种统计指标， 如样本均值、样本方差等。
总体
研究对象全体个体的集合。
抽样分布的性质
独立性
样本统计量之间相互独立。
随机性
样本统计量的取值具有随 机性。
中心极限定理
在大量独立随机抽样的前提下，不论总体分布如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
样本均值的方差与总体方差的关系
样本均值的方差随着样本量的增加而趋近于总体方差的1/n，其中n为样本量。
正态分布与抽样分布的区别
定义不同
正态分布是对总体特征的描述，而抽样分布是对样本统计 量的描述。
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别统计推断是统计学的重要分支，用于从一个样本中推断总体的性质。
在进行统计推断时，我们需要对样本进行抽样，并利用抽样数据来进行分析。
抽样分布是统计推断的基础，它是由样本数据的一个统计量构成的分布。
本文将对抽样分布的概念、属性以及判别进行总结，并阐述其在统计推断中的作用。
抽样分布的概念：抽样分布是由样本统计量的取值构成的概率分布。
在统计推断中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样来获取一部分数据。
我们需要对样本数据进行抽样，得到一个样本统计量，如均值、方差等。
样本统计量的分布即为抽样分布。
抽样分布的属性：1. 中心性质：抽样分布的中心通常与总体相同或近似相同。
当样本容量足够大时，抽样分布的均值接近总体均值。
2. 精确性质：抽样分布的方差通常比总体方差小。
样本容量越大，抽样分布越接近总体分布。
3. 形态性质：抽样分布的形态通常与总体分布有关。
当总体分布近似于正态分布时，抽样分布也近似于正态分布。
抽样分布的判别：在进行统计推断时，我们通常需要判断一个样本统计量是否来自某个已知分布。
为此，我们可以利用分布的特征进行判别。
1. 直方图：可以通过绘制样本统计量的直方图来观察其分布情况。
如果直方图呈现对称分布且近似于正态分布，那么我们可以判定样本统计量来自正态分布。
2. 正态概率图：正态概率图是一种用于判断数据是否来自正态分布的图形方法。
如果数据点近似位于一条直线上，那么可以判定数据来自正态分布。
3. 假设检验：通过设立假设并进行统计检验，可以判断样本统计量是否来自某个特定的分布。
常用的假设检验方法包括Z检验、t检验等。
抽样分布在统计推断中的作用：抽样分布在统计推断中起着重要的作用，它为我们提供了从样本推断总体性质的基础。
1. 参数估计：通过样本的抽样分布，可以进行总体参数的点估计和区间估计。
通过样本均值的抽样分布，可以推断总体的平均值。
2. 假设检验：抽样分布是进行假设检验的基础。
随机抽样用样本估计总体正态分布.ppt
各自特点
从总体中逐个 抽取
将总体分成几 层进行抽取
将总体均分成 几部分，按事 先确定的规则 在各部分抽取
相互联 系
最基本 的抽样 方法
各层抽 样时采 用简单 随机抽
样
在起始 部分抽 样时采 用简单 随机抽
样
23
适用范 围
总体中 的个体 数较少
总体由 差异明 显的几 部分组
成
总体中 的个体 数较多
2.频率分布直方图会使样本的一些数字特征更明显，
9
(2)依题意，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ 的分布列如下：
所以 Eξ＝0×1545＋1×2585＋2×1525＋3×515＝1.
体的方差最小，0
21
1．统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局 部推断整体，这就要求样本应具有很好的代表性， 而样本良好客观的代表性，完全依赖抽样方法． 三种抽样方法的比较：
22
类别 简单随机抽样
分层抽样
系统抽样
共同点
①抽样过程中 每个个体被抽 取的概率是相 等的；②均属 于不放回抽样
在区间(68,75)中的概率．
7
素材1
设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 b∶a＝
5－1 2
≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩
形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取
两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
三大抽样分布
F(n1, n2)为F(n1, n2)的上侧分位点；
1 注： F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
F (n1 , n2 )
若X 1 , Y1 ,
, X n1 来自正态总体X, X ~ N ( 1 , 12 ),
2 , Yn2 来自正态总体Y, Y ~ N ( 2 , 2 ), 且两样本独立.
