MATLAB在复变函数中的应用
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MATLAB
在复变函数中的应用
任宏伟，何雯，屠佳丽，胡柯庭，王丹丹，张燕
主要内容
1 复数和复矩阵的生成 2 复数的运算
1.复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角 2.复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 3.复数的指数和对数运算、复数的三角运算、复数方程求根
3 复变函数的极限、导数与积分 4 复变函数的Taylor展开 5 Laplace变换及其逆变换、Fourier变换及其逆变换 6 留数 7 复变函数的图像
L=L(t)=int(F(s)*exp(-t*s),0,inf) ➢ L=laplace(F,w,z): 以z代替s的拉普拉斯变换(相对于w的积分)。 函数返回t的函数。其中
L=L(z)=int(F(w)*exp(-z*w),0,inf)
13
% complex06.m clear syms a s t w z L1=laplace(x^5) L2=laplace(exp(a*s)) L3=laplace(sin(w*x),t) L4=laplace(cos(x*w),t) L5=laplace(x^sym(3/2),t) %计算结果 L1=120/s^6 L2=1/(t-a) L3=w/(t^2+w^2) L4=t/(t^2+x^2) L5=3/4*pi^(1/2)/t^(5/2)
ilaplace(L,y)=F(y)=int(L(y)*exp(s*y), s,c-i*inf,c+i*inf) ➢ F=ilaplace(L,y,x): 以x代替t的函数。有
ilaplace(L,y,x) =F(y)=int(L(y)*exp(x*y),y, c-i*inf,c+i*inf)
15
% complex07.m clear syms s t w x y F1=ilaplace(1/(s-1)) F2=ilaplace(1/(t^2+1)) F3=ilaplace(t^(-sym(5/2)),x) F4=ilaplace(y/y^2+w^2,y,x) F5=ilaplace(sym(‘laplace(F(x),x,s)’),s,x) %计算结果 F1=exp(t) F2=sin(x) F3=4/3/pi^(1/2)*x^(3/2) F4=cos(w*x) F5=F(x)
16
5 .2 Fourier变换及其逆变换
1. Fourier积分变换
➢ F=fourier(f): 返回默认独立变量x的数量符号f的fourier变换, 返回默认为w的函数。如果f=f(w),则fourier函数返回t的函数F=F(t)。 其中
F=F(w)=int(f(x)*exp(-i*w*x),-inf,inf) ➢ F=fourier(f,v): 以v代替默认变量w的fourier变换。且
f (x0 )( x x0 ) 2!
f (x0 )( x x0 )2 3!
在Matlab中可由函数Taylor来实现，具体格式为：
taylor(f,n,varriable,a)
f为需要展开的函数表达式，n声明输出展开式的前n项，varibale声
明展开变量，a表示变量求导的取值点。 例6 将后面的函数展开为复数变量z的幂级数
i
i ln( z 1)
例5 计算定积分
z cos zdz
0
0 z 1 dz
% complex04.m clear syms z f1=z*cos(z);
% 计算结果 inf1=cosh(1)-sinh(1)-1 Inf2=1/2*log(1+i)^2-1/2*log(2)^2
f2=log(z+1)/(z+1);
limit(F,x,a) 例3 z为复数，有复变函数f(z)=z/(1+z),求极限： lim f (z)
z 1 5 i
% complex02.m clear syms z f=z/(1+z); limit(f,z,1+5*i)
9
3. 2 复变函数的导数
计算复变函数导数的命令仍然是diff(), 具体格式为： diff(function,’varriable’,b)
cosh(x) 返回复数x的双曲余弦值 sech(x) 返回复数x的双曲正割值
tanh(x) 返回复数x的双曲正切值 csch(x) 返回复数x的双曲余割值
8
3 复变函数的极限、导数和积分
3.1 复变函数的极限 求复变函数的极限仍然使用命令limit(),只是复变函数的极限存
在条件比实变函数更加苛刻。复变函数极限存在要求复变函数的 实部和虚部同时存在极限。命令格式如下：
inf1=int(f1,z,0,i)
inf2=int(f2,z,0,i)
11
4 复变函数的Taylor展开
4 .1复变函数的Taylor展开
Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，比如复变函数
的解析性等。函数f(x)在x=x0点的Taylor级数展开如下：
f (x)
x0
f (x0 )( x x0 )
imag(X) 返回复数X的虚部
2.共轭复数
conj(X)
返回复数X的共轭复数 (1) 1 , (2) 1 3i , (3) (3 4i)(2 5i) , (4) i8 4i21 i
Fra Baidu bibliotek
3 2i
i 1i
2i
3.复数的模和辐角
abs(X) 返回复数X的模
angle(X) 返回复数X的辐角
14
2.Laplace逆变换 ➢ F=ilaplace(F): 返回默认独立变量s的符号表达式L的拉普拉斯 变换,函数返回默认为t的函数。如果F=F(t),则iLaplace函数返回x的 函数F=F(x)。这里
