晶体中电子能带理论与模型

T1ˆ ）Rn 引 入平移对称算符
T 定ˆR 义n：f(r)f(rR n)将 作用于任Tˆ 意Rn 函数
f (r )
使 平r移 ，R则n 单电子的周期性势场满足 T ˆR n V ( r ) V ( r R n ) V r
性质① TRn,T ˆRm0
证明： TRnTˆRmf(r)TRnf(rRm)
则系统的哈密顿为：
H
NZ i 1
2
2
m
2 i
1 2
i, j
/1 4 0
e2 ri rj
N n 1
2
2M
2 n
1 2
n,m
/
1 4 0
(Ze)2 Rn Rm
NZ N
1
Ze2
i1 n1 4 0 ri Rn
NZ个电子的动能和库仑势 N个离子实的动能和库仑势 电子和离子实之间的库仑势
T e V e e ( r i , r j ) T n V n m ( R n , R m ) V e n ( r i , R n )
6. 推论：Bloch定理也可以表述为对于上述s.方
7. 程的每一个本征解，存在一个波矢 ，使
k
k(r 8R . n ) e ikR n k(r)
对于任意格矢 都成立。
Rn
证明：
k(rRn)eik•(rRn)uk(rRn)
eik•Rneik•ru(r)eik•Rn (r)
k
k
2. 定理证明
3. 周期场近似
V令(r)ve(r) Rn
1Biblioteka Baidu
40
e2 ] r Rn
假设它具有与晶格同样的晶格对称性，即对
R n n 1 a 1 （n 2 平a 2 移 n 矢3 a 量3）而言，有
V(R nr)V(r)
总结：采用3种近似后，晶体中单电子状态描述
H (r) 2m 2 2Vr (r)E (r) V(R nr)V(r)
e iR n R m e iR n e iR m
R上n 式只有当 和 成线性关系才成立，取
则
Rn eik Rn
Rnk Rn
可验证平面波 满e i足k r此式，所以 有波矢k 的含义，当
k
增加倒格矢 K h h 1 b 1 时h ，2 b 2 平 h 面3 b 3 波
③ 证明：T ( R n ) H ˆ ( r ) f( r ) H ( r R n ) f( r R n )
H ( r )fr R n H ˆ ( r ) T R n f( r )
[TRn,H ˆ]0
2）定理证明：
Tˆ设 Rn 和 的共H ˆ同的本征函数
r
H (r)E(r)
( r R n ) T R n ( r ) R n ( r )
R n2 1 R n e iR n
T R n T ˆ R m ( r ) T R n R m ( r ) R n R m ( r )
T R n T ˆ R m ( r ) R m T R n ( r ) R m R n ( r )
R n R m R m R n
则体系的薛定谔方程
H (r,R ) E (r,R )
这是一个NZ+N的多体问题。
1. 绝热近似（多体问题多电子问题）
2. 由于电子质量远小于离子实的质量，电子速 度
3. 远大于离子实的速度，可认为离子实固定在瞬 时的
4. 位置上，只关注电子体系的运动，这种近似为
He绝e热Ee e
5. 近似。此时电子系统的薛定谔方程
二、布洛赫定理 1. 定理描述：对于周期性势场 R2n. 为任意格矢，单电子s. 方程：
H (r) 2m 2 2Vr (r)E(r)
V(R nr)V(r)
3. 的本征函数是按布拉非格子周期性调幅的平
4. 面波，k即(r)eikruk(r)且 ukruk rRn
R n 5. 对 取布拉非格子的所有格矢都成立。
晶体中电子能带理论和模型
5.1 布洛赫定理 5.2 克龙尼克—潘纳模型 5.3 近自由电子近似（弱周期场近似） 5.4 紧束缚近似 5.5 电子在晶体中速度、加速度、有效质量 5.6 导体 半导体和绝缘体
5.1 布洛赫定理
一、能带理论的基本假设（3个近似） 实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系，但晶体性能主
要和外层电子有关，把内层电子和原子核看成一个离子实，那么晶体 就是由离子实和外层电子组成的系统。
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，Z为
单原子的价电子数目，因而，晶体中有NZ个价电子。即：
N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 R n 表示；
r NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。 i
说明： H ˆ(r ) T R n (r ) r R n
H ( r ) T R n ( r ) T R n H ˆ ( r ) ( r ) T R n E ( r ) E r R n
所以 和 r 都r是Rn的属于E的本征函数。
Hˆ
归一化条件：
1 r 2 d r r R n 2 d r R n 2 r 2 d r
H e T e V e e ( r i,r j) V e n ( r i,R n )
2. 单电子近似（平均场近似） （多电子问题单电子问题）
多电子问题中任何一个电子的运动不仅与自己 的位置有关，还与其他电子的位置有关，即所有电 子都是关联的，不能精确求解。
为此，用平均场代替价电子的相互作用，即 假定每个电子的库仑势相等，仅与该电子位置有 关，而与其他电子位置无关。
f(rRmRn)f(rRn Rm)
TRnTˆRmf (r)T Rn Rm f(r)
② [TRn,它Hˆ]们有0共同本征函数
H(r)H ˆ(rRn)
2 r x22
2 y2
2 z2
2 rRn
(x n 21a1)2(y n 22a2)2(z n 23a3)2
2
2
H ˆ( r R n ) 2 m 2 r R n V ( r R n ) 2 m 2 r V ( r ) H ˆ( r )
1NZ
1 e2
NZ
Vee(ri,rj)2i1ji 4
0 rirj
ve(ri)
i1
此时体系的哈密顿
N 2
H ˆei12mi2ve(ri)Rn
1
40
e2
riRn
H取ˆ e Z=1，这样总的 为N个单电子H之和，多电
子问题单电子问题，每个电子
2
H ˆi 2mi2ve(ri)Rn
1
40
e2 ri Rn