第2章自由振动分析

2.研究线弹性体系时，在地震动作用下，作用在结构上的外荷载 g (t ) 分开计算，然后再叠加。 P(t ) （如风荷载）,可与地震作用- mv
§2-5 自由振动方程的解（ P(t ) 0 ）
• 结构自由振动方程：
(t ) cv (t ) kv(t ) 0 mv
⑴
这是1个二阶、常系数、线性、齐次、常微分方程，由常微分 方程理论可知，式⑴的解可以设为： v(t ) Gest ⑵ 式中，G是任意的复常数，G、S均为待求常数。 (2) (1)
利用三角公式中的积化和差公式，式⑹可变换为：
v cos( )) v( t( )t ) cos( tt
式中，
(0) v 2 v (0)
2
(7)
(0) v arctan v(0)
注：凡是位移可以表示为 t 的正弦或余弦函数的运动， 称为简谐运动。
k 令 m
2
(ms2 cs k )Gest 0
⑶
c s s 2 0 m
2
⑷
由式⑷可知，s值依 赖与阻尼c值
§2-6 无阻尼自由振动分析 (c 0)
当不计阻尼时， c 0 则式⑷
S1, 2 i
总振动反应为： v(t ) G1eit G2eit
常用表述
土木、水利学科表述
承受动力荷载的任何线性弹性结构的基本物理特征是：系 统的质量m、弹性特性（柔度或刚度）k、能量耗散特性 或阻尼c，以及系统的外部激扰P(t)。 注：线弹性，线性指应变位移关系为线性 v x ，弹性指应力与应变关系为线性 E
（1）惯性力（惯性inertia）
(t ) 与 v(t )相反，否则不发生振动。 v
注：1）一些书中将惯性力表述为 f I (t ) mv (t ) ，方向与本 书规定不同 2）惯性力是假想的一种力，实际不存在，只是为表达方 便而设。 3）计算惯性力所用的加速度为绝对加速度。
（2）弹性特性（弹簧spring） 当结构离开平衡位置产生位移时，将结构拉回到平衡位置 的力，称为弹性恢复力，方向与运动方向相反。 注：计算弹性恢复力时，v(t ) 为相对位移 。 （3）阻尼力 （阻尼damping） 引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的力称为阻尼 力，方向与运动方向相反。 (t ) 常用粘滞阻尼假设： f D cv 注：计算阻尼力时，为相对速度。 （4）外部激扰 其特性包括幅值特性、频谱特性和持时特性。
此式有时可方便用来确定

பைடு நூலகம்
§2-7 阻尼自由振动
c0
则
c s s 2 0 m
2

S1, 2
c c 2 2m 2m
2
⑴
⒈ 临界阻尼
c 2 0 2m
S1, 2 Cc 2m
2
定义临界阻尼


c 2m
设t=0时： v (0) v0
(0) v 0 v
0 A
代入： v(t ) A sint B cos t
v0 0 v
B v0
A 0 v
B
代入： v (t ) A cos t B sint
0

单自由度无阻尼体系运动方程的解：
v(t )
（2）Lagrange方程法
对 比：
1.矢量法是一种简单、直观建立系统运动方程的方法，特 别是达朗伯原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分 析中的一些建立平衡方程的方法可以直接推广到动力问题。 适合于简单结构动力分析。 2.虚位移原理是一种半矢量半标量方法，在计算得到体系 虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了 运算。适合于较复杂结构的动力分析。 3.Lagrange方程法是一种标量方法，建立运动方程格式统 一，应用广泛，适合于线性系统和非线性系统。
P(t ) f I (t ) f D (t ) f S (t ) 0
Alembert原理：在动力系统运 动的任意瞬时，如果除了实际 作用在结构上的真实力（弹性 恢复力、阻尼力、外荷载）外， 再加上假想的惯性力，则该时 刻动力系统将处于假想的平衡 状态。
总结：应用矢量法建立系统运动微分方程的步骤：
1.建立坐标系，结构向坐标系“+”的方向变形或运动； 2.取隔离体，分析结构所受到的力（注意取隔离体后，原 来相互作用的内力，变成1对相互作用的外力）； 3.沿质点的各自由度方向列平衡方程。 概括为4个字：截（取隔离体）、抛（把不需要研究物体 去掉）、代（去掉物体对本隔离体的影响用外力代替）、 平（沿坐标方向列平衡方程）。
⑸
结 论： 相对于体系静力平衡位置所列的运动方程不受重力影响， 以后如果不加说明，都以体系静力平衡位置为基准建立运 动方程，得到结构的动力反应。
在结构动力反应问题中，可以用叠加原理将动力问题与静 力问题分别计算，再将所得结果相加，即可得到体系总的 反应。（限于线弹性结构的小变形问题）
注： 1.摆动例外，由于摆动时重力为体系提供了主动力，所以 在建立摆动（例如单摆）运动方程时，应考虑重力影响。 2.在建立坐标系时，前面加上一句：以结构静力平衡位置 为坐标原点，建立如图所示坐标系（在简图上要画出坐标 系）。
引入重要物理概念：
⑴ k
m
1/ s 自振圆频率，单位：弧度/秒，简记：
⑵ T 2 2 m