F=L(t)=int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf) 其中c为选定的实数使得L(s)的所有奇点都在直线s=c的左侧。 ➢ F=ilaplace(L,y): 以y代替默认的t的函数，且有
0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i 0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i 0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i
4
2 复数的运算
2.1 复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角
1.复数实部和虚部
real(X) 返回复数X的实部
例1 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模和辐角
5
% complex01.m a=[1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)(2-5i)/2i,i^9-4*i^21+i] R=real(a) M=imag(a) Con=conj(a) Abs=abs(a) Ang=angle(a) %计算结果 a= 0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 0 - 2.0000i R= 0.2308 1.5000 -3.5000 0 M= -0.1538 -2.5000 -13.0000 -2.0000 con =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 0 + 2.0000i abs = 0.2774 2.9155 13.4629 2.0000 ang = -0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.5708
例4 求ln(1+sinz)在z=i/2处的导数，
% complex03.m clear syms z f1=log(1+sin(z)); f2=sqrt((z-1)*(z-2)); df1=diff(f1,z) df2=diff(f2,z) vdf1=subs(df1,z,i/2) vdf2=subs(df2,z,3+i/2)
5.1 Laplace变换及其逆变换
1.Laplace变换 ➢ L=laplace(F): 返回默认独立变量t的符号表达式F的拉普拉斯 变换,函数返回默认为s的函数。如果F=F(s),则Laplace函数返回t的 函数L=L(t)。其中
L=L(s)=int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) ➢ L=laplace(F,t): 以t代替s的拉普拉斯变换。函数返回t的函数。 其中
6
2.2 复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 1. 复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。 2. 复数的平方根 sqrt(X) 返回复数X的平方根值 3. 复数的幂运算 ：X^n
2.3 复数的指数和对数运算、复数方程求根、复数的三角运算 1.复数的指数和对数运算 exp(X) 返回复数X的以e为底的指数值 log(X) 返回复数X的以e为底的对数值 2. 复数的方程求根 复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数solve实现。 例2 求方程x3+8=0的所有根。 >> roots=solve(‘x^3+8=0’)
1 复数的和复矩阵的生成
1.1 复数的生成
复数可以由z=a+b*i语句生成,也可以简写为z=a+bi;另一种生成 复数的语句是z=r*exp(i*theta)，也可以简写为z=r*exp(theta i)， 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
3
1.2创建复矩阵
创建复矩阵有两种方法： (1) 同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：A=[3+5*i，-2+3i，9*exp（i*6）,23*exp(33i)] (2) 可将实矩阵和虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im 结果为： com =
fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf) ➢ F=fourier(f,u,v): 以v代替x且对u积分。且有
fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf)
% complex08.m syms s v w x F1=fourier(1/t) F2=fourier(exp(-x^2),x,t) F3=fourier(exp(-t)*sym(‘Heaviside(t)’),v) F4=fourier(diff(sym(‘F(x)’)),x,w)
>> roots =[ -2]
[ 1-i*3^(1/2)]
[ 1+i*3^(1/2)]
7
3. 复数的三角运算 复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表
函数名
函数功能
函数名
函数功能
