集合学习材料
高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用
第1讲 集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1． 三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性． 又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个 【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ， 故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】 由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}． 由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来． 又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。
集合的概念及运算总复习-2022年学习资料
四、有限廉合的子廉个数公式-1.设有限集合A中有n个元素，则A的子-集个数有：2个，其中真子集的个-数为2 .1个，非空子集个数为2m.1个-非空真子集个数为2n.2个-2.对任意两个有限集合A、B有-cardA B=cardA+cardB-cardAnB
初狱牛刀-1若-则a2002+b2003=1-2已知集合M={-1,1,2}-集合N=yy=x2,x∈M} 则M∩N是B-A{1,2,4}-B{1}-C{1,4-D-Φ
集合的概念及运算-要点·疑点·考点-·课前热身-▣能力·思维·方法-·延伸·拓展-▣误解分析
要点·疑点·考点-集合的基本概念及表示方法-1.集合与元素-一般地，某些指定的对象集在一-起就成为一个集合 也简称集，通常-用大写字母A、B、C„表示.集合中的-每一对象叫做集合的一个元素，通常-用小写字母a、b、 、„表示
设全集U={3,9,a2+2a-1},-P=3,a+7},CP={7}-则a的值为-A.2B.-4C.2或 4D.-2或4-【解析】7∈U且7庄P-.a2+2a-1=7.a=2或-4-经检验，应取a=2-选A-当a 一4时，a+7=3与集合中元素-的互异性矛盾〉
集合之间的运算性质-1.交集的运算性质-A∩B=B∩A,A∩B-车A∩B匹A∩A-=A,A∩Φ =Φ ，ABA B=A-2.并集的运算性质-AUB=BUA,AUB2A,AUB-B,-AUA=A,AUΦ =A,A二B分AU =B-3.补集的运算的性质-CuCA=A,CuΦ =U,A∩CuA=Φ ，-AUCUA=U-CuA∩B=CAU B-CAUB=CuA∩CB
2.集合的分类-集合按元素多少可分为：-有限集（元素个数是有限个），-无限集（元素个数是无限个），-空集（ 含任何元素）。-也可按元素的属性分-如：数集（元素是数）-点集（元素是点）等。
2020师德师风学习材料集合13篇
2020师德师风学习材料集合13篇【篇一】2020师德师风学习材料看完了这位优秀教师的师德讲座，我的心里久久不能平静，他的身影在我脑海挥散不去，他的事迹深深震撼了我的心灵。
道德是教师的灵魂，师德是教师职业理想的翅膀，教师的工作是神圣的，也是艰苦的，教书育人需要感情、时间、精力乃至全部心血的付出，这种付出是要以强烈的使命感为基础的。
育苗有志闲逸少，润物无声辛劳多。
一个热爱教育事业的人，是要甘于寂寞，甘于辛劳的。
这是师德的首要条件。
教育是一门艺术，因为人是最神秘最复杂的生物。
面对一群有思想有感情的学生，如何赢得他们的信任与尊重，如何对他们实施德育教育呢？作为一名教师，我认识到教师肩头的重任，一定要能理解学生，尊重学生。
教育学生，最重要的是要倾注爱心。
教师没有深切的爱就难以收到理想的教育效果。
用爱心架起师生心灵的桥梁，注意寻找他们身上的闪光点，及时给予表扬，增强学生学习的自信心。
要爱学生成长过程中的每一微小闪光点，要爱他们具有极大的可塑性。
要爱他们在教育过程中的主体能动性；要爱他们成长过程中孕育出来才一串串教育劳动成果。
爱要以爱动其心，以严导其行；爱要以理解、尊重、信任为基础；爱要一视同仁，持之以恒；爱要面向全体学生。
在传统的师道尊严理念的影响下，人们常常有这样的观点：学生就应该服从老师，被老师批评是理所当然的事。
然而，这种观点在当今社会显然已不适用。
学生，尤其是处于生长叛逆期的中学生，他们追求个性发展，个体意识明显加强，更追求人与人之间的一种平等交往。
因此，我想，教师在与学生的交往过程中，尤其是当学生犯错误的时候，一定要有换位思考的意识，尊重学生，理解学生。
理解就是理解学生的思想实际、心理实际和生活实际。
在开展班级德育工作，学生德育素质的提高，必须遵守一切从实际出发这一分析、处理问题的原则。
尊重就是充分尊重学生的意见和要求、尊重学生的人格，平等待人。
由于受遗传因素、家庭条件、社会环境等方面的影响，学生中存在着较大的差异，在平时的学校生活中，教师就应注意观察学生的个体差异，应对每个学生都有全面的细致的了解。
集合之间的运算性质-2022年学习资料
练习1：设P,Q为两个非空实数集合，定义集合-P+Q={a+ba∈p,b∈Q},-若P={0, ,5}Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是-A-A.8-B.9-C.7-D.6-关键：验 求出的集合是否满足“互异性”
练习2：-集合A={×|ax2+2x+1=0]中-有且只有一个元素，求a的值.
练习：-已知集合P={xx2+x-6=0},-Q={xmx-1=0},若Q∈P,求-实数m.
题型3-集合的运算-例3：2006年已知集合A{xx-5x+6≤0，集合B{x-1或x>2,集合A⌒B=C-A.{x2≤x≤3}B.{x2≤x<3-数形结合的思想-C.{x2x≤3}D. x-1x3-数轴法-再求：CRAUCRB={xx≤2或x>3}-摩根定律：CuA∩B=CUAU B-CUAUB=CuA∩CUB
4、设全集U={2,3,a2+2a-3},-A={2a-1,2},CuA={5},求a的值
题型4-集合实际应用-例4：向50名学生调查对A、B两事件的态度，-有如下结果：赞成A的人数是 0，其余的不赞成，-赞成B的人数是33，其余的不赞成；另外，对A、-B都不赞成的学生比对A、B 赞成的学生数的三-分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成-的学生各多少人？-分析：-画 韦恩图，形象地-30-x-x133-x-表示出各数量关系的-联系
集合之间的运算性质-1.交集的运算性质-A∩B=B∩A,A∩B-在，A∩B-A∩A=A,-A∩ =Φ，AB分A∩B=A-2.并集的运算性质-AUB-BUA,AUBRA,AUB B,AUA-A -AUΦ=A,A二B→AUB=B-3.补集的运算的性质-CsCsA=A,CsΦ=S,A∩CsA Φ，AUCSA=S-CsAnB=CsAUCsB,CsAUB=-CsA∩CsB
小学三年级数学集合教案6篇
小学三年级数学集合教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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集合论学习笔记
集合论学习笔记⽬录∪∩∖C集合及其运算集合的概念集合包括有穷集合、⽆穷集合和空集。
⼦集、集合的相等集合的运算并运算交运算分配律抽象差运算对称差对称差与异或对称差定义对称差的运算律例题：【例1】补集、De Morgan公式De Morgan公式对偶原理按照这个原则替换后的集合表达式，仍然成⽴。
运算的总结∪∩∖C假设研究对象是集合S，那么他们是在集合S的幂集2S上的运算。
这些运算是封闭的（运算对象在2S中，运算结果也在2S中）。
幂集运算幂集运算是不封闭的。
下⾯所描述的笛卡尔积也是不封闭的。
笛卡尔积/直积笛卡尔哲学上：《⽅法导论》数学上：笛卡尔坐标系（平⾯直⾓坐标系）。
数形结合，将⼏何形状公式化。
有序对与笛卡尔积序偶/有序对：【定义1】抽象集合上的笛卡尔积定义定义：运算规律与n元组不满⾜结合律与分配律Processing math: 100%不满⾜结合律，分配律。
那么，A×B×C没有意义（不能这样表⽰）。
由于在这种情况下A×B×C没有意义，为了对多个集合作笛卡尔积运算，需要引⼊n元组的概念。
n元组与扩展的（n个集合的）笛卡尔积n元组：扩展的笛卡尔积：部分条件下满⾜分配律笛卡尔乘积在2S上不封闭，也即产⽣了新的结构。
例⼦：冒领养⽼⾦多种不同的数据库（如公安数据、社保数据和医院数据等等），各数据库（笛卡尔乘积有意义的⼦集）之间可能存在不⼀致性。
进⾏笛卡尔乘积运算并进⾏限定，得到的新数据库（集合）R。
但是，笛卡尔乘积是⼀个复杂的运算。
抽象训练数据库模型E-R图：（以学⽣和课程为例）关系数据库：（所有的联系均可⽤⼆维关系表表⽰）E.F.Codd上述笛卡尔积的⼀个⼦集就是关系。
具体的关系只需要给这个⼦集赋值即可。
⾃然语⾔的模型语⾔的⽣成与识别：（Chomsky的⽂法（产⽣）与Kleene的⾃动机（识别））⽂法与⾃动机事实上是等价的。
语⾔的分类：0型：短语结构语⾔（PSG）、图灵机1型：上下⽂有关语⾔（CSG）、线性界限⾃动机2型：上下⽂⽆关语⾔（CFG）、下推⾃动机3型：正则语⾔、⾃动机（RG）映射与⼀⼀对应映射概念注意：映射是⼀个单值联系（体现在其唯⼀性上）。
【学习】高中生必备学习资源大集合!