当
2 ( n)
2.t 分布
关于t分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉· 西利· 戈塞 特（Willam Sealy Gosset）在1990年进行的。 t分布是小样本分布，小样本一般是指n＜30。t分布适用于 当总体标准差未知时用样本标准差s代替总体标准差σ，由
样本平均数推断总体平均数及两个小样本之间差异的显著性
χ2 分布是海尔墨特（Hermert）和卡· 皮尔生（K· Pearson） 分别于1875年和1890年导出的。它主要适用于对拟合优度检 验和独立性检验，以及对总体方差的估计和检验。 χ2 分布是一种抽样分布。当我们对正态随机变量随机地重 复抽取个数值，将每一个值变换成标准正态变量，并对这个 新的变量分别取平方再求和之后，就得到一个服从χ2分布的 变量，即
F分布的主要性质有： ①F分布是一种非对称的分布，呈右偏态； ② F分布两个自由度：n1-1和n2-1，相应的分布记作F(n1-1,n2-
1)。通常n1-1称为分子自由度， n2-1称为分母自由度。
③随n1,n2的不断增大，F分布的右偏程度逐渐减弱，但不会趋向 正态；
④具有倒数性质即若X～F(n1,n2)，则1/X～F(n1,n2)；
(4) t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量对应不同的 分布，且均值都为0；随着自由度的增大，分布也逐渐趋 于标准正态分布。
随机抽样、用样本估计总体、正态分布
11.6 随机抽样 用样本估计总体 正态分布教材细梳理—-知识点 一.随机抽样 1.简单随机抽样(1).定义：一个总体含有N 个个体，从中逐个①_____地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会_②_____，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2). 最常用的简单随机抽样方法有两种___③__法和_④_________法． (3). 适用于 ⑤ 的情况. 2.系统抽样(1).定义：将总体分成 ⑥ 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样 . (2).系统抽样步骤：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本. a. 先将总体的N 个个体⑧ ．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；（编号的位数要一样） b. 确定⑨ ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n；c. 在第1段用_⑩_________确定第一个个体编号l (l ≤k )；d. 按照一定的规则抽取样本．通常是将l ⑪ 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k ) 依次进行下去，直到获取整个样本． (3).系统抽样适用于⑫ 的情况. 3.分层抽样(1).定义：当总体由⑬ 组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占⑭ 进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2).分层抽样适用于总体由差别明显的几部分组成的情况. 二.样本估计总体有关概念和知识点1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①__________估计总体的分布．另一种是用样本的② 估计总体的数字特征. 2.频率分布直方图画法(1)．求极差（最大值-最小值=极差）. (2)．决定组距与组数.(3)．确定分点，将数据分组.5.茎叶图以数据的高位为茎，放中间，低位为叶放两边，它的优点是： （1）保留了原始数据，没有损失样本信息.（2）数据可以随时记录、添加或修改. (n x x ++-2(n x x ++-受极值影响较大。
抽样分布公式的详细整理
抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。
在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。
此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。
以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。
抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。
1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。
1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。
1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。
2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。
正态总体下的抽样分布
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
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正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
抽样分布的名词解释
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础引言在统计学中，抽样是一种常用的研究方法，通过从总体中选取一部分个体来代表整体，从而进行总体特征的估计和假设的推断。
抽样分布则是在给定样本量和总体分布情况下，研究抽样统计量的分布情况。
本文将总结抽样分布的基本公式，从样本到总体的推断基础。
一、样本均值的抽样分布当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本均值的期望值E(ȳ)等于总体均值μ，即：E(ȳ) = μ样本均值的方差V(ȳ)等于总体方差σ^2除以样本容量n，即：V(ȳ) = σ^2/n其中，σ^2为总体方差。
2. 区间估计的抽样分布公式样本均值的标准差σ(ȳ)等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即：σ(ȳ) = σ/√n根据正态分布的性质，样本均值与总体均值之间的差异服从一个以0为均值、σ(ȳ)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本均值与总体均值之间的差异来构建置信区间，从而进行总体均值的估计。
二、样本比例的抽样分布当样本容量n足够大时，样本比例的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本比例的期望值E(p)等于总体比例π，即：E(p) = π样本比例的方差V(p)等于总体比例π(1-π)除以样本容量n，即：V(p) = π(1-π)/n其中，π为总体比例。
2. 区间估计的抽样分布公式样本比例的标准差σ(p)等于总体比例π(1-π)/n的平方根，即：σ(p) = √(π(1-π)/n)根据正态分布的性质，样本比例与总体比例之间的差异服从一个以0为均值、σ(p)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本比例与总体比例之间的差异来构建置信区间，从而进行总体比例的估计。
三、样本差异的抽样分布当两个样本容量n1和n2都足够大时，样本差异（两个样本均值之差或两个样本比例之差）的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本差异的期望值E(ȳ1-ȳ2)等于总体均值之差μ1-μ2，即：E(ȳ1-ȳ2) = μ1-μ2样本差异的方差V(ȳ1-ȳ2)等于两个总体方差σ1^2/n1和σ2^2/n2之和，即：V(ȳ1-ȳ2) = σ1^2/n1 + σ2^2/n2其中，σ1^2和σ2^2为两个总体方差。
