平面2自由度并联机器人的动力学设计_刘善增

(2b)
∑4
E= i=1
1 2
(miv2si
+Jiθ·i2 )
=
xs3 =ls3 cos(θ3 +α3 )+l4 cosθ4 +l5 ys3 =ls3 sin(θ3 +α3 )+l4 sinθ4
(2c)
xs4 =ls4 cos(θ4 +α4 )+l5 ys4 =ls4 sin(θ4 +α4 )
(2d)
第 2期
刘善增 :平面 2自由度并联机器人的动力学设计
231
·xs3
=-l1 ls3
sin(θ3 +α3 )sin(θ1 l3 sin(θ3 -θ2 )
-θ2 )·θ1
-
l4
sinθ4源自文库
+ls3
sin(θ3 +α3 )sin(θ2 l3 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )·θ4
·ys3
=
l1 ls3 cos(θ3 +α3 )sin(θ1 l3 sin(θ3 -θ2 )
d dt
E
·
θ4
=J14·θ ·1 +
Jθ114 θ ·21 +
J44 θ1
+
J14 θ4
θ ·1 θ ·4 +
Jθ444 ·θ24 +J44·θ ·4
(1 0)
将式 (8)～式 (10)代入 Lagrangian方程
d dt
E θ · i
-
E θi
+
U θi
=Fi
化简, 得
J11·θ· 1
文献 [ 1] 中利用平衡自适应的方法对平面二自 由度串联机械手进行了静平衡和完全解耦 , 但系统 结构复杂 。 文献 [ 2]中采用动态质量等价分布和平
收稿日期 :2006-06-13 基金 项目 :国 家自然科 学基金项 目 (50575002), 北京 市自然科 学基
金项 目 (3062004), 北 京 市 教 委 科 技 发 展 计 划 项 目 (KM200610005003)和北京 工业 大学 研究生 科技 基金 项 目 (ykj-2007-1069)资助 作者简介 :刘善 增 (1977 -), 博士 研究 生, 研 究方 向为 并联 机器 人 等 , liushanzeng@163.com
+·y2si)+Ji·θ2i]
U =m1 gls1 sin(θ1 +α1 )+
m2 g[ l1 sinθ1 +ls2 sin(θ2 +α2 )] +
m3 g[ ls3 sin(θ3 +α3 )+l4 sinθ4 ] +
m4 gls4 sin(θ4 +α4 )
把式 5(a)～式 5(d)代入式 (6), 化简得
E θi
=
1 2
Jθ1i1 θ ·21 +
Jθ1i4 ·θ1 ·θ4
+
1 2
Jθ4i4 ·θ24 , i=1, 4 (8)
E ·θi
=J1i·θ1
+Ji4
θ ·4 ,
i=1,
4
(9)
d dt
E ·θ1
=J11·θ ·1 +
Jθ111 θ ·21 +
J14 θ1
+
J11 θ4
θ ·1 θ ·4 +
Jθ144 ·θ24 +J14·θ ·4
平面 2自由度并联机器人的动力学设计
刘善增
刘善增
(北京工业大学 机电学院 , 北京 100022)
摘 要 :通过对平面二自由度并联机器人动力学的研究和系统存在耦合原因的分析 , 得出了机构设 计的五点措施 。 采用这些措施对提高平面二自由度并联机构系统的动态特性 、易控性 , 以及增强系 统运行的稳定性和精度等都具有重要的作用 。 最后 , 通过两个算例验证了这些措施的可行性和效 果 , 经过参数调整后的系统大大降低了驱动力矩和能耗 。 关 键 词 :并联机器人 ;机构设计 ;动力学分析 中图分类号 :TH112 文献标识码 :A 文章编号 :1003-8728(2008)02-0230-04
(6)
E
=
1 2
J11 θ· 21
+J14
θ·1 ·θ4
+
1 2
J44 θ· 24
(7)
其中
J11 =J1 +m1 l2s1 +m2 l21 +(J2 +m2 l2s2 )×
ll2122 ssiinn22 ((θθ13 --θθ32 ))+(J3 +m3 ls2 3 )ll2123 ssiinn22 ((θθ13 --θθ22 ))+
-θ2 )θ·1
+
图 1 平面 2自由度并联机器人示意图
l1 +l2 = l5 +l4 +l3 向 x, y方向投影 , 得