【学习】高中生必备学习资源大集合！引言高中生是一个非常重要的阶段，这个时期的学生需要面对许多学科的学习，掌握各种知识和技能。
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本篇文章将为大家介绍一些高中生必备的学习资源，帮助他们更好地学习和成长。
1. 电子图书馆电子图书馆是高中生学习的宝库。
通过电子图书馆，高中生可以随时随地获取丰富的学习资源，如教科书、参考书、论文等。
此外，电子图书馆还提供一些高质量的出版物，如名著、经典文献等，帮助学生提高文学素养。
2. 在线学习平台在互联网时代，高中生可以利用各种在线学习平台进行自主学习。
这些平台提供了丰富的学科知识，如数学、物理、化学、语文等。
学生可以根据自己的需要选择适合自己的在线课程，进行有效的学习。
3. 学习应用程序手机已经成为高中生必备的学习工具。
为了激发学生的学习兴趣和提高学习效果，许多学习应用程序应运而生。
这些应用程序提供了各种学科的知识点、习题、错题集等，帮助学生巩固所学内容。
此外，还有一些专门的学习应用程序，如单词记忆、语法练习等，帮助学生提高语言能力。
4. 学习社区学习社区是学生交流学习心得和解决问题的好地方。
高中生可以加入一些学习社区，与其他同学讨论学习问题，分享学习经验。
在这些社区中，学生可以互相帮助、互相激励，共同进步。
5. 学习视频学习视频可以帮助高中生更直观地理解知识点。
通过观看学习视频，学生可以看到具体的实例、动画图示等，更容易掌握学科的要点。
许多学科的知名老师、专家都会在网络上分享他们的教学视频，学生可以通过观看这些视频学习，提高自己的学习效果。
6. 学习博客学习博客是一种非常有价值的学习资源。
许多学科的专家、教师都会在自己的博客上分享自己的学习心得和教学经验。
高中生可以通过阅读这些博客，学习到一些有用的学习方法和技巧。
7. 阅读杂志阅读杂志是培养学生综合素质的重要途径。
高中生可以阅读各种内容广泛的杂志，并拓展自己的知识面。
【教育资料】18-19 第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法学习专用
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) 【导学号：60462019】A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示．(3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：【导学号：60462019】(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )【导学号：60462019】A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当堂达标·固双基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为()A．{x|2<x<5，x∈N}B．A＝{2,3,4,5}C．{2<x<5} D．{3,4}D[大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是()【导学号：60462019】A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x|x－1＝0} D．{x＝1}D[选项A、B、C都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x＝1.]3．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.{4,9,16}[由题意知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．]4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．{－1,4}[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：【导学号：60462019】(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．。
集合论基础学习笔记
集合论基础学习笔记本⽂将包含集合代数、⼆元关系、函数三部分。
集合代数基本概念把⼀些事物汇集到⼀起组成⼀个整体叫做集合，这些事物是集合的元素或成员。
集合通常⽤⼤写英⽂字母标记。
集合的表⽰集合表⽰的两种⽅法：列举法（列出集合的所有元素）和谓词表⽰法（⽤谓词来概括集合中元素的属性）。
集合的基本性质：互异性（没有重复的元素），⽆序性。
关系元素与集合间关系是⾪属关系，即属于∈或不属于∉。
两个集合间的关系：如果B中的每个元素都是A中的元素，则B是A的⼦集，称B被A包含，记做B⊆A，反之记做B⊈。
称A=B，当且仅当A\subseteq B \and B \subseteq A。
如果A\subseteq B⽽A \neq B，则A是B的真⼦集，A \subset B。
不含任何元素的集合称为空集，记做\varnothing，可以符号化地表⽰为\varnothing = \{ x|x \neq x\}。
定义A的幂集P(A)=\{x|x \subseteq A\}，显然|P(A)|=2^{|A|}。
在⼀个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个元素的⼦集，则称这个集合为全集E。
⼏个证明例题空集是⼀切集合的⼦集，且空集是唯⼀的。
Proof. \varnothing \subseteq A \Leftrightarrow \forall x (x \in \varnothing \to x \in A)，⽽x \in \varnothing为假，于是\varnothing \subseteq A。
设存在\varnothing_1 \neq \varnothing_2，⽽\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2且\varnothing_2 \subseteq \varnothing_1，故\varnothing_1 = \varnothing_2，⽭盾。
对于任意集合有A\subseteq A。
集合的基本运算习题课-2022年学习资料;
例3：-设集合A={x-3≤x≤2}，B={x2k-1≤x≤2k+1-,且AIB=B,则实数k的取值范围是 -32k-1-2k+12-k≥-1-分析：-2k-1≥--→-1≤k≤-2k+1≤-1-1sk时
例4：-已知A={x-2≤x≤5，B={xp+1≤x≤2p-1,-AUB=A,求p的取值范围-提示：由已知 两集合间接关系AUB=A-可得集合间的直接关系为B三A。-如下的分析正确吗？-P+1-2P-15
集合的运算-〔习题果
知识探究（一）-题型1：利用数轴求集合的并集、交集、补集-例1设A={x1-1<x<8},B={x1x>4 x<-5},-求A∩B、AUB、ACB、ACUB
知识探究-一-题型1：利用数轴求集合的并集、交集、补集-例1设A={x1-1<x<8},B={x1x>4或 <-5},-求A∩B、AUB、ACB、ACUB-{x-1<x<4-{xx<-5或x>-1-{x-1<x≤4 {x-5≤x<8-小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来-求解
题型3：利用韦恩图求解集合的交、并、补-例6设全集U={xlx≤7，x∈N},已知-ǒAB={1,6},A ={2,3}-,AB={0,5},求集合A、B.-试用韦恩图表述下列集合：-òAIB-Al ,B-AUB
U-B-&AI B-GAnB-AIòB-AnCCB-,AUB-GAU
例6设全集U={xIx≤7，x∈N},已知-àAB={1,6},A6B={2,3}-òAB={0,5},求 合A、B.-A={2,3,4,7},B={1,4,6,7
典例：-设集合A={x2-3x+2=0,B={2+2u+x+u2-5=0-1若AIB=2,求实数a的值-2 AYB=A,求实数a的取值范围。-A=x2-3x+2=0={1,2,-题目分析：
人教出版中职数学基础学习知识模块上册第一章集合教案材料教学教育资料
1.1.1 集合的概念【教学目标】1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3. 引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．【教学重点】集合的基本概念，元素与集合的关系．【教学难点】正确理解集合的概念．【教学方法】本节课采用问题教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段，通过创设情景，引导学生自己独立地去发现、分析、归纳，形成概念．【教学过程】241.1.2 集合的表示方法【教学目标】1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2. 发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3. 让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．【教学重点】集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.【教学难点】集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.【教学方法】本节课采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法．在教学中通过列举例子，引导学生讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质．【教学过程】61.1.3 集合之间的关系(一)【教学目标】1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．【教学重点】子集、真子集的概念．【教学难点】集合间包含关系的正确表示．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．【教学过程】8101.1.3 集合之间的关系(二)【教学目标】1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．3. 学习类比方法，渗透分类思想，提高学生思维能力，增强学生创新意识．【教学重点】1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学难点】弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．【教学方法】本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段进行教学．使学生初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力．精心设计问题情境，引起学生强烈的求知欲望，通过启发，使学生的思考、发现、归纳等一系列的探究思维活动始终处于自主的状态中．【教学过程】121.1.4 集合的运算(一)【教学目标】1. 理解交集与并集的概念与性质．2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．3. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生观察、归纳、分析的能力．【教学重点】交集与并集的概念与运算．【教学难点】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．【教学方法】这节课主要采用发现式教学法和自学法．运用现代化教学手段，通过创设情景，提出问题，引导学生自己独立地去发现问题、分析归纳、形成概念．并通过对比，自学相似概念，深化对概念的理解．【教学过程】14161.1.4 集合的运算（二)【教学目标】1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集的性质；会求一个集合在全集中的补集．2. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生建立数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来；提高学生观察、比较、分析、概括的能力．3. 鼓励学生主动参与“教”与“学”的整个过程，激发其求知欲望，增强其学习数学的兴趣与自信心．【教学重点】补集的概念与运算．【教学难点】全集的意义；数集的运算．【教学方法】本节课采用发现式教学法，通过引入实例，进而分析实例，引导学生寻找、发现其一般结果，归纳其普遍规律．18新课我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．二、补集1. 定义．如果A 是全集U的一个子集，由U中的所有不属于A 的元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集．记作U A．读作“A 在U中的补集”．2. 补集的Venn图表示．例1 已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}．则U A＝；A ∩U A＝；A ∪U A＝．解{2，4，6}；∅；U．例2已知U＝{ x | x是实数}，Q＝{ x | x 是有理数}．则U Q＝；Q∩U Q＝；Q∪U Q＝．解{ x | x 是无理数}；∅；U．3. 补集的性质．(1) A ∪U A＝U；(2) A ∩U A＝∅；(3) U(U A)＝A．例3已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求U A．解U A＝{x | x≤5}．练习 1(1) 已知全集U＝R，A＝{ x | x＜1}，求U A．师：通过引导学生回答引例中的问题2“没有购进的品种构成的集合是什么？”，得出补集的定义和特征；介绍补集的记法和读法．生：根据定义，试用阴影表示补集．师：订正、讲解补集Venn图表示法.生：对例1口答填空．师：引导学生画出例2的Venn图，明确集合间关系，请学生观察并说出结果．师：以填空的形式出示各条性质．生：填写性质．师：结合数轴讲解例3.学生解答练习1，并总结解题规律．从引例的集合关系中直观感知补集涵义．通过画图来理解补集定义，突破难点．借助简单题目使学生初步理解补集定义．例2中补充两问，为学生得出性质做铺垫．结合具体例题和Venn图，使学生自己得出补集的各个性质，深化对补集概念的理解．培养学生数形结合的数学意识．AUC U A新课(2) 已知全集U＝R，A＝{ x | x≤1}，求U A．练习2设U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求U A；U B；U A ∩U B；UA ∪U B．练习3 已知全集U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求U A，U A∩U，U A∪U，A ∩U A，A ∪U A．学生做练习2、3，老师点拨、解答学生疑难．通过练习加深学生对补集的理解．小结补集定义记法图示性质1. 学生读书、反思，说出自己学习本节课的收获和存在问题．2. 老师引导梳理，总结本节课的知识点，学生填表巩固.让学生读书、反思，培养学生形成良好的学习习惯，提高学习能力．作业教材P17，练习A组第1～4题．学生课后完成．巩固拓展．201.2.1 充要条件【教学目标】1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．3. 培养学生思维的严密性．【教学重点】正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．【教学难点】正确区分充分条件、必要条件．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】221.2.2 子集与推出的关系【教学目标】1. 正确理解子集和推出的关系．2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．3. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，学会分析问题和解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．【教学重点】理解子集和推出的关系．【教学难点】理解通过“推出”判断集合的包含关系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段进行教学．通过创设情景，用普遍联系的观点审视事物，引导学生自己去发现、分析、归纳，形成概念．穿插有针对性的练习及讲解，并配以题组训练模式，使学生边学边练，及时巩固，深化对概念的理解．【教学过程】2426。