sin(x) 返回复数x的正弦函数值 asin(x) 返回复数x的反正弦值
cos(x) 返回复数x的余弦函数值 acos(x) 返回复数x的反余弦值
(z 1)(z 2)
在z=3+i/2处的导数。
10
3. 3 复变函数的积分
复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同， 只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了。 具体格 式为：
int(function,varriable,a,b) function为被积分的复变函数表达式，varibale为积分变量，a和b为 积分下上限。
2
复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和 运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复 变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运 算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但又有明显不同于实 变函数的特征。本章讲述的是Maltab在复变函数中的应用。正是 因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变 函数的Matlab命令和处理实变函数的命令是同一个命令。
tan(x) 返回复数x的正切函数值 atan(x) 返回复数x的反正切值
cot(x) 返回复数x的余切函数值 acot(x) 返回复数x的反余切值
sec(x) 返回复数x的正割函数值 asec(x) 返回复数x的反正割值
csc(x) 返回复数x的余割函数值 acsc(x) 返回复数x的反余割值
sinh(x) 返回复数x的双曲正弦值 coth(x) 返回复数x的双曲余切值
% complex05.m
% 计算结果
1 (1 z)2
clear syms z f=1/(1+z)^2;
F =1-2*z+3*z^2-4*z^3+5*z^46*z^5+7*z^6-8*z^7+9*z^8-10*z^9
F=taylor(f,10,z,0);
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5 Laplace变换及其逆变换 Fourier变换及其逆变换
在复变函数中的应用
任宏伟，何雯，屠佳丽，胡柯庭，王丹丹，张燕
主要内容
1 复数和复矩阵的生成 2 复数的运算
1.复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角 2.复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 3.复数的指数和对数运算、复数的三角运算、复数方程求根
3 复变函数的极限、导数与积分 4 复变函数的Taylor展开 5 Laplace变换及其逆变换、Fourier变换及其逆变换 6 留数 7 复变函数的图像
L=L(t)=int(F(s)*exp(-t*s),0,inf) ➢ L=laplace(F,w,z): 以z代替s的拉普拉斯变换(相对于w的积分)。 函数返回t的函数。其中
L=L(z)=int(F(w)*exp(-z*w),0,inf)
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% complex06.m clear syms a s t w z L1=laplace(x^5) L2=laplace(exp(a*s)) L3=laplace(sin(w*x),t) L4=laplace(cos(x*w),t) L5=laplace(x^sym(3/2),t) %计算结果 L1=120/s^6 L2=1/(t-a) L3=w/(t^2+w^2) L4=t/(t^2+x^2) L5=3/4*pi^(1/2)/t^(5/2)
ilaplace(L,y)=F(y)=int(L(y)*exp(s*y), s,c-i*inf,c+i*inf) ➢ F=ilaplace(L,y,x): 以x代替t的函数。有
ilaplace(L,y,x) =F(y)=int(L(y)*exp(x*y),y, c-i*inf,c+i*inf)
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% complex07.m clear syms s t w x y F1=ilaplace(1/(s-1)) F2=ilaplace(1/(t^2+1)) F3=ilaplace(t^(-sym(5/2)),x) F4=ilaplace(y/y^2+w^2,y,x) F5=ilaplace(sym(‘laplace(F(x),x,s)’),s,x) %计算结果 F1=exp(t) F2=sin(x) F3=4/3/pi^(1/2)*x^(3/2) F4=cos(w*x) F5=F(x)
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5 .2 Fourier变换及其逆变换
1. Fourier积分变换
➢ F=fourier(f): 返回默认独立变量x的数量符号f的fourier变换, 返回默认为w的函数。如果f=f(w),则fourier函数返回t的函数F=F(t)。 其中
F=F(w)=int(f(x)*exp(-i*w*x),-inf,inf) ➢ F=fourier(f,v): 以v代替默认变量w的fourier变换。且
f (x0 )( x x0 ) 2!
f (x0 )( x x0 )2 3!
