直线与方程知识点及典型例题

第三章 直线与方程知识点及典型例题

1. 直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,

我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[

)

ο

ο90,0∈α时，0≥k ； 当(

)ο

ο180

,90∈α时，0

90=α时，k 不存在。

例.如右图，直线l 1的倾斜角=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l 2

解：k 1=tan30°=3

3

∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3

例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )

° ° ° ° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：

(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都

等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：

1x y

a b

+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y

a b

+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）

注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：

平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是1

2

-，经过点A(8，—2)； .

(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .

(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3

,32

-； .

(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .

例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A ．C =0，B>0

B ．

C =0，B>0，A>0

C ．C =0，AB<0

D ．C =0，AB>0

例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ） A ．第一 B ．第二 C ．第三 D ．第四 4. 两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，

(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零)

若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨

⎧=++=++0

C B A 0

C B A 222111y x y x 的一组解。

两条直线的交角：

两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最

小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当ο

90≠θ，则有2

1121tan k k k k +-=θ. 若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系

7. 1122满足 12答：A 1A 2+B 1B 2=0 经典例题；

例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：

例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：

例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：

例4. 已知直线l 的方程为12

1

+-

=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。