《第一节 集合的概念》同步学习与训练(教师版)
《第一节集合的概念》同步学习与训练一、知识点归纳知识点一元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的．4.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．知识点二元素与集合的关系及常用数集1.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2.数学中一些常用的数集及其记法知识点三列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.知识点四描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．二、题型分析题型一集合的基本概念【例1】考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④【答案】B【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B. 【规律总结】判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.【变式1】．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．【解析】(1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．题型二元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2 C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0【答案】(1)B(2)B【解析】(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.【规律总结】判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.【变式2】．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【答案】0,1,2【解析】∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.题型三集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．【答案】0【解析】由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.【规律方法】1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．【变式3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．【答案】a＝－1【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.题型四用列举法表示集合【例4】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A ；(2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D .【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32， 所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，32. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4. 所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．【规律方法】用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.【变式4】．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，x －y ＝1的解组成的集合B ； (4)15的正约数组成的集合N .【解析】(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素有－2，－1,0,1,2，故A ＝{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解为x ＝2或x ＝3，∴M ＝{2,3}．(3)解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴B ＝{(3,2)}．(4)15的正约数有1,3,5,15，故N ＝{1,3,5,15}．题型五 用描述法表示集合【例5】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．【解析】(1){x ∈R |1<x <10}．(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x ，y )|x <0，且y >0}．(3){x |x ＝3n ＋1，n ∈N }．【规律方法】描述法表示集合的2个步骤【变式5】.用描述法表示下列集合：(1)函数y ＝－2x 2＋x 图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x －3<5的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．【解析】(1)函数y ＝－2x 2＋x 的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x ，y )|y ＝－2x 2＋x }．(2)不等式2x －3<5的解组成的集合可表示为{x |2x －3<5}，即{x |x <4}．(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤32，0≤y ≤1. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x |x ＝12n ，n ∈N *}．题型六 集合表示方法的综合应用【例6】集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合．【解析】(1)当k ＝0时，方程kx 2－8x ＋16＝0变为－8x ＋16＝0，解得x ＝2，满足题意；(2)当k ≠0时，要使集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx 2－8x ＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．【规律方法】1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本题中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．【变式6】(2019-2020学年·铜仁思南中学高一期中)已知集合M＝{－1，0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合N中所有元素之和为()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】A【解析】∵集合M＝{－1,0,1}，∴N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}＝{－1,0}，∴集合N中所有元素之和为－1.三、课堂达标检测1.已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A【答案】C【解析】∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.2．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体【答案】C【解析】A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是()A ．{x |－3<x <11，x ∈Z }B ．{x |－3<x <11}C ．{x |－3<x <11，x ＝2k }D ．{x |－3<x <11，x ＝2k ，k ∈Z }【答案】D【解析】由题意可知，满足题设条件的只有选项D ，故选D.4．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( )A ．{1，－2}B ．{x ＝1，y ＝－2}C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)} 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y ＝－2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}． 5.（2019-2020学年•城关区校级期中）考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数 ④的近似值． A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③【答案】：C ．【解答】解：对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合． 综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．6.（2019-2020学年•湖北期中）下列表示正确的是（ ）A ．0∈NB ．C ．π∉RD ．0.333∉Q【答案】：A ．【解答】解：0是自然数，则A 对．不是整数，故B 错．π是实数，故C 错．0.333是有理数．故D错．7.（2019-2020学年•浦东新区期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，用列举法可表示为A＝．【答案】：{﹣1，2}．【解析】；解方程x2﹣x﹣2＝0得：x＝﹣1或2，∴A＝{﹣1，2}，8.（2019-2020学年•普陀区校级月考）被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为．【答案】：{x|x＝3k+1，k∈N}．【解析】：被3除余数等于1的自然数可以表示为：x＝3k+1，其中k∈N，所以用描述法可表示为：{x|x＝3k+1，k∈N}，9.已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．【答案】a＝0或a＝－1【解析】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.10.（2019-2020学年•镜湖区校级月考）用适当的方法表示下列集合．（1）方程组，的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（4）所有三角形构成的集合．【答案】见解析【解析】：（1）．解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}；（2）．集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．（3）．集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}（4）．集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．四、课后提升作业一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．2020年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数 【答案】B【解析】B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.2.已知集合A ＝{x ∈N |x <6}，则下列关系式不成立的是( )A ．0∈AB ．1.5∉AC ．－1∉AD ．6∈A 【答案】D【解析】∵A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A ，故选D.3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.7 【答案】D【解析】由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( ) A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}【答案】D 【解析】解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集【解析】由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.6．