2013届高考数学第一轮基础复习课件1 理

7 若将本例(2)中点 A 变为 A′( ，2)，则|PA′|＋|PM|的 2 最小值是多少？并求此时点 P 的坐标．
7 【解】 点 A′( ，2)在抛物线内部， 2 则|PA′|＋|PM|≥|A′M|， 当且仅当 P、A′、M 三点共线即直线 PA′垂直于 y 轴时 取等号， 7 ∴|PA′|＋|PM|的最小值为 . 2 此时点 P 的纵坐标 y＝2. 代入 y2＝2x，得 x＝2， 因此，点 P 的坐标为(2,2)．
【解】 (1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p· 1， 所以 p＝2. 故抛物线 C 的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t.
y＝－2x＋t， 由 2 得 y2＋2y－2t＝0. y ＝4x，
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 1 所以 Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－ . 2 5 . 5 |1×2－2×1－t| |t| 又点 A(1，－2)到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 d＝ |t| 5 ＝ ，则 t＝± 1. 5 5 1 1 因为－1∉[－ ，＋∞)，1∈[－ ，＋∞)， 2 2 ∴ 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0.
从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性 质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档 题目，有时也与向量、不等式等综合命题，以解答题的形式出 现，考查分析问题和解决问题的能力以及创新探究能力．
创新探究之九 以抛物线为背景的创新题 (2011· 湖南高考)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离 与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l2 与轨迹 C 相交于点 D，E， → EB → 求AD· 的最小值．
【解析】 M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准 1 1 15 线方程为 y＝－ ，设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 16
【答案】
B
2．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2， 则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x
【答案】 C
抛物线的定义及应用
(1)(2011· 广东高考)设圆 C 与圆 x2＋(y－3)2＝1 外切， 与直线 y＝0 相切，则 C 的圆心轨迹为( A．抛物线 C．椭圆 B．双曲线 D．圆 )
(2)(2012· 广州六校联考)已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的 7 动点， P 在 y 轴上的射影是 M， A( ， 则|PA|＋|PM| 点 点 4)， 2 的最小值是( 7 A. 2 ) B．4 9 C. 2 D．5
x≤0，y∈R p (－ ，0) 2
p (0， ) 2 _________
__________ p y＝ 2
_________
e＝1 |PF|＝ p x0＋ 2 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ p －y0＋ 2
___________ __________
1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨迹还是 抛物线吗？ 【提示】 不是．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过
【思路点拨】 分析． (2)确定抛物线的焦点，从而求出P即可．
D．y2＝± 2x 4
(1)只需求出焦点到准线的距离即可，可画图
【尝试解答】 (1)设抛物线方程为 y2＝2px， p 当 x＝ 时，y2＝p2，∴|y|＝p， 2 |AB| 12 ∴p＝ ＝ ＝6， 2 2 又点 P 到 AB 的距离始终为 6， 1 ∴S△ABP＝ ×12×6＝36. 2 (2)由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为(－ 2，0)或( 2，0)， ∴p＝2 2， ∴抛物线的方程为 y2＝4 2x 或 y2＝－4 2x.
y＝kx－1， 由 2 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. y ＝4x，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两个实根， 4 于是 x1＋x2＝2＋ 2，x1x2＝1. k 1 因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－ . k 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
由题意知p＝2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
【答案】 B
4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点 P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( ) A．4 C．4或－4 B．－2 D．12或－2
【解析】 设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)， p 由题意知 ＋2＝4， 2 ∴p＝4， ∴抛物线方程为 x2＝－8y， ∴m2＝16， ∴m＝± 4.
D．y2＝4x
p 【解析】 因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以 ＝2， 2 所以 p＝4，所以抛物线的方程是 y2＝8x.
【答案】
B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)
两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于(
A．10 【解析】 B．8
)
C．6 D．4
【答案】 (1)A (2)C
1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义 转化为到准线距离处理． 2．若 P(x0，y0)为抛物线 y2＝2px(p＞0)上一点，由定义 p 易得|PF|＝x0＋ ； 若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，1)， y 2 B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数 的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点 弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
【思路点拨】
(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C
到点的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结
论．
(2)利用抛物线定义，将|PM|转化为到焦点的距离，再数形结 合求解．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【尝试解答】
(1)设圆C的半径为r，则圆心
C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆 心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆 心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1， 故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的 距离相等，故点C的轨迹为抛物线．
【答案】 (1)C (2)D
1． 求标准方程要先确定形式， 必要时要进行分类讨论， 标准方程有时可设为 y2＝mx 或 x2＝my(m≠0)． 2．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线 y2＝2px(p y2 ＞0)上的点常设为( ，y)，便于简化计算． 2p
(1)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A、B 两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此
半径，写出圆的方程． (2)写出直线l′的方程，直线l′的方程和抛物线C的方程联立得到 一元二次方程，最后根据判别式求m的值．
【尝试解答】 (1)依题意，点 P 的坐标为(0，m)． 0－m 因为 MP⊥l，所以 ×1＝－1， 2－0 解得 m＝2，即点 P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径 r＝|MP|＝ 2－02＋0－22＝2 2， 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. (2)因为直线 l 的方程为 y＝x＋m， 所以直线 l′的方程为 y＝－x－m.
第八节 抛物线
1．抛物线的定义 相等 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离__________的 点的轨迹叫做抛物线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
图形
范围 x≥0， y∈R ___________ y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 坐标 _________ 准线 方程 离心 率 焦半 径 p x＝－ 2
【规范解答】 (1)设动点 P 的坐标为 (x，y)，由题意有 x－12＋y2－|x|＝1. 化简得 y2＝2x＋2|x|. 当 x≥0 时，y2＝4x；当 x＜0 时，y＝0. 所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝ 4x(x≥0)和 y＝0(x＜0)．
(2)由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为 0，设为 k，则 l1 的方程为 y＝k(x－1)．
抛物线的标准方程与几何性质
(1)(2011· 课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点， 且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A、B 两点，|AB|＝12， P 为 C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( A．18 B．24 C．36 ) ) D．48
(2)已知抛物线 C 与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦点， 且顶点在原点，则抛物线 C 的方程是( A．y2＝± 2x B．y2＝± 2 2x C．y2＝± 4x
抛物线的方程是________．
(2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的 中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
【解析】 (1)如图，分别过点 A、B 作抛物线准线的垂线， 垂足分别为 M、N，由抛物线的定义知， |AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8， 又四边形 AMNB 为直角梯形，
点F且与直线l垂直的直线．
2．抛物线y2 ＝2px(p＞0)上任一点M(x1 ，y1)到焦点F的距离|MF| 与坐标x1有何关系？
【提示】
p 抛物线 y2＝2px 的准线方程是 x＝－ ，根据抛物 2
p 线的定义知|MF|＝x1＋ . 2
1．(教材改编题)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距 离为 1，则点 M 的纵坐标是( ) 17 15 7 A. B. C. D．0 16 16 8