真值表与等价公式

( p q) r
联结词归化 联结词归化 结合律 德.摩根公式 联结词归化
例1-15 已知程序流程图如下,试化简该流程。 解：运行S程序段的条件： p∨(¬p∧r) 运行W程序段的条件： ¬p∧¬r
S S W
y
P
பைடு நூலகம்
n
y
R
n
经过等价变换： p (p r ) ( p p) ( p r )
交换律 E1
A B B A A B B A
结合律 E2
( A B ) C A ( B C ) ( A B ) C A ( B C )
分配律 E3
A ( B C ) ( A B ) ( A C )
A ( B C ) ( A B ) ( A C )
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
练习：Q∧(P→Q)→Q
1．3．2 命题公式的分类 从真值表中可以发现，某些命题公式不论其分量 真值作何指派，其真值总为真，或者总为假。 例1-11 构造下列命题的真值表。
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保 持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。 B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1
pq
1 0 0 1
１.３.１命题公式的等价
定义1-11 给定两个命题公式A和B，设 p1 , p2 ,, pn 是所有出现在A和B中的命题分量，若对 p1 , p2 ,, pn 的任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A 和B等价或逻辑相等。记为A ⇔B 。
德· 摩根律 E10
( A B ) A B ( A B ) A B
联结词归化 E11 E12 E13 E14 E15
A B A B
A B ( A B ) ( B A)
A ( B C ) ( A B ) C A B B A
P 0 0 1 1 q 0 1 0 1
p q
1 1 0 0 1 0 1 0
pq
p q
1 1 0 1
1 1 0 1
q p 1 1 0 1
解（2）
P 0 0 1 1 q p q 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0
p q p q ( p q) (p q)
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。 证明： 因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
例1-13 推导证明吸收律 p ( p q) p 。 证明：
P 0 0 1 1 q 0 1 0 1
p
1 1 0 0
q p
0 1 0 0
(q p) p
1 0 1 1
例1-10 构造公式 (( p q) r ) p 的真值表。 解： p q r ( p q) r (( p q) r ) p P q r
1.3.3
等价公式
从真值表中可以发现，两个有相同命题分量但结 构不同的命题公式，对其分量真值的不同指派，其真 值总相同，如： 例1-12 构造下列命题公式的真值表。 （1）构造命题公式 p q, p q和q p 的真值表。 （2）构造命题公式 ( p q) (p q)和p q 的真值表。 解(1)
证明：根据定义，因为任何重言式不论分量 真值作何指派，其真值总为真，而两个真 值为真的命题的合取或析取一定为真。
练习
1.判别下列命题公式中哪些是重言式?矛盾式?偶然式? 1 重言式 ① (P→Q)↔(¬Q→¬P) ② (P→Q)∧(Q →P)→(¬P∧Q) ( P Q ) 偶然式 ③ (P↔Q)→(P∧Q→P) 1 重言式
第一章 命题逻辑
第三讲
回
一、命题公式
顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。 定义1-6 命题公式的递归定义如下： (1)单个的命题常元或命题变元是命题公式； (2)如果A是一个命题公式，则 (┐A)也是命题公式； (3)如果A和B都是命题公式，则(A∧B)、(A∨B)、 (A→B)、(A↔B)也是命题公式； (4)当且仅当有限次地应用（1）、(2)、（3）所得 到的符号串是命题公式。
1 ( p r) ( p r)
p r ( p r )
( 执行程序段S的条件为： p r )
S
y
P∨ R
n
W
执行程序段W的条件为：( p r )
例1-16 化简下列各式 （1） ( p q) ( p q) 解： ( p q) ( p q)
例如：对于命题公式: ( p q) r
( p, q, r ) (1,1,1)就是其一个解释
在这个解释下( p q ) r为真， 把(1,1,1)称为( p q ) r的一个成真赋值
同样( p, q, r ) (1,0,0)也是其一个解释
但此时( p q) r为假， 从而(1,0,0)是( p q) r的一个成假赋值
同一律 分配律 零 律 同一律
( p q) r
联结词规化 分配律 德.摩根公式
（2）p (q r ) ( p q) r 证明： p (q r )
p (q r )
p (q r ) (p q) r
( p q) r
逻辑等价 "与双条件联结词"的区别: " "
1." " 是 一 种 联 结 词S T是 命 题 公 式其 中 的 " 是 逻 辑 , , " 运 算, 其 结 果 仍 是 一 个 命 题 式 ; 而" " 则 是 描 述 两 个 命 题 公 公 式S和T之 间 的 一 种 关 系 等 价, 其 结 果 不 是 命 题 公 式
( p (q (q r ))) (( p q) ( p r ))
( A B ) A B
1．3．4 命题公式的等价演算 在算术运算中,我们可以根据运算符的优先次 序，将算术表达式中某一部分用其结果代替，得 到的新表达式与原表达式相等。在命题演算中， 我们同样可以用命题公式某一部分的等价命题公 式代入，所得的新命题公式与原公式等价，这个 过程称为置换。置换时要求被置换部分应该是命 题合式公式。 定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
2. 要 判 断 两 个 命 题 公 式 和T是 否 等 价使 用S T S , 是 不 可 能 做 到 的 而 可 以 通 过 计 算S T是 否 是 ,然 永真式来判断
常用的命题等价公式有：
联结词归化
其中包含否定、合取和析取联结词的等价命题公式称为 命题定律，包含条件和双条件联结词的等价命题公式 称为联结词归化。
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为 真， 则称A为永真式(也称为重言式) 2 若A在它的所有解释下都为 假， 则称A为永假式(也称为矛盾式)
3 若A在它的至少一个解释下为真， 则称A为可满足式(也称偶然式)
很显然，永真式一定是 可满足式
定理1-1 任何两个重言式的合取或析取仍然是 一个重言式。
0 0 1 1
解（3） p q 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1
r 0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1
p→q 1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0
¬r 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
（1） ( p ( p q)) q
（2） ( p q) q （3） ( p q) r 解(1) p q p→q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1
p∧(p→q)
0 0 0 1
(p∧ (p→q))→q
1 1 1 1
解（2）
p q p→q ¬(p→q) ¬(p→q)∧ q
p (q q)
p 1
p
（2） (( p q) (p (q r ))) (p q) (p r ) 解： (( p q) (p (q r ))) (p q) (p r )
(( p q) ( p (q r ))) ( p q) ( p r )
同一律 E4
A 0 A
A A 1
A1 A
A A 0
互否律 E5
双否律 E6 等幂律 E7 零一律 E8 吸收律 E9
A A
A A A A A A
A1 1
A 0 0
A ( A B ) A A ( A B ) A
( A B) A B
从真值表中可知，命题公式 p q, p q和q p
( 等价；p q) (p q)和p q 等价。