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R【答案】D【解析】选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．7.（多选）（2019-2020学年•天津期末）由实数﹣a ，a ，|a |，所组成的集合可以含有（ ）个元素 A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】：AB ．【解析】：当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有1个元素；当a ≠02,0,0a a a a a >⎧=⎨-<⎩2a |a |相等且一定与a 或﹣a 中的一个一致， 故组成的集合可以含有1个或2个元素．二、填空题8．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．【答案】{k |k ≠±1}【解析】∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.9．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .【答案】(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈【解析】(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]10．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.【答案】1【解析】由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1. 11．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________.【答案】{1,3}【解析】由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．12.若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x ∈A }，C ＝{x |x ⊆A }用列举法表示集合B ＝_________；C ＝_________．【答案】{1，2}，{∅，{1}，{2}，{1，2}}【解析】∵集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x ∈A }，C ＝{x |x ⊆A }，∴用列举法表示集合B ＝{1，2}；C ＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}．三、解答题13．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=Z x Z x A 34. (1)用列举法表示集合A ；(2)求集合A 的所有元素之和．【答案】(1)A ＝{－1,1,2,4,5,7};(2)18【解析】 (1)由43－x∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4.解得x ＝－1,1,2,4,5,7. 又∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.14．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．【答案】x ＝1，y ＝0【解析】因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.15.已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．【答案】见解析【解析】：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a ＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.【能力提升】1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈M【答案】C【解析】由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x －2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.选C.2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】当x>0时，x＝|x|＝x2，－3x3＝－x<0，此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝x2＝－3x3＝－x＝0，此时集合共有1个元素，当x<0时，x2＝|x|＝－x，－3x3＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.3．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，若a＝5，则有() A．a∈A B．－a∉AC．{a}∈A D．{a}∉A【答案】A【解析】由题意，当k＝2时，x＝5，所以a∈A.当k＝－3时，x＝－5，所以－a∈A.故选A.4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为()A．3B．4 C．5D．6【答案】B【解析】当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．5．（2019-2020学年•东宝区校级期中）将集合{（x，y）|}表示成列举法，正确的是（）A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【答案】：B．【解答】：解方程组：521x yx y+=⎧⎨-=⎩，可得23xy=⎧⎨=⎩，故选B6．（2019-2020学年•榆社县校级月考）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【答案】：C．【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），7．（多选）（2019-2020学年•北镇市校级月考）已知集合M＝{﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．1【故选】：AC．【解答】解：由题意得，2＝3x2+3x﹣4或2＝x2+x﹣4，若2＝3x2+3x﹣4，即x2+x﹣2＝0，∴x ＝﹣2或x ＝1，检验：当x ＝﹣2时，x 2+x ﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去；当x ＝1时，x 2+x ﹣4＝﹣2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x 2+x ﹣4，即x 2+x ﹣6＝0，∴x ＝2或x ＝﹣3，经验证x ＝2或x ＝﹣3为满足条件的实数x ．8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.【答案】6【解析】∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6.9．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________． 【答案】3【解析】当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－b b＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个． 10．已知集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝________.【答案】{0,1}【解析】∵x ∈A ，∴当x ＝－1时，y ＝|x |＝1；当x ＝0时，y ＝|x |＝0；当x ＝1时，y ＝|x |＝1.11．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝______.【答案】－32【解析】因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1，此时2a 2＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1.当2a 2＋5a ＝－3时，即2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32.显然a ＝－1不合题意．当a ＝－32时，a －2＝－72，满足互异性．综上，a ＝－32. 12.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围；(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素． (2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0， 即a <98且a ≠0时方程有两个实根， 又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤98. (3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素． 当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98. 综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素. 13.数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． (1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．【答案】见解析【解析】：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素． (1)其他所有元素为－1，12. (2)假设－2∈A ，则13∈A ，则32∈A .其他所有元素为13，32. (3)A 中只能有3个元素，它们分别是a ，11－a，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 证明如下．由已知，若a ∈A ，则11－a ∈A 知，11－11－a ＝a －1a ∈A ，11－a －1a＝a ∈A . 故A 中只能有a ，11－a，a －1a 这3个元素． 下面证明三个元素的互异性．若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a ≠11－a .a－1 a，11－a≠a－1a.结论得证．同理可证，a≠。
示范教案(集合的基本运算-并集、交集)
一、教学目标：知识与技能：1. 理解并集、交集的概念；2. 掌握并集、交集的运算方法；3. 能够运用并集、交集解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例探究并集、交集的性质；2. 利用图形直观展示并集、交集的结果；3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生的团队协作精神；2. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：1. 并集、交集的概念；2. 并集、交集的运算方法。
难点：1. 并集、交集的性质；2. 运用并集、交集解决实际问题。
三、教学准备：教师：1. 准备相关的教学材料和实例；2. 准备投影仪或白板展示图形。
学生：1. 准备笔记本记录知识点；2. 准备相关的数学书籍。
四、教学过程：1. 导入：通过一个实例引出并集、交集的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2. 新课讲解：讲解并集、交集的定义和运算方法，结合实例进行解释。
3. 图形展示：利用投影仪或白板展示并集、交集的图形，让学生直观理解。
4. 练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立完成，并进行小组讨论，交流解题思路。
五、课后作业：1. 完成教材中的相关练习题；2. 选择一道实际问题，运用并集、交集的知识解决；3. 准备下一节课的预习内容。
六、教学评估：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及团队合作表现，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对并集、交集概念和运算方法的掌握程度。
3. 课后作业：评估学生完成课后作业的质量，了解学生对课堂内容的理解和应用能力。
七、教学反思：1. 课堂节奏：反思课堂讲解的节奏是否适中，是否给予学生足够的时间理解和消化新知识。
2. 学生反馈：关注学生的反馈，了解他们在学习过程中遇到的问题和困惑，及时调整教学方法和策略。
3. 教学内容：评估教学内容是否适合学生的认知水平，是否需要对某些知识点进行补充或调整。
集合的基本运算时补集-2022年学习资料
规律总结：1如果所给集合是有限集，则先把集合-中亮素”-列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外-针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图 求-解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易-出错.-2在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则-常借助于数轴，把已知集合及 集分别表示在数轴上，然后-再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程-中注意边界问题
例题-交集、并集、补集的综合运算-●-12012·辽宁高考己知全集U=-{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8} 集合B=-{2,4,5,6,8},则CAnCuB=-·A.{5,8}-B.{7,9}-·C.{0,1,3}-D.{2,4,6}-·2已知全集U={ X≤4}，集合A={X-2<X<3},B={X-3≤X≤2}，求AnB,CAUB,AnCB.-·[分析]1有限解利用文氏图求解；2无限解利用数轴， -别表示出全集U及集合A,B,先求出C1A及C,B,再求解.