l4
cosθ4
+ls3
cos(θ3 +α3 )sin(θ2 l3 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )
θ·4
(5c)
·xs4 =-ls4 sin(θ4 +α4 )·θ4 ·ys4 =ls4 cos(θ4 +α4 )·θ4
m3
l1 l4 ls3
cos(θ4
-θ3 -α3 )sin(θ1 l3 sin(θ3 -θ2 )
-θ2 )+
(J3 +m3 ls23 )l1 l4 sin(l23θ1sin-2 θ(2θ)3 si-n(θ2θ)2 -θ4 )
23 2
机械科学与技术
第 27卷
由式 (7)分别对 θ1 , θ4 和 ·θ1 , θ · 4 求导 , 得
θ2 θ4
=l l42 s si in n( (θ θ33
-θ4 ) -θ2 )
θ3 θ4
=l l43 s si in n( (θ θ23
-θ4 ) -θ2 )
(4)
把式 2(a)～ 式 2(d)分别对时间 t求导 , 并利用式
(3), 式 (4)进行化简 , 得
∑4
i=1
1 2
[
mi(·x2si
随着机构学发展和研究领域的拓宽及机械产品 创新的需求 , 平面多自由度机构已广泛应用于并联机 器人 、串联机械手等领域 , 以实现高速 、高精度 、高稳 定性的运动输出或完成更复杂的运动规律 。近年来 , 对平面并联机构的研究日益受到国内外学者的重视 。
然而 , 由于并联机构存在运动学和动力学的强 耦合性 , 使得这类机构系统的控制较为困难 , 运行精 度低 。 解耦合在动力学中的研究是个难题 。因此 , 如果能采取有效的结构设计措施 , 使得机构的动态 方程得到简化 。 那么 , 对改善系统的动态特性 , 提高 系统的运动精度和实际控制都是非常有利的 。
DynamicDesignofa2-DOFPlanarParallelRobot
LiuShanzeng
(BeijingUniversityofTechnology, Beijing100022)
Abstract:Thepaperpresentsfivemeasuresforthemechanismdesignofa2-DOFplanarparallelrobotonthebasis ofitsdynamicanalysisandtheanalysisofcausesforfailure.Themeasuresareusefulforimprovingthedynamic properties, controllability, stabilityandaccuracyoftheparallelrobot.Thepapergivestwonumericalexamplesto verifythefeasibilityandeffectsofthemeasures.Theadjustmentoftheparallelrobot′sparametersgreatlyreduces itsactuatortorquesandenergyconsumption. Keywords:parallelrobot;mechanism design;dynamicsanalysis
(5d)
l1 sinθ1 +l2 sinθ2 =l3 sinθ3 +l4 sinθ4
(1)
l1 cosθ1 +l2 cosθ2 =l3 cosθ3 +l4 cosθ4 +l5
同理 , 各杆件质心在 oxy中的坐标分别为
xs1 =ls1 cos(θ1 +α1 ) ys1 =ls1 sin(θ1 +α1 )
设 θ2 =θ2 (θ1 , θ4 ), θ3 =θ3 (θ1 , θ4 ), 则由式 (1)对 θ1 、
θ4 求导 , 并求解 , 得
θ2 θ1
=l l12 s si in n( (θ θ13
-θ3 ) -θ2 )
θ3 θ1
=l l13 s si in n( (θ θ13
-θ2 ) -θ2 )
(3)
(2a)
2 机构的动力学分析 设构件 i(i=1, 2, 3, 4)的质心速度为 vsi, 绕质心
Si的转动惯量为 Ji。取 o点处为重力的零势能面位 置 。 如果不计构件弹性和摩擦 , 则整个机构的总动 能和势能 U分别为