在Matlab中可由函数Taylor来实现，具体格式为：
taylor(f,n,varriable,a)
f为需要展开的函数表达式，n声明输出展开式的前n项，varibale声
明展开变量，a表示变量求导的取值点。 例6 将后面的函数展开为复数变量z的幂级数
i
i ln( z 1)
例5 计算定积分
z cos zdz
0
0 z 1 dz
% complex04.m clear syms z f1=z*cos(z);
% 计算结果 inf1=cosh(1)-sinh(1)-1 Inf2=1/2*log(1+i)^2-1/2*log(2)^2
f2=log(z+1)/(z+1);
limit(F,x,a) 例3 z为复数，有复变函数f(z)=z/(1+z),求极限： lim f (z)
z 1 5 i
% complex02.m clear syms z f=z/(1+z); limit(f,z,1+5*i)
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3. 2 复变函数的导数
计算复变函数导数的命令仍然是diff(), 具体格式为： diff(function,’varriable’,b)
cosh(x) 返回复数x的双曲余弦值 sech(x) 返回复数x的双曲正割值
tanh(x) 返回复数x的双曲正切值 csch(x) 返回复数x的双曲余割值
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3 复变函数的极限、导数和积分
3.1 复变函数的极限 求复变函数的极限仍然使用命令limit(),只是复变函数的极限存
在条件比实变函数更加苛刻。复变函数极限存在要求复变函数的 实部和虚部同时存在极限。命令格式如下：
inf1=int(f1,z,0,i)
inf2=int(f2,z,0,i)
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4 复变函数的Taylor展开
4 .1复变函数的Taylor展开
Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，比如复变函数
的解析性等。函数f(x)在x=x0点的Taylor级数展开如下：
f (x)
x0
f (x0 )( x x0 )
imag(X) 返回复数X的虚部
2.共轭复数
conj(X)
返回复数X的共轭复数 (1) 1 , (2) 1 3i , (3) (3 4i)(2 5i) , (4) i8 4i21 i
Fra Baidu bibliotek
3 2i
i 1i
2i
3.复数的模和辐角
abs(X) 返回复数X的模
angle(X) 返回复数X的辐角
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2.Laplace逆变换 ➢ F=ilaplace(F): 返回默认独立变量s的符号表达式L的拉普拉斯 变换,函数返回默认为t的函数。如果F=F(t),则iLaplace函数返回x的 函数F=F(x)。这里
F=L(t)=int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf) 其中c为选定的实数使得L(s)的所有奇点都在直线s=c的左侧。 ➢ F=ilaplace(L,y): 以y代替默认的t的函数，且有
0.9501 + 0.4565i 0.4860 + 0.4447i 0.2311 + 0.0185i 0.8913 + 0.6154i 0.6068 + 0.8214i 0.7621 + 0.7919i
4
2 复数的运算
2.1 复数实部和虚部、共轭复数、复数的模和辐角
1.复数实部和虚部
real(X) 返回复数X的实部
例1 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模和辐角
5
% complex01.m a=[1/(3+2i),1/i-3i/(1-i),(3+4i)(2-5i)/2i,i^9-4*i^21+i] R=real(a) M=imag(a) Con=conj(a) Abs=abs(a) Ang=angle(a) %计算结果 a= 0.2308 - 0.1538i 1.5000 - 2.5000i -3.5000 -13.0000i 0 - 2.0000i R= 0.2308 1.5000 -3.5000 0 M= -0.1538 -2.5000 -13.0000 -2.0000 con =0.2308 + 0.1538i 1.5000 + 2.5000i -3.5000 +13.0000i 0 + 2.0000i abs = 0.2774 2.9155 13.4629 2.0000 ang = -0.5880 -1.0304 -1.8338 -1.5708
例4 求ln(1+sinz)在z=i/2处的导数，
% complex03.m clear syms z f1=log(1+sin(z)); f2=sqrt((z-1)*(z-2)); df1=diff(f1,z) df2=diff(f2,z) vdf1=subs(df1,z,i/2) vdf2=subs(df2,z,3+i/2)
5.1 Laplace变换及其逆变换