规律总结：求集合交、并、补运算的方法-常借助于数轴，把已知集合及全集分别表-无限集-示在数轴上，、然后再根据交，并、补集的-定义求解，这样处理比较 象直观，解答-圈-过程中注意边界问题.-先把集合中的元素一一列举出来，然后结-食美4蜜子外对-有限集-图来求解，这样处理起来，相对来说比较-直观、 象，且解答时不易出错.
拓展变式●-2012·广东高考1设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则-CLM=-·A.U-B.{1,3,5}-·C.{3, ,6}D.{2,4,6}-2已知全集U={X1≤X5},A={X1≤X<a},若CA=-{xX2≤≤5}，则a=-·[答案]1C22
·[解析]-1因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},所以CM=-{3,5,6},所以选C.-·2.AUCA=U,且AnCA=0, 。.A={X1≤X<2},.a=2.
新人教B版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合及其表示方法集合的表示教案
考点学习目标核心素养列举法表示集合掌握用列举法表示有限集数学抽象描述法表示集合理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合数学抽象区间及其表示会用区间表示集合数学抽象集合表示法的简单应用学会在集合的不同表示法中作出选择和转换数学抽象问题导学预习教材P５倒数第４行—P8的内容，思考以下问题：１．集合有哪几种表示方法？它们如何定义？２．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？３．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？４．如何用区间表示集合？１．列举法把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．■名师点拨（１）应用列举法表示集合时应关注以下四点１元素与元素之间必须用“，”隔开；２集合中的元素必须是明确的；３集合中的元素不能重复；４集合中的元素可以是任何事物．（２）a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．２．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p（x）称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p（x）表示为{x|p （x）}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．■名师点拨（１）应用描述法表示集合时应关注以下三点１写清楚集合中元素的符号，如数或点等；２说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；３不能出现未被说明的字母．（２）注意区分以下四个集合１A＝{x|y＝x２＋１}表示使函数y＝x２＋１有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；２B＝{y|y＝x２＋１}表示使函数y＝x２＋１有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x２＋１≥１，因此B＝{y|y≥１}；３C＝{（x，y）|y＝x２＋１}表示满足y＝x２＋１的点（x，y）组成的集合，因此C表示函数y＝x２＋１的图像上的点组成的集合；４P＝{y＝x２＋１}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x２＋１．３．区间的概念及表示（１）区间的定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间（a，b）{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b）{x|a<x≤b}半开半闭区间（a，b]（２）无穷的概念及无穷区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号（—∞，＋∞）[a，＋∞）（a，＋∞）（—∞，a]（—∞，a）关于无穷大的两点说明（１）“∞”是一个符号，而不是一个数．（２）以“—∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）一个集合可以表示为{s，k，t，k}．（）（２）集合{—５，—8}和{（—５，—8）}表示同一个集合．（）（３）集合A＝{x|x—１＝0}与集合B＝{１}表示同一个集合．（）（４）集合{x|x>３，且x∈N}与集合{x∈N|x>３}表示同一个集合．（）（５）集合{x∈N|x３＝x}可用列举法表示为{—１，0，１}．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×方程x２—１＝0的解集用列举法表示为（）A．{x２—１＝0} B．{x∈R|x２—１＝0}C．{—１，１} D．以上都不对解析：选Ｃ．解方程x２—１＝0得x＝±１，故方程x２—１＝0的解集为{—１，１}．集合{x∈N*|x—３<２}的另一种表示法是（）A．{0，１，２，３，４} B．{１，２，３，４}C．{0，１，２，３，４，５} D．{１，２，３，４，５}解析：选Ｂ．因为x—３<２，x∈N*，所以x<５，x∈N*，所以x＝１，２，３，４．由大于—１小于５的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．解析：大于—１小于５的自然数有0，１，２，３，４．故用列举法表示集合为{0，１，２，３，４}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且—１<x<５．故用描述法表示集合为{x∈N|—１<x<５}．答案：{0，１，２，３，４} {x∈N|—１<x<５}（１）{x|—１≤x≤２}可用区间表示为________；（２）{x|１<x≤３}可用区间表示为________；（３）{x|x>２}可用区间表示为________；（４）{x|x≤—２}可用区间表示为________；答案：（１）[—１，２] （２）（１，３] （３）（２，＋∞）（４）（—∞，—２]用列举法表示集合用列举法表示下列集合：（１）满足—２≤x≤２且x∈Z的元素组成的集合A；（２）方程（x—２）２（x—３）＝0的解组成的集合M；（３）方程组错误!的解组成的集合B；（４）１５的正约数组成的集合N.【解】（１）因为—２≤x≤２，x∈Z，所以x＝—２，—１，0，１，２，所以A＝{—２，—１，0，１，２}．（２）因为２和３是方程的根，所以M＝{２，３}．（３）解方程组错误!得错误!所以B＝{（３，２）}．（４）因为１５的正约数有１，３，５，１５，所以N＝{１，３，５，１５}．错误!列举法表示的集合的种类（１）元素个数少且有限时，全部列举，如{１，２，３，４}．（２）元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从１到１000的所有自然数”可以表示为{１，２，３，…，１000}．（３）元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，１，２，３，…}．[注意] （１）花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．（２）用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．