华师大版初中数学九年级下册第12讲 二次函数的图象与性质

对称 轴 顶点 坐标
增减 性
最值
x＝ b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
当 x> b 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 2a
大；当 x＜ b 时，y 随 x 的增大而
2a
减小.
当 x> b 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 2a
小 ； 当 x＜ b 时 ， y 随 x 的 增 大 2a
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第 12 讲 二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的图象与性质
一、 知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一 次 函 形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
失分点警示：
抛 物 线 平 移 规 律 是 “上 加 下 减 ， 左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线 y=x2 沿 x 轴向右平 移 2 个单位后所得抛物线的解析 式是 y=（x－2）2．
例：已经二次函数 y=x23x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为（1,0），则 关于 x 的一元二次方程 x23x+m=0 的两个实数根为 2,1.
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6. 抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应 二次函数 的 x 的所有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点 与不等式 的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集.
＞1，再根据 a 的符号即可得 出结果.④2a-b 的符号，需判 断对称轴与-1 的大小.
称 轴-b/2a 与 1 的大小.若对称轴 在直线 x=1 的左边，则-b/2a
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b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点
知识点三 ：二次函数的平移
4.平移与解
析式的关 系
y=ax2 上 上 (h上 0)上 上 上 (h上 0)
上上上
上 上 |h|上 上 上
y=a(x上 h)2 上 上 (k上 0)上 上 上 (k上 0)
上上上
上 上 |k|上 上 上
y=a(x上 h)2上 k 上上上
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶 点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数
与一元二 次方程
二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 当 Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当 Δ＝b2－4ac＜0，无实根
数的定义
例 ： 如 果 函 数 y=(a－ 1)x2 是 二次函数，那么 a 的取值范 围是 a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其 中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为 抛物线与 x 轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定 系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的 解析式.
若已知条件是图象上的三个 点或三对对应函数值，可设 一般式；若已知顶点坐标或 对称轴方程与最值，可设顶 点式；若已知抛物线与 x 轴 的两个交点坐标，可设交点 式.
b2－ 4ac
决 定 抛 物 线 与 x 轴 的 b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点;
交点个数
b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点;
某些特殊形式代数式的符 号： ① a±b+c 即为 x=±1 时，y 的 值 ； ② 4a± 2b+c 即 为 x= ±2 时，y 的值. ③ 2a+b 的符号，需判断对
知识点二 ：二次函数的图象与性质
图象
y
x O
y
x O
（1）比较二次函数函数值大 小的方法：①直接代入求值 法；②性质法：当自变量在
y=ax2+bx+c(a上 0)
y=ax2+bx+c(a上 0)
对称轴同侧时，根据函数的
性质判断；当自变量在对称
开口
向上
向下
轴异侧时，可先利用函数的
3.二 次 函
数的图象 和性质
而增大.
x= b
4ac b2
y 最小＝
.
2a ，
4a
x= b
4ac b2
y 最大＝
.
2a ，
4a
对称性转化到同侧，再利用 性质比较；④图象法：画出 草图，描点后比较函数值大 小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二 次函数的最值时，首先考虑 对称轴是否在取值范围内， 而不能盲目根据公式求解. 例：当 0≤x≤5 时，抛物线 y=x2+2x+7 的最小值为 7 .
3.系 数
a、b、c
a a、 b
c
决定抛物线的开口方 向及开口大小 决 定 对 称 轴 （ x=b/2a）的位置
决定抛物线与 y 轴的 交点的位置
当 a＞0 时，抛物线开口向上； 当 a＜0 时，抛物线开口向下.
当 a，b 同号，-b/2a＜0，对称轴在 y 轴左边； 当 b＝0 时， -b/2a=0，对称轴为 y 轴； 当 a，b 异号，-b/2a＞0，对称轴在 y 轴右边． 当 c＞0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上； 当 c＝0 时，抛物线经过原点； 当 c＜0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上.