xs2 =l1 cosθ1 +ls2 cos(θ2 +α2 ) ys2 =l1 sinθ1 +ls2 sin(θ2 +α2 )
2m2
l21 ls2
cos(θ1
-θ2 -α2 )sin(θ1 l2 sin(θ3 -θ2 )
-θ3 )
J44 =J4 +m4 l2s4 +m3 l24 +(J2 +m2 l2s2 )×
·xs1 =-ls1 sin(θ1 +α1 )θ ·1 ·ys1 =ls1 cos(θ1 +α1 )·θ1
(5a)
衡的方法对平面二自由串联机械手进行了研究 , 消 除了重力项 的影响 , 使得 系统 的驱 动力 矩降低 了 70%和能耗减少了 40%。文献 [ 3]中对二自由度五 杆机构进行了动力学分析 , 并在分析的基础上得出 了一种平行四边形的四杆机构 (第五杆杆长为 0), 从而实现了五杆机构的完全解耦 。但本质上这种完 全解耦的五杆机构已不是真正意义的五杆机构 。
本文对平面二自由度并联机构的动力学进行了 深入研究 , 分析了系统动态方程中的耦合项 , 为了达 到改善系统动态性能和降低能耗的目的 , 提出了机 构设计的 5点措施 。
1 机构的运动学分析 平面二自由度并联机构 ABCDE的示意图 , 如图
1。图 1中 AE为机架 ;各杆杆长为 li(i=1 ～ 5);各 杆件的质心 Si(i=1 ～ 4)位置分别为 (lsi, αi)(i=1 ～ 4), αi为各杆质心与其自身杆件所成夹角 , 相应 的各杆质量为 mi(i=1 ～ 4)。 假定杆 AB和 DE为主 动构件 , 即杆 AB和 DE与驱动器相连 。以 A为原点 o, 建立直角坐标系 oxy, 如图 1中所示 。 则并联机构 ABCDE的向量环方程
2m3
l24 ls3
cos(θ4
-θ3 -α3 )sin(θ2 l3 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )
J14
=m2
l1 l4 ls2 cos(θ1
-θ2 -α2 )sin(θ3 l2 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )+
(J2 +m2 ls22 )l1 l4 sin(l22θ1sin-2 θ(3θ)3 si-n(θ2θ)3 -θ4 )+
+J14·θ ·4
+1 2
J14·θ· 1
+J44·θ ·4
+1 2
Jθ111 θ ·21 +
Jθ144 ·θ24 +
U θ1
=
F1
(1
1)
Jθ444 θ ·24 +
Jθ114 ·θ21 +
U θ4
=F2
式中 :F1 和 F2 分别为相应于 θ1 和 θ4 的系统广义
力 ;J11 , J14 , J44不妨称为等效转动惯量 , J11与主动件
DOI :10 .13433 /j .cnk i .1003 -8728 .2008 .02 .029 2008年 2月
机械科学与技术
第 27卷 第 2期
MechanicalScienceandTechnologyforAerospaceEngineering
February 2008 Vol.27 No.2
1(坐标 θ1 )相关 , J44与另一个主动件 4(坐标 θ4 )相
关 , J14则 为同时 与两个 主动件 有关的 耦合 项 。 显
-θ3 )θ ·1
+
ls2 l4 cos(θ2 +α2 )sin(θ3 l2 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )·θ4
(5b)
ll2422 ssiinn22 ((θθ33 --θθ42 ))+(J3 +m3 ls2 3 )ll2423 ssiinn22 ((θθ23 --θθ42 ))+
·xs2 =-l1 sinθ1 +ls2 sin(θl22 si+n(αθ23)s-inθ(2 θ)1 -θ3 )·θ1 -
ls2 l4 sin(θ2 +α2 )sin(θ3 l2 sin(θ3 -θ2 )
-θ4 )θ ·4
·ys2
=l1
cosθ1
+ls2
cos(θ2 +α2 )sin(θ1 l2 sin(θ3 -θ2 )