用列举法表示下列给定的集合：（１）大于１且小于6的整数组成的集合A；（２）方程x２—9＝0的实数根组成的集合B；（３）小于8的质数组成的集合C；（４）一次函数y＝x＋３与y＝—２x＋6的图像的交点组成的集合D.解：（１）大于１且小于6的整数包括２，３，４，５，所以A＝{２，３，４，５}．（２）方程x２—9＝0的实数根为—３，３，所以B＝{—３，３}．（３）小于8的质数有２，３，５，7，所以C＝{２，３，５，7}．（４）由错误!解得错误!所以一次函数y＝x＋３与y＝—２x＋6的图像的交点为（１，４），所以D＝{（１，４）}．用描述法表示集合用描述法表示下列集合：（１）函数y＝—２x２＋x的图像上的所有点组成的集合；（２）不等式２x—３<５的解组成的集合；（３）如图中阴影部分的点（含边界）的集合；（４）３和４的所有正的公倍数构成的集合．【解】（１）函数y＝—２x２＋x的图像上的所有点组成的集合可表示为{（x，y）|y＝—２x２＋x}．（２）不等式２x—３<５的解组成的集合可表示为{x|２x—３<５}，即{x|x<４}．（３）题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为{（x，y）|—１≤x≤错误!，—错误!≤y≤１，xy≥0}．（４）３和４的最小公倍数是１２，因此３和４的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝１２n，n∈N*}．错误!使用描述法表示集合应注意的问题（１）写清楚该集合的代表元素，如数或点等．（２）说明该集合中元素的共同属性．（３）不能出现未被说明的字母．（４）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确．试分别用描述法和列举法表示下列集合：（１）由方程x（x２—２x—３）＝0的所有实数根组成的集合；（２）大于２小于7的整数．解：（１）用描述法表示为{x∈R|x（x２—２x—３）＝0}，用列举法表示为{0，—１，３}．（２）用描述法表示为{x∈Z|２<x<7}，用列举法表示为{３，４，５，6}．区间及其表示把下列数集用区间表示：（１）错误!；（２）{x|x＜0}；（３）{x|—２＜x≤３}；（４）{x|—３≤x＜２}；（５）{x|—１＜x＜6}．【解】（１）错误!；（２）（—∞，0）；（３）（—２，３]；（４）[—３，２）；（５）（—１，6）．错误!解决区间问题应注意的五点（１）区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b—a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．（２）注意开区间（a，b）与点（a，b）在具体情景中的区别．（３）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别．（４）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示．（５）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号．１．若[２a＋１，３a—１]为一确定区间，则实数a的取值范围为________．解析：由题意知３a—１＞２a＋１，即a＞２．答案：（２，＋∞）２．不等式２x＋３≤0的解集可用区间表示为________．解析：由２x＋３≤0，得x≤—错误!.答案：错误!３．使错误!有意义的x的取值范围为________（用区间表示）．解析：要使错误!有意义，则５—x＞0，即x＜５．答案：（—∞，５）集合表示方法的简单应用已知集合A＝{x∈R|mx２—２x＋３＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．【解】１当m＝0时，原方程为—２x＋３＝0，x＝错误!，符合题意．２当m≠0时，方程mx２—２x＋３＝0为一元二次方程，由Δ＝４—１２m≤0，得m≥错误!，即当m≥错误!时，方程mx２—２x＋３＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由１２知m＝0或m≥错误!.１．（变条件）若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？解：当m＝0时，A＝错误!，即集合A中只有一个元素错误!，符合题意；当m≠0时，Δ＝４—１２m＝0，即m＝错误!.综上可知，m＝0或m＝错误!.２．（变条件）若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题解析可知，当m＝0或m＝错误!时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝４—１２m>0，即m<错误!且m≠0．所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为错误!.错误!此题容易漏解m＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m进行分类讨论.已知集合A＝{x|x２＋px＋q＝x}，B＝{x|（x—１）２＋p（x—１）＋q＝x＋３}，当A＝{２}时，集合B＝（）A．{１} Ｂ．{１，２}C．{２，５} D．{１，５}解析：选Ｄ．由A＝{x|x２＋px＋q＝x}＝{２}知，２２＋２p＋q＝２，且Δ＝（p—１）２—４q＝0．计算得出，p＝—３，q＝４．则（x—１）２＋p（x—１）＋q＝x＋３可化为（x—１）２—３（x—１）＋４＝x＋３；即（x—１）２—４（x—１）＝0；则x—１＝0或x—１＝４，计算得出，x＝１或x＝５．所以集合B＝{１，５}．１．已知集合A＝{x|—１<x<错误!，x∈Z}，则一定有（）A．—１∈A B．错误!∈AC．0∈AＤ．１∉A解析：选Ｃ．因为—１<0<错误!，且0∈Z，所以0∈A.２．将集合错误!用列举法表示，正确的是（）A．{２，３} B．{（２，３）}C．{x＝２，y＝３} Ｄ．（２，３）解析：选Ｂ．解方程组错误!得错误!所以集合错误!＝{（２，３）}．３．给出下列说法：１平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{（x，y）|x>0，y>0}；２方程错误!＋|y＋２|＝0的解集为{２，—２}；３集合{y|y＝x２—１，x∈R}与{y|y＝x—１，x∈R}是不相同的；４不等式２x＋１>0的解集可用区间表示为错误!.其中正确的是________（填序号）．解析：对于１，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点（x，y），所以１正确；对于２，方程错误!＋|y＋２|＝0的解为错误!，解集为{（２，—２）}或{（x，y）|错误!}，所以２不正确；对于３，集合{y|y＝x２—１，x∈R}＝{y|y≥—１}，集合{y|y＝x—１，x∈R}＝R，这两个集合不相同，所以３正确；对于４，不等式２x＋１>0的解集为{x|x>—错误!}，用区间表示为错误!，所以４正确．答案：１３４４．设集合A＝{４，a}，集合B＝{２，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝______．解析：因为集合A与集合B的元素相同，所以错误!即a＝２，b＝２．故a＋b＝４．答案：４[A 基础达标]１．集合{（x，y）|y＝２x—１}表示（）A．方程y＝２x—１B．点（x，y）C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．一次函数y＝２x—１的图像上的所有点组成的集合解析：选Ｄ．