集合的基本运算题型及解析演示教学

集合的基本运算题型
及解析
集合的基本运算题型及解析
1.设集合M=﹛1,2,4,6,8﹜，N=﹛1,2,3,5,6,7﹜，若M∩N=P，求集合P
解：P=﹛1,2,6﹜
2.已知集合A=﹛x|x2﹣6x+5＜0，x∈R﹜，B=﹛x|3＜x＜8，x∈R﹜，则A∩B=（）
A．﹛x|1＜x＜8，x∈R﹜B．﹛x|1＜x＜5，x∈R﹜C．﹛x|3＜x＜5，x∈R﹜D．﹛x|5＜x＜8，x∈R﹜
分析：通过解不等式求集合A．再进行交集运算即可．
解：x2﹣6x+5=（x﹣1）（x﹣5）＜0⇒1＜x＜5，通过数轴可以得到A∩B={x|3＜x＜5，x∈R}，故选C
3.已知集合P={x|2≤x＜4}，集合Q={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则P∩Q=（）
A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜4} D．{x|x≥2}
分析：解一次不等式求出集合Q，再利用两个集合的交集的定义求出P∩Q．
解：∵集合P={x|2≤x＜4}，集合Q={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|5x≥15}={x|x≥3}，∴P∩Q={x|2≤x＜4}∩{x|x≥3}={x|4＞x≥3}，故选A
4.若集合P={x|x≤4，x∈N*}，Q={x|x＞1，x∈N*}，则P∩Q等于（）
A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{x|1＜x≤4，x∈R}
分析：先求出集合P={x|x≤4，x∈N*}={1，2，3，4}，Q={x|x＞1，x∈N*}={2，3，4，5，6，7，8，…}，再由集合的并集的概念和运算法则求出P∩Q．
解：∵集合P={x|x≤4，x∈N*}={1，2，3，4}，Q={x|x＞1，x∈N*}={2，3，4，5，6，7，8，9,10，……}，∴P∩Q={2，3，4}，故选B．
5.观察集合A,B,C元素间的关系
①A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={3，4，5，6，7，8}；②A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}
解：①A∪B=C ②A∪B=C
6.若A={x|0≤x≤2}，B={x|1＜x＜3}，求A∩B，A∪B并用数轴表示
分析：直接利用交集以及并集的求法，求出结果，然后在数轴表示出来
解：A={x|0≤x≤2}，B={x|1＜x＜3}，
A∩B={x|1＜x≤2}，
A∪B={x|0≤x＜3}，
数轴表示为：
7.已知集合﹛a,b﹜∪A＝﹛a, b，c﹜,则符合条件的集合A的个数有多少？
解：符合条件的A有﹛c﹜，﹛a, c﹜，﹛a, c﹜，﹛a, b，c﹜，共4个
8.设全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，集合B={x|﹣2≤x＜3}，求A∩B，A∪B，∁U A，∁U B．
分析：根据已知中的集合U，A，B，结合集合的交集，并集，补集运算定义，可得答案．
解：∵集合A={x|x＜﹣1}，集合B={x|﹣2≤x＜3}，
∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，A∪B={x|x＜3}，∁U A={x|x≥﹣1}，∁U B={x|x＜﹣2，或x≥3}．
9.设全集U=R，A={x|0＜x≤2}，B={x|x2+2x﹣3＞0}．求C R（A∪B）及（C R A）∩B．
分析：根据一元二次方程的解法求出集合B中x的范围，根据交集和补集的定义进行计算；
解：全集U=R，A={x|0＜x≤2}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，解得B={x|x＞1或x＜﹣3}，∴A∪B={x|x＜﹣3或x＞0}，∴C R（A∪B）={x|﹣3≤x≤0}，∴C R A={x|x＞2或x≤0}，∴（C R A）∩B={x|x＞1或x＜﹣3}
10.设A={x|x≥1或x≤﹣3}，B={x|﹣4＜x＜0}，求①A∩B，A∪B；②A∪（∁R B）
分析：①由A与B，求出两集合的交集、并集即可；②由全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可．
解：①A={x|x≥1或x≤﹣3}，B={x|﹣4＜x＜0}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤﹣3}，A∪B={x|x＜0，或x≥1}；②∵全集为R，∴∁R B={x|x≤﹣4或x≥0}，则A∪（∁R B）={x|x≤﹣3或x≥0}
11.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合M={3，4，5}，N={1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩N C．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）
分析：根据元素之间的关系进行求解即可．
解：∵M={3，4，5}，N={1，2，5}，∴M∩N={5}，（∁U M）∩N={1，2}，M∩（∁U N）={3，4}，（∁U M）∩（∁U N）=∅，故选：B
12.学校举办运动会时，高一某班共有55名同学参加比赛，有25人参加游泳比赛，有26人参加田径比赛，有32人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有8人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有13人，没有人同时参加三项比赛，则只参加球类一项比赛的人数为12．
分析：根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数，进而可求只参加球类一项比赛的人数．
解：有25人参加游泳比赛，有26人参加田径比赛，有32人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分，即同时参加游泳比赛和田径比赛的、同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，所以25+26+32﹣8﹣13﹣55=7，就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，所以只参加球类一项比赛的人数为32﹣13﹣7=12人．故答案为：12
13.若集合P={x|3＜x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x＜3a﹣5}，则能使Q⊆（P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（） A．（1，9）B．[1，9]C．[6，9）D．（6，9]
分析：由题意可得，Q⊆P，故有，由此解得实数a的取值范围
解：∵集合P={x|3＜x≤22}，非空集合Q={x|2a+1≤x＜3a﹣5}，Q⊆（P∩Q），∴Q⊆P．∴
，解得 6＜a≤9，故选D．
14.设集合A=﹛（x，y）|x+y=1﹜，B=﹛（x，y）|x﹣y=3﹜，则满足M⊆A∩B的集合M的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3
分析：联立方程组化简集合A∩B，得到A∩B={（2，﹣1）}，由子集的概念求得集合M的个数．
解：∵A=﹛（x，y）|x+y=1﹜，B=﹛（x，y）|x﹣y=3﹜，∴A∩B={（x，y）|}={（2，﹣1）}，
则满足M⊆A∩B的集合M是∅和{（2，﹣1）}，共2个．故选C
15.设集合A={x|x2﹣5x+6≤0，x∈R}，B={x|a＜x≤3，x∈R}，（1）当A∪B=B时，求a的取值范围；（2）当A∩B=B时，求a的取值范围．
分析：（1）由A∪B=B知，A⊆B，根据两个集合之间的关系得出关于a的不等式，进而求a的取值范围即可．
（2）由A∩B=B，得B⊆A，可知集合B中的元素都是A中的元素，构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．
解：A={x|x2﹣5x+6≤0，x∈R}={x|2≤x≤3，x∈R}（1）当A∪B=B时，A⊆B，又B={x|a＜x≤3，x∈R}∴a ＜2．a的取值范围为：a＜2；（2）当A∩B=B时，B⊆A，①当B=∅时，即a≥3时，符合题意；②当B≠∅时，有2≤a＜3；综上所述，a的取值范围为a≥2。