正态分布的抽样方法
2
x n ) 内的概率 。 于是可将分布 f
3
( x) 写成加分布的形式 : f
( x) =
n =1
6
12
pnf
n
3
( x) 。 这样一来 , 便可用加抽样方
法来实现类正态分布的随机抽样 , 其抽样效率 η = 01801 2 , 远比在矩形内的舍选抽样效率 η = 01250 7 高得 多。 其抽样框图如右下
2/ πexp ( - x 2 / 2 + | x | ) 。于是
( X f + 1) 2 ≤- 2lnξ 2 ? 1
( +)
(- )
X f = sign (ξ 3 - 0 15 ) X f
1
6 近似抽样方法
2 2 ( 1) 反函数近似 )≈a + b ξ+ c ξ ) 2 lnξ+ β ξ 文 [ 2 ]给出反函数近似的抽样公式 X F = F - 1 (ξ + α( 1 - ξ ln ( 1
495对于一种随机抽样方法可以从抽样费用速度简单容易实现精确性以及易于向量化等几项综合指标来考虑其优劣给出的是在微机486dos313操作系统tran环境下一些典型方法抽样结果的比较随机变量的抽样费用单位是微秒tran语句的行数和目标程序的字节数给出中可以看出极法是一种方便有效的抽样方法计算机模拟和蒙特卡罗方法
2 抽样方法的好坏 ,会影响别的分布 ,例如 χ 分布 、 T 分布等的抽样效率 。为此 , 本文概述若干实现正态分布的
随机抽样方法 , 并对各种抽样方法作了比较 , 以供在实际问题中选用 。
2 ) , 则 X = ( Y - a) / σ满足标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 。因此 , 下面 因为若随机变量 Y 满足正态分布 N ( a ,σ
第54讲随机抽样正态分布
点评求此概率需将问题化为正态随机变
题型三 频率分布表与频率分布直方图
( 表示纤维粗细的一种量 ) 共有100 个数据， 数据分组如下表
分 组 [1.30, [1.34 [1.38 [1.42 [1.46 [1.50 合计 , , , , , 1.34) 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 ) ) ) ) ) 4 25 30 29 10 2 100
点评1. 解答本题时，第 (1) 问首先需计
题型三 样本的数字特征估计总体
行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据 如下表：
甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36
例3 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进
(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2) 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速 度 (m/s) 数据的平均数、中位数、标准差，并判 断选谁参加比赛更合适.
(3)正态曲线的性质
(ⅰ)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(ⅱ)曲线关于直线x=μ对称；
（ⅲ）曲线在x=μ时位于最高点；
（ ⅳ ）当 x<μ 时，曲线上升；当 x>μ 时 , 曲线下降 , 并且当曲线向左、右两边无限延 伸时,以x轴为渐近线向它无限靠近；
（ⅴ）当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布 越分散； σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中.
因为Eη=0,Dη=1,Eξ=-5,Dξ=4,
而Eη=E(aξ+b)=aEξ+b,Dη=D(aξ+b)=a2Dξ. 又a>0,所以 所以η=
1 ξ+ 2
-5a+b=0 4a2=1
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抽样方法、正态分布重点、难点讲解：1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。
后两种方法是建立在第一种方法基础上的。
2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。
3．正态曲线及其性质：N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。
正态图象的性质：①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。
②曲线关于直线x=μ对称。
③曲线在x=μ时位于最高点。
④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。
⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。
4．一般正态分布与标准正态分布的转化对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x<x0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。
又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。
任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。
5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。
知识应用举例：例1．从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。
解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。
第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，......，10；第二部分的个体编号11，12，......，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492， (500)第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。
第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。
例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。
思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。
解：（2）频率分布直方图如下：（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；（4）寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。
（5）样本的期望为：所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。
例3．正态总体为μ=0, σ=1时的概率密度函数是f(x)=, x∈(-∞, +∞) ,（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
证明：（1）任意的x∈R，f(-x)=, ∴f(x)是偶函数。
（2）任取x1<x2<0，则，∴，∴，即f(x1)<f(x2)。
这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数，同理可证f(x)在(0, +∞)上是递减函数。
例4．随机变量ξ服从N(0,1)，求下列值。
（1）P(ξ≥2.55) （2）P(ξ<-1.44) （3）P(|ξ|<1.52)思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。