本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝２x—１的图像上的所有点组成的集合．故选Ｄ．２．对集合{１，５，9，１３，１7}用描述法来表示，其中正确的是（）Ａ．{x|x是小于１8的正奇数}Ｂ．{x|x＝４k＋１，k∈Z，且k<５}Ｃ．{x|x＝４t—３，t∈N，且t≤５}Ｄ．{x|x＝４s—３，s∈N*，且s≤５}解析：选Ｄ．A中小于１8的正奇数除给定集合中的元素外，还有３，7，１１，１５；B中除给定集合中的元素外，还有—３，—7，—１１，…；C中t＝0时，x＝—３，不属于给定的集合；只有D是正确的．故选Ｄ．３．已知集合{x|x２＋ax＝0}＝{0，１}，则实数a的值为（）A．—１Ｂ．0C．１Ｄ．２解析：选Ａ．由题意，x２＋ax＝0的解为0，１，利用根与系数的关系得0＋１＝—a，所以a＝—１．４．（２0１9·襄阳检测）已知集合A＝{１，２，４}，集合B＝错误!，则集合B中元素的个数为（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7解析：选Ｂ．因为A＝{１，２，４}．所以集合B＝错误!＝错误!，所以集合B中元素的个数为５．５．下列说法中正确的是（）１0与{0}表示同一个集合；２由１，２，３组成的集合可表示为{１，２，３}或{３，２，１}；３方程（x—１）２（x—２）＝0的所有解组成的集合可表示为{１，１，２}；４集合{x|４<x<５}可以用列举法表示．Ａ．只有１和４B．只有２和３Ｃ．只有２D．只有２和４解析：选Ｃ．１中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故１错误．根据集合中元素的无序性可知２正确；根据集合中元素的互异性可知３错误；４不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．6．不等式３x—错误!≤x的解集可用区间表示为________．解析：由３x—错误!≤x，得x≤错误!，故不等式的解集为{x|x≤错误!}，可用区间表示为错误!.答案：错误!7．用列举法表示集合A＝{（x，y）|x＋y＝３，x∈N，y∈N*}为____________．解析：集合A是由方程x＋y＝３的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝３；当x ＝１时，y＝２；当x＝２时，y＝１，故A＝{（0，３），（１，２），（２，１）}．答案：{（0，３），（１，２），（２，１）}8．已知—５∈{x|x２—ax—５＝0}，则集合{x|x２—３x＋a＝0}用列举法表示为________．解析：因为—５∈{x|x２—ax—５＝0}，所以（—５）２＋５a—５＝0，解得a＝—４．所以x２—３x—４＝0，解得x＝—１或x＝４，所以{x|x２—３x＋a＝0}＝{—１，４}．答案：{—１，４}9．用列举法表示下列集合：（１）{x|x２—２x—8＝0}；（２）{x|x为不大于１0的正偶数}；（３）{a|１≤a<５，a∈N}；（４）A＝错误!；（５）{（x，y）|x∈{１，２}，y∈{１，２}}．解：（１）{x|x２—２x—8＝0}，列举法表示为{—２，４}．（２）{x|x为不大于１0的正偶数}，列举法表示为{２，４，6，8，１0}．（３）{a|１≤a<５，a∈N}，列举法表示为{１，２，３，４}．（４）A＝错误!，列举法表示为{１，５，7，8}．（５）{（x，y）|x∈{１，２}，y∈{１，２}}，列举法表示为{（１，１），（１，２），（２，１），（２，２）}．１0．用描述法表示下列集合：（１）{0，２，４，6，8}；（２）{３，9，２7，8１，…}；（３）错误!；（４）被５除余２的所有整数的全体构成的集合．解：（１）{x∈N|0≤x<１0，且x是偶数}．（２）{x|x＝３n，n∈N*}．（３）错误!.（４）{x|x＝５n＋２，n∈Z}．[B 能力提升]１１．若集合A＝{x|kx２＋４x＋４＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为（）Ａ．0 Ｂ．１C．0或１D．２解析：选Ｃ．集合A中只有一个元素，即方程kx２＋４x＋４＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝１6—１6k＝0，即k ＝１．所以实数k的值为0或１．１２．设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，２，５}，Q＝{１，２，6}，则P＋Q中元素的个数是（）Ａ．9 Ｂ．8C．7 Ｄ．6解析：选Ｂ．因为0＋１＝１，0＋２＝２，0＋6＝6，２＋１＝３，２＋２＝４，２＋6＝8，５＋１＝6，５＋２＝7，５＋6＝１１，所以P＋Q＝{１，２，３，４，6，7，8，１１}．故选Ｂ．１３．（２0１9·襄阳检测）设集合M＝{x|x＝２m＋１，m∈Z}，P＝{y|y＝２m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则（）A．a∈M，b∈P B．a∈P，b∈MC．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P解析：选Ａ．设x0＝２n＋１，y0＝２k，n，k∈Z，则x0＋y0＝２n＋１＋２k＝２（n＋k）＋１∈M，x0y0＝２k（２n＋１）＝２（２nk＋k）∈P，即a∈M，b∈P，故选Ａ．１４．设a∈N，b∈N，a＋b＝２，集合A＝{（x，y）|（x—a）２＋（y—a）２＝５b}，（３，２）∈A，求a，b的值．解：由a＋b＝２，得b＝２—a，代入（x—a）２＋（y—a）２＝５b得：（x—a）２＋（y—a）２＝５（２—a）１，又因为（３，２）∈A，将点代入１，可得（３—a）２＋（２—a）２＝５（２—a），整理，得２a２—５a＋３＝0，得a＝１或１．５（舍去，因为a是自然数），所以a＝１，所以b＝２—a＝１，综上，a＝１，b＝１．[C 拓展探究]１５．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m ※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{（a，b）|a※b＝１２，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？解：若a，b同奇偶，有１２＝１＋１１＝２＋１0＝３＋9＝４＋8＝５＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有１个点（6，6），这时有２×５＋１＝１１（个）；若a，b一奇一偶，有１２＝１×１２＝３×４，每种可以交换位置，这时有２×２＝４（个）．所以共有１１＋４＝１５（个）．。
高一集合知识点-2022年学习资料
交集、并集的性质-0-1若AcB,则AnB=A,AUB=B;-●-2若A=B,则A∩B=A,AUB=A;若A,B相交，有公共元素但不包含，则-A交B是A的真子集，也是B的真子集；-A与B都是A并B的真子集-4若 ,B无公共元素，则A∩B=☑-10
3.补集-·全集：如果集合U含有·补集：一般地，设U是-我们所要研究的各个-一个集合，A是U的一-集合的全 元素，这-个子集，由U中所有不-个集合就可以看做一-属于A的元素组成的集-个全集，通常用U表示-合，叫做U 子集A的-补集或余集，记作C,A-·CCA=A,CU=☑，-11
·4.元素的性质-高考考点-1确定性-3.元素与集合的关系-例：{四大洋}、{小河流}-1a∈A-2a尘互异性-例：设集合C中的元素是-例：已知A={a2-a,2a,2},求a-所有形如a+b2a∈Z,b-∈Z 数，求证：-的取值范围。-1当x∈N时，x∈C-3无序性-2若x∈C,y∈C,则-x+y∈C,并判1/x是 一定-例：{1,2,3={1,3,2-属于C?