k
振动重复1次所需要的最短时间间隔，称为振动周期或 自振周期，单位：秒，简记： s ⑶
f 1 1 T 2 2 k m
（可由理论力学公式 2f 记忆）
在1秒时间（或单位时间）内振动重复的次数，称为振动频率 或自振频率，单位：赫兹，简记： Hz
§2-2 基本动力体系的运动方程
1.矢量法 （1）牛顿第二定律 建立如图所示坐标系，结构 坐标系“+”方向变形，取隔 离体，进行结构受力分析， 由牛顿第二定律得：
(t ) kv(t ) mv (t ) P(t ) cv
移项得：
(t ) cv (t ) kv(t ) P(t ) mv
(1)
⑴
（2）动力平衡法或称达朗伯原理（Alembert） 根据振动的定义，物体偏离平衡位置振动时，物体振动的 (t ) 与位移v(t ) 方向相反（否则做加速运动而不振 加速度 v 动）。 ⑵ f D (t ) 、 f S (t )表达式代入式⑵，移项后可得到与式⑴相 把 f I (t ) 、 同的表达式。
与系统承受外力（×）、系统初始条件（×）、
系统的坐标系（×）、系统的边界条件（√）有关吗？
⑸ 由
k 可知 m
。
振动系统质量越大、刚度越弱，则固有频率越低、周期越长； 反之结论也成立。此结论对于复杂振动系统也同样正确。
k g ⑹ W mg k m k g st st m st
2. 标量法
（1）虚位移原理法 虚位移：体系约束所允许的任何微小位移。 理想约束：在任意虚位移下，约束反力所做虚功之和恒等 n 于零， si vi 0 即约束反力不做功。
i 1
虚位移原理：如果1个平衡的体系在1组力的作用下承受1 个虚位移，则这些力所做的总功等于零。
f I (t ) v f D (t ) v f S v P(t ) v 0
§2-3 重力的影响
以
o
t • 图中， o 为原始状态下的坐标原点，位移记为v (t )； o 为 静力平衡位置的坐标原点，位移记为v(t ) 。 • 由静力平衡条件得：W mg k st (1)
（绝对位移=牵连位移+相对位移）(2) vt (t ) st v(t ) 为 o 坐标原点，建立运动方程：
(1) (2) mv (t ) mv g (t ) cv (t ) kv(t ) P(t )
(3)
化简：
由式⑵
(t ) cv (t ) kv(t ) P(t ) mv g (t ) mv
(3)
(4)
v(t ) vt (t ) vg (t )
Cc 2m
方程（2-20）的解为： (2)
v(t ) (G1 G2t )et
注：在有等根时，由常微分方程理论可知，v(t ) et v(t ) te t
⑸
利用Euler方程： eit cos t i sin t
式⑸可简化为
v(t ) A sin t B cos t
(0) v
⑹
式中，A，B为实常数，可由初始条件来定：
v(t ) v(0) cos t

sin t
位移反应：
v(t ) A sint B cos t
注： （1）位形指结构的位移(包括刚体体系)和形状的改变(变 形)。 （2）没有质量的质点，有时也需要描述它的位移，例如：
为1个半自由度，弹簧与阻尼器连接点位移也需要描述。 （3）质点数自由度，1个质点最多可有6个自由度（3个平动 和3个转动）。
• 2.基本动力系统（系统=体系=system）元件
t (t ) cv t (t ) kvt (t ) P(t ) W mv
(t ) cv (t ) kv(t ) k st P(t ) W • ⑵ ⑶ mv
(3) (4)
(t ) cv (t ) kv(t ) P(t ) • (1) (4) mv
(3) (4)
f I (t ) f D (t ) f S (t ) P(t ) v 0
因为 v 为任意值，且 v 0 ，则由式⑷可得式⑴。
总结：
应用虚位移原理建立运动方程的步骤： 1）建立坐标系，体系向坐标系“+”的方向变形或运动； 2）确定体系所受的力，包括惯性力； 3）向坐标系“+”的方向引入相应于每个自由度的虚位移； 4）体系所有力系做的虚功等于零，得出体系运动方程。 注：做功有正负，力与位移方向一致时，做正功；方向相反 时，做负功。
§2-4 支座激励（或地基运动）的影响
• 建立如图所示坐标系，根据达朗 伯原理：
f I (t ) f D (t ) f S (t ) P(t )
t (t ) cv (t ) kv(t ) P(t ) mv
⑴
t 由理论力学可知，物体总的运动v (t ) 由牵连运动 vg (t ) 和相对运 动 v(t ) 叠加得到： vt (t ) vg (t ) v(t ) ⑵
或写成：
0 v

sint v0 cos t
（3-11）
v(t ) cos(t )
（3-14）
(0) 仅有2个是独立的，第3个量值可由 (0) v 注：初始值 v(0) v
t 0 时刻的动力方程确定。
方程⑹的解答可如P20图2-7所示，无阻尼自由振动是简谐振动。
t (t ) cv t (t ) cv g (t ) kvt (t ) kvg (t ) P(t ) (4) (1) mv t (t ) cv t (t ) kvt (t ) P(t ) cv g (t ) kvg (t ) (5) • 化简： mv 注： 1. 方程⑶是相对位移方程，方程⑸是绝对位移方程，由于地震 g (t )（称为地震动），应用方程⑸ 运动测量信号是加速度信号 v g (t ) 进行两次积分才能得到 vg (t ) ，由于积分常 时，还需要对 v 数和初始条件的影响，积分误差较大，所以常用方程⑶。
第I篇 单自由度体系
1.单自由度体系(S-DOF)的振动方程是多自由度体系(DOFs) 振动分析的基础，结构振动的许多物理概念是由单自由度 体系振动分析得到的。
2.许多实际结构可简化为单自由度体系，按单自由度进行结 构动力计算。
第2章 自由振动分析
§2-1 基本动力体系的组成
1.动力自由度 质点：实际物体简化的理想模型，只有质量，没有大小。 自由度：完全描述体系运动位形的相互独立的坐标数目， 或描述体系在运动过程中任意时刻位置所需要的独立几何 参数的数目。