用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(a<x<b)=(b)-(a)；p(x≥x0)=1-p(x<x0)。
解：（1）P(ξ≥2.55)=1-p(ξ<2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。
（2）P(ξ<-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。
（3）P(|ξ|<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=(1.52)-(-1.52) =2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。
例5．设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x), x∈(-∞,+∞)。
（1）求μ，σ；（2）求p(|x-1|<)及p(1-<x<1+)。
思路分析：对照正态曲线函数，可以得出μ，σ；利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系，可以求出（2）。
解：（1）整理得：f(x)=，所以，μ=1, σ，故。
（2）p(|x-1|<)=p(1-<x<1+)=F(1+)-F(1-)=()-()=(1)-(-1)=2(1)-1 =2×0.8413-1=0.6826。
p(1-<x<1+2)=F(1+2)-F(1-)=()-()=(2)-(-1)=(2)+(1)-1 =0.9772+0.8413-1=0.8185。
例6．某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走，第一条线路穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N(60, 16)，（1）若只有70分钟时间可用，应走哪条路？（2）若只有65分钟时间可用，应走哪条路？思路分析：所谓最佳线路（应选择的线路）就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。
解：设x为行车时间。
（1）走第一条路及时赶到的概率为：P(0<x≤70)=≈=(2)=0.9772。
走第二条线路及时赶到的概率为：P(0<x≤70)=()=(2.5)=0.9938。
（2）走第一条线路及时赶到的概率为：P(0<x≤65)≈()=(1.5)=0.9332。
走第二条线路及时赶到的概率为：P(0<x≤65)≈()=(1.25)=0.8944。
因此应走第一条线路。
在线测试选择题1．如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中，抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的概率等于（）。
A、B、C、D、2．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，需要从他们中抽取一个容量为36的样本，适合抽取样本的方法是（）。
A、简单随机抽样B、系统抽样C、分层抽样D、先从老年人中剔除1人，然后再分层抽样3．在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（）。
A、总体容量越大，估计越精确B、总体容量越小，估计越精确C、样本容量越大，估计越精确D、样本容量越小，估计越精确4．在10人中，有4个学生，1个干部，2个工人，3个农民，数是工人占总体的（）。
A、频数B、概率C、频率D、累积频率5．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下：则样本在区间(-∞，50)上的频率为（）。
A、0.5B、0.25C、0.6D、0.76．对于样本频率分布的直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（）。
A、频率分布直方图与总体密度曲线无关。
B、频率分布直方图就是总体密度曲线。
C、样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线。
D、如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布的直方图就会无限接近于总体密度曲线。
7．关于正态总体的密度函数所对应的曲线，下列叙述中不正确的是：（）。
A、曲线总是在x轴的上方。
B、曲线关于直线x=μ对称。
C、在区间(μ-2σ，μ+2σ)内取值的概率为95.4%。
D、当x≥μ时，f(x)随x的增大而增大，当x≤μ时，f(x)随x的减小而增大。
8．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤a)=P(ξ>a)，则a的值为（）。
A、0B、μC、-μD、σ9．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且Eξ=3，Dξ=1，则P(-1<ξ≤1)等于（）。
A、2φ(1)-1B、φ(4)-φ(2)C、φ(-4)-φ(-2)D、φ(2)-φ(4)10．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200，18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为（）。
A、0.9973B、0.8665C、0.8413D、0.8159答案与解析答案：1、C 2、D 3、C 4、C 5、D 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B解析：1.提示：采用分层抽样时，各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，所以每个个体被抽到的概率都是相等的。
2.提示：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常采用分层抽样。
4.提示：，所以数是工人占总体的频率。
5.提示：则样本在区间(-∞,50)上的频率为0.1+0.15+0.2+0.25=0.7。
6.提示：如果样本容量越大，所分组数越多，也就是组距不断缩小，那么频率分布的直方图就会无限接近于总体密度曲线。
因此它们有关，但频率分布的直方图不是总体密度曲线。
9.提示：一般的正态分布问题，能转化成标准正态分布问题来处理，即将正态分布中观察值x的概率P(a ＜x＜b)表示成标准正态分中的P(z1≤z≤z2)，其中z1=,z2= .由题意：，∴，∴。
“概率与统计”内容分析（二）6、简单随机抽样有哪些特点?答：(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个体被抽取的概率进行分析。
(2)这种抽样是从总体中逐个进行抽取，这就使得它具有可操作性。
(3)这是一种不放回抽样。
由于在抽样的实践中常常采用不放回抽样，使简单随机抽样具有较广泛的实用性，而且由于在所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，所以便于进行分析与计算。
(4)这是一种等概率的抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个体被抽取的概率相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
实施简单随机抽样主要有两种方法；即抽签法和随机数表法。
与系统抽样、分层抽样相比，简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，另两种抽样方法都建立在简单随机抽样的基础之上。
这三种抽样方法的共同点是：它们都属于等概率的抽样，都体现了抽样的公平性。
7、掷一枚均匀硬币两次，如何从二项分布的直方图上算出正面朝上至多发生一次的概率?答：先画出直方图(n＝2，p＝0.5)如图1所示。
由图可见，正面朝上至多发生一次的概率，就是横坐标从-0.5到1.5这两个长方形的面积之和，其中第一个长方形的面积对应于正面朝上至多发生一次的概率P=0.25×1+0.5×1=0.75。