1.3交集、并集、补集-·1.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元-素组成的集合，记作A∩B-例：{1, ,3,6}n{1,2,5,10={1,2}-·2.并集：一般地，由所有属于A且属于B的元-素组成的集合，记 AUB-例：{1,2,3,6}n{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}-9
第二章不等式-·2.1不等式的基本性质-·2.2一元二次不等式的解法-·2.3其它不等式的解法-·2.4基 不等式及其应用-·2.5不等式的证明-·基本练习-19
6.集合的分类-1有限集：含有有限个元素-2无限集：含有无限个元素-3空集：不含任何元素的集合，记作☑-· 意：空集是一个集合-·例：{x∈RX2+1=0}
(学习指导) 集合的概念与表示Word版含解析
§1集合1.1集合的概念与表示学习目标核心素养1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系．(重点、易混点) 4．初步掌握集合的两种表示方法－列举法、描述法，感受集合语言的意义与作用．(重点、难点)5．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1．通过概念集合的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合元素互异性的应用，培养逻辑推理素养．1．集合的相关概念(1)集合的概念：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．思考1：(1)某班的所有“高个子”同学能否构成一个集合？(2)某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合？提示：(1)不能构成一个集合，因为“高个子”没有明确的标准．(2)能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)元素与集合的关系元素与集合的关系文字表示属于不属于符号表示∈名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋3.集合的表示方法(1)列举法：一般地，把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内，这种表示集合的方法叫作列举法．(2)描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般的形式为{x |p (x }，其中x 为元素，p (x )为元素满足的条件．思考2：偶数集中的元素有什么共同特征？如何用描述法表示？ 提示：其共同特征是能被2整除，可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 2∈Z 或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n ，n ∈Z . 4．集合的分类集合⎩⎨⎧非空集合⎩⎨⎧有限集：含有有限个元素的集合．无限集：含有无限个元素的集合．空集：不含任何元素的集合，用∅表示． 5．数集的区间表示设a ，b 是两个实数，且a <b ，则 含义名称 区间表示数轴表示{}x |a ≤x ≤b闭区间 []a ，b {}x |a <x <b开区间 ()a ，b {}x |a <x ≤b 左开右闭区间 (]a ，b {}x |a ≤x <b左闭右开区间 [)a ，b R无界区间 ()－∞，＋∞{}x |x ≥a 左闭右无界区间 [)a ，＋∞ {}x |x ≤a右闭左无界区间 (]－∞，a {}x |x >a 左开右无界区间 ()a ，＋∞ {}x |x <a右开左无界区间()－∞，a无限制的增大或减小．1．下列给出的对象中，能构成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．营养丰富的食品D．所有有理数D[“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确定性，故选D.] 2．由英文单词“book”中的所有字母构成的集合中元素的个数是()A．1B．2 C．3D．4C[由集合元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素，故选C.]3．用“∈”或“”填空12________N, －2________Z，2________Q，0________N，π________R.[答案]，∈，，∈，∈3，a＋1，4．已知集合A＝{}(1)求实数a的取值集合；(2)若4∈A，求实数a的值．[解](1)由集合元素的互异性可知，a＋1≠3，解得a≠2，|a a≠2.所以，实数a的取值集合是{}(2)因为4∈A，所以a＋1＝4，解得a＝3，所以，a＝3.集合的基本概念【例1】下列给出的对象中，能构成集合的是()①小于0的所有实数②与0非常接近的实数③中国著名的高等院校④中国双一流的高等院校A．①③B．②④C．①④D．③④[思路点拨]根据所描述的对象是否有确定性来判断．C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]判断所描述的对象能否构成集合的方法判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．[跟进训练]1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)所有素数能组成一个集合． (2)数轴上的一些点能组成一个集合．(3)集合{}x |()x －12()x ＋1＝0，x ∈R 有三个元素．(4)集合{}x ∈R |ax ＝1，a ∈R 有且仅有一个元素． [解](1)正确，素数具有确定性． (2)不正确，“一些点”的标准不明确．(3)不正确，由于“1”是该方程二重根，且集合的元素具有互异性，所以该集合有且仅有两个元素．(4)不正确，当a ＝0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |ax ＝1，a ∈R ＝∅. 集合的表示法【例2】(1)用列举法表示下列集合： ①不大于7的所有非负偶数组成的集合； ②方程2x 2－x －1＝0的所有实数解组成的集合； ③一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点组成的集合． (2)用描述法表示下列集合： ①不等式2x －3>0的解集；②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合； ③被3除余1的所有整数组成的集合．[解](1)①不大于7的所有非负偶数分别是0，2，4，6，所以该集合可用列举法表示为{}0，2，4，6.②方程2x 2－x －1＝0的实数解分别是－12，1，所以该集合可用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6，所以，一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点为()3，6，所以，一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点组成的集合为{}()3，6. (2)①{} |x ∈R 2x －3>0.②{} |()x ，y x <0，且y >0. ③{}|x x ＝3n ＋1，n ∈Z .1．列举法表示集合的一般形式为{}a 1，a 2，…，a n ，其中a i ，i ＝1，2，…，n 为集合的元素．2．描述法表示集合的一般形式为{}x |p ()x ，其中x 为集合的元素，p ()x 为元素满足的条件．提醒：在用列举法表示集合时，不能用{}所有实数或{}R 来表示实数集R . [跟进训练]2．用适当的方法表示下列集合． (1)所有奇数组成的集合；(2)不大于10的所有素数组成的集合； (3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合； (4)满足－1<2x －1≤3的x 的取值集合． [解](1){}|x x ＝2n －1，n ∈Z .(2)不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为{}2，3，5，7.(3){} |()x ，y x ∈R ，且y ∈R .(4)由－1<2x －1≤3，得0<x ≤2，所以该集合可用区间表示为(]0，2. 元素与集合的关系【例3】 已知集合A ＝{}a －2，2a 2＋5a ，3，且－3∈A ，求a 的值． [思路点拨]－3∈A →a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3→分类求出a ――→检验确定a 的值[解]由－3∈A ，得a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3. (1)若a －2＝－3，则a ＝－1，当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝－3，不满足集合元素的互异性， ∴a ＝－1不符合题意．(2)若2a 2＋5a ＝－3，则a ＝－1或－32. 当a ＝－32时，a －2＝－72，符合题意； 当a ＝－1时，由(1)知，不符合题意． 综上可知，实数a 的值为－32.1．求解此类题时．应注意检验集合元素是否满足互异性． 2．判断元素与集合的关系的方法如果集合是用列举法给出的，可直接判断该元素是否在已知集合中出现即可；如果集合是用描述法给出的，则(1)判断该元素是否具有已知集合中元素所具有的特征；(2)将该集合转化为列举法表示，再判断．[跟进训练]3．(1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ，②2Q ，③0N *，④5∈[]2，3. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知A ＝{}2，4，6，且当a ∈A 时，6－a ∈A ，则a 的取值集合是( ) A ．{}2 B ．{}4 C ．{}6 D ．{}2，4(3)设A ＝{}x |x ＝4n ＋1，n ∈Z ，则－7________A ，3________A (1)D (2)D (3)∈[(1)①②③④都正确，故选D.(2)对a 的可能取值逐个检验，a ＝2时，6－a ＝4∈A ；a ＝4时，6－a ＝2∈A ；a ＝6时，6－a ＝0A ，所以a 的取值集合是{}2，4.(3)由4n ＋1＝－7，得n ＝－2，即－7＝4×()－2＋1，所以－7∈A ；由4n ＋1＝3，得n ＝12，由于12Z ，所以3A .]1．判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．2．求解与字母有关的集合问题时，应注意检验集合元素是否满足互异性，要有分类讨论意识．3．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，有限集用列举法，此种方法突出元素本身；无限集用描述法，此种方法强调元素的属性．在选择表示方法时，要根据需要进行选择．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)接近0的数可以组成一个集合．( ) (2){}1，2与{}2，1是同一个集合．( )(3)方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝42x －y ＝3的解集可以表示为{}x ＝2，y ＝1.( )[答案](1)×(2)√(3)×2．已知A ＝{}x ∈R |x <1，则有( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈AD ．－1AC [因为0<1，所以0∈A .] 3．若1[]3a －1，1＋a ，则实数a 的取值范围是________．23<a<1或a<0[因为1[]3a－1，1＋a，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a－1<1＋a3a－1>1或1＋a<1，解得23<a<1或a<0.]4．设集合A＝{}x|x2－3x＋a＝0，若4∈A，试用列举法表示集合A.[解]由4∈A，得42－3×4＋a＝0，解得a＝－4，所以A＝{}x|x2－3x－4＝0＝{}－1，4.。
高一数学关于集合的知识点总结-学习文档
高一数学关于集合的知识点总结一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：①.元素的确定性; ②.元素的互异性; ③.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝4、集合的表示：{ } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作A B 或B A2. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。