1.Laplace变换 ➢ L=laplace(F): 返回默认独立变量t的符号表达式F的拉普拉斯 变换,函数返回默认为s的函数。如果F=F(s),则Laplace函数返回t的 函数L=L(t)。其中
L=L(s)=int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) ➢ L=laplace(F,t): 以t代替s的拉普拉斯变换。函数返回t的函数。 其中
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2.2 复数的乘除法、复数的平方根、复数的幂运算 1. 复数的乘除法运算由“/”和“*”实现。 2. 复数的平方根 sqrt(X) 返回复数X的平方根值 3. 复数的幂运算 ：X^n
2.3 复数的指数和对数运算、复数方程求根、复数的三角运算 1.复数的指数和对数运算 exp(X) 返回复数X的以e为底的指数值 log(X) 返回复数X的以e为底的对数值 2. 复数的方程求根 复数方程求根或是方程的复数根求解也由函数solve实现。 例2 求方程x3+8=0的所有根。 >> roots=solve(‘x^3+8=0’)
1 复数的和复矩阵的生成
1.1 复数的生成
复数可以由z=a+b*i语句生成,也可以简写为z=a+bi;另一种生成 复数的语句是z=r*exp(i*theta)，也可以简写为z=r*exp(theta i)， 其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模。
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1.2创建复矩阵
创建复矩阵有两种方法： (1) 同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵 例如：A=[3+5*i，-2+3i，9*exp（i*6）,23*exp(33i)] (2) 可将实矩阵和虚矩阵分开创建，再写成和的形式 例如： re=rand(3,2); im=rand(3,2); com=re+i*im 结果为： com =
fourier(f,v)=F(v)=int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf) ➢ F=fourier(f,u,v): 以v代替x且对u积分。且有
fourier(f,u,v)=F(v)=int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf)
% complex08.m syms s v w x F1=fourier(1/t) F2=fourier(exp(-x^2),x,t) F3=fourier(exp(-t)*sym(‘Heaviside(t)’),v) F4=fourier(diff(sym(‘F(x)’)),x,w)
>> roots =[ -2]
[ 1-i*3^(1/2)]
[ 1+i*3^(1/2)]
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3. 复数的三角运算 复数的三角函数运算参见下面的复数三角函数表
函数名
函数功能
函数名
函数功能
sin(x) 返回复数x的正弦函数值 asin(x) 返回复数x的反正弦值
cos(x) 返回复数x的余弦函数值 acos(x) 返回复数x的反余弦值
(z 1)(z 2)
在z=3+i/2处的导数。
10
3. 3 复变函数的积分
复变函数的定积分在形式上和实变函数的定积分没有什么不同， 只是积分限由原来的仅仅是实数变为可以是复数的情况了。 具体格 式为：
int(function,varriable,a,b) function为被积分的复变函数表达式，varibale为积分变量，a和b为 积分下上限。
2
复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和 运算规则都是对实变函数理论的推广，明白了这一点对于学习复 变函数有很大的帮助。但是复变函数又有它自身的特点，某些运 算规则来源于对实变函数运算规则的推广，但又有明显不同于实 变函数的特征。本章讲述的是Maltab在复变函数中的应用。正是 因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以大多数处理复变 函数的Matlab命令和处理实变函数的命令是同一个命令。
tan(x) 返回复数x的正切函数值 atan(x) 返回复数x的反正切值
cot(x) 返回复数x的余切函数值 acot(x) 返回复数x的反余切值
sec(x) 返回复数x的正割函数值 asec(x) 返回复数x的反正割值
csc(x) 返回复数x的余割函数值 acsc(x) 返回复数x的反余割值
sinh(x) 返回复数x的双曲正弦值 coth(x) 返回复数x的双曲余切值
% complex05.m
% 计算结果
1 (1 z)2
clear syms z f=1/(1+z)^2;
F =1-2*z+3*z^2-4*z^3+5*z^46*z^5+7*z^6-8*z^7+9*z^8-10*z^9
F=taylor(f,10,z,0);
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5 Laplace变换及其逆变换 Fourier变换及其逆变换