隐函数的微分法

注：解法2： 在等式两边同时对 x 求导（参见上册）。
定理2.（隐函数存在定理Ⅱ ）
若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 则方程 以及 的某邻域内具有连续偏导数 , ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 在点 某一邻域内可唯一确 , 满足 并有连续偏导数 定一个单值连续函数
故由 x u y v 0 , y u x v 1, 可确定隐函数
u u ( x, y ) , v v( x, y ), （本题中可求出其表达式） u u v v , , , . 并可用定理4中的计算公式求出 x y x y
u u v v , , . 例6.设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 , x y x y 分析：若令 F x u y v , G y u x v 1, 则
( F , G) x y x 2 y 2 0. ( y u x v 1) y x (u, v )
几何上表示空间一 条曲线的一般方程。
几何上表示空间一 条曲线的参数方程。
问题一：在什么条件下，空间曲线的一般方程可以 转化为参数方程，且 y ( x) 和 z ( x) 可导？ 问题二： y( x) ? z( x) ?
为此，首先介绍雅可比行列式，设
u u ( x, y ) v v ( x, y ) 且 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 均可偏导。
x
e x y, Fy cos y x 连续 , ① Fx
② F (0,0) 0 , ③ Fy (0, 0) 1 0 由 定理1 可知, 在 导的隐函数 且 的某邻域内方程存在单值可
dy Fx ex y cos y x dx x 0 Fy x 0
(F , G) ③ 0. (u , v ) ( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) F ( x, y, u , v) 0, 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内 则方程组 G ( x, y, u , v) 0 可唯一确定一组满足 u0 u ( x0 , y0 ) , v0 v( x0 , y0 ) 的单
由 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 的偏导数组成的行列式
u x J v x
u 记为 (u, v) y v ( x, y ) y
称为 u， 的雅可比( Jacobi )行列式. v
定理3.（隐函数存在定理Ⅲ ） 设函数
① 在点
( F , G) ③ ( y, z )
①在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数;
② F ( x0 , y0 ) 0 ;
则方程
③ Fy ( x0 , y0 ) 0 的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数
满足
并有连续导数
以及恒等式
Fx( x, y ) dy Fx dy , 简记为 . dx Fy( x, y ) dx Fy
2z 4 2 0 x
解法2： 利用公式
设 则
F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z
Fx 2 x , Fz 2 z 4 0,

x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对
x求偏导得
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
在点(u,v) 的某 ( x, y ) 0. 邻域内有连续的偏导数,且 J ( u, v ) 例5.设函数
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内 唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数组
2) 求
对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F ( x, y, u , v) x x (u , v) 0
x r 1 y 1 r cos cos 2 x J r x y2
与直接计 算的结果 完全吻合。
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
第五节 隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数 的求得公式
二、由方程组所确定的隐函数组 的求导法则 三、全微分法
本节讨论 : 1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时, 研究其 连续性、可微性及求导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
定理1. （隐函数存在定理Ⅰ） 设函数 满足
得
d y 2 Fxy FxFy Fxx Fy Fyy Fx （不常用！） 2 3 dx Fy
2 2 2
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
Fx z , x Fz
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
x
F
y
z Fx Fz 0 x
在 的某邻域内 Fz 0
z
Fy z 同样可得 y Fz
2 y 2 x 4y 2x dz x . dx 4 y (1 3 z ) 1 3 z
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解法2： 分别在
两边关于 x 求导，有
dy dz dx 2 x 2 y dx , 2 x 4 y dy 6 z dz 0, dx dx
值连续函数 u u ( x, y ) , v v( x, y ), 使得
F ( x, y, u ( x, y ), v ( x, y )) 0, G ( x, y, u ( x, y ), v ( x, y )) 0.
且有偏导数公式 :
( F , G) ( F , G) u u ( x, v ) ( y, v ) , , ( F , G) ( F , G) x y ( u, v ) ( u, v ) （不常用！） ( F , G) ( F , G) v v ( u, x ) ( u, y ) , . ( F , G) ( F , G) x y ( u, v ) ( u, v )
（证明从略） 本定理解决了前面提出的两个问题。
．
z x y , dy dz , 例4.设 2 求 2 2 dx dx x 2 y 3z 15, 解法1：记
2 2
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( F , G) 2 y 1 则当 4 y(1 3z) 0 时， 4 y 6z ( y, z ) 2 x 1 2x 6z dy x(1 6 z ) , dx 4 y (1 3 z ) 2 y (1 3 z )
G ( x, y, u , v) y y (u , v) 0
( F , G ) ( x, y ) J 0, ( u, v ) ( u, v ) 由定理 3 可知结论 1) 成立. x 1 1y v 2) u 1 ( F , G ) 1 , 同理， x y J v J J ( x, v ) 0 v
x x F ( x, y , z ) 0 y y ( x) 写成 y y ( x) G ( x, y, z ) 0 视 x为定值， z z ( x) z z ( x)
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 设
y 和 z 为未知
数，若解得
满足: 的某一邻域内具有连续偏导数；
② F ( x0 , y0 , z0 ) 0, G ( x0 , y0 , z0 ) 0;
0
M0
F ( x, y , z ) 0 则方程组 在点 x0 的某一邻域内可唯一 G ( x, y , z ) 0 确定两个满足 y0 y ( x0 ) , z0 z ( x0 ) 的单值可导函数
建议采用 解法2.
则当 y (1 3z ) 0 时， 解得
dy x(1 6 z ) , dx 2 y(1 3z )
dz x . dx 1 3z
定理4.（隐函数存在定理Ⅳ ） 设函数 满足:
① 在点 的某一邻域内具有连续偏导数； ② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
2z x ( ) 2 x 2 z x
例3. 设
具有连续偏导数, 已知
解： 利用偏导数公式. 确定的隐函数，记 ，则
Gx z z F1 y x) x F1 y F2 x Gz F1 ( 2 F2 ( 2 )
z
z
F1 1 z
y y ( x) , z z ( x), 使得
F ( x, y ( x), z ( x)) 0, G ( x, y ( x), z ( x)) 0.
且有偏导数公式 :
( F , G) dy ( x, z ) , ( F , G) dx ( y, z )
( F , G) dz ( y, x ) （不常用！） ( F , G) dx ( y, z )
Fx z x Fz
2z 求 2. x 2 y 2 z 2 4 z 0 ,当 z 2 时， 例2. 设 x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0, 当 z 2 时， x 2 z x x
再对
x求导得
2
z 2 1 ( ) x
d e y d2 y ( ) x0 2 x0 d x cos y x dx y0
x
x0 y0
y 1
2

( e x y ) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
( cos y x )
3
x0 y0 y 1
则有
v 1 y u 1x , , x J u y J v
v 1 x . y J u
例5的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 .
由于 所以
r
r u 1 y x J v v 1y r x J u
z F2 1 G z y y Gz F1 ( x2 ) F2 (
z
z
z F2 y x F1 y F2 2)
故
z z z dz dx d y (F1d x F2d y) x y x F1 y F2
二、由方程组所确定的隐函数组的求导法则
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对
x求导
x
F
y
在
Fx dy dx Fy
的某邻域内 Fy 0
若
的二阶偏导数也都连续, 则有 二阶导数
的求导公式：
Fx d y Fx d2 y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
Fxx Fy Fyx Fx Fxy Fy Fyy Fx Fx ( ) 2 2 Fy Fy Fy