简单曲线的极坐标方程.ppt

练习1求过点 练习 求过点A (a,π/2)(a>0)，且平行于 求过点 ， 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系， 为直线L上除点 设点 M ( ρ ,θ ) 为直线 上除点 A外的任意一点，连接OM 外的任意一点，连接 外的任意一点 在 Rt ∆MOA 中有 IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ρ sin θ ＝a ∠ 可以验证，点A的坐标也满足上式。 可以验证， 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？ 你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 π ρ＝10(cos θ ⋅ − sin θ ⋅ ) = 10 cos(θ + ) 2 2 6 所以圆心为(5, − ), 半径为5 6
π
圆心为( a, β )( a > 0)半径为a 圆的极坐标方程为ρ＝2a cos(θ − β ) 此圆过极点O
ρ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是ρ＝5 3 cos θ − 5sin θ 求圆心坐标和半径。
解：ρ＝5 3 cos θ − 5sin θ 两边同乘以ρ 得
ρ ＝5 3ρ cos θ－5 ρ sin θ即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x + y = 5 3x − 5 y 即( x − ) + ( y + ) = 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , − ), 半径是5 2 2
(４)中心在Ｃ(ρ0,θ０)，半径为 。 ４ 中心在 中心在Ｃ ，半径为r。 2+ ρ 2 -2 ρ ρ cos( θ- θ )= r2 ρ 0 0 ０
为圆周上任意一点,如下图所示 解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点 如下图所示 在 设 为圆周上任意一点 如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ. 中 根据余弦定理,得 根据余弦定理 得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0. 也就是 这就是圆在极坐标系中的一般方程. 这就是圆在极坐标系中的一般方程 π
o
﹚θ A
ρ ﹚θ
3、过某个定点平行于极轴 、 o x ρ sin θ ＝a 4、过某个定点 ( ρ1 , θ1 ) ，且与极轴成的角度 且与极轴成的角度a 、 M ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) ρ
θ=
π
4
( ρ ∈ R)
或
5 θ = π ( ρ ∈ R) 4
例2、求过点 、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 ， 的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 的极坐标方程。（学生们先自己尝试做 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 如图，建立极坐标系， M 为直线L上除点 外的任意一点， 上除点A外的任意一点 为直线 上除点 外的任意一点， 连接OM 在 Rt ∆MOA 中有 连接
复习
1、极坐标系的四要素 、 极点；极轴；长度单位； 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ρ > 0,θ ∈[0,2π ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ρ = x + y , tanθ = ( x ≠ 0) x
x = ρ cosθ , y = ρ sinθ
π
解：ρ＝cos θ cos
2
π
4
+ sin θ sin
π
4
2 2 ρ = ρ cos θ + ρ sin θ即 2 2 2 2 2 2 x +y − x− y=0 2 2 2 2 2 2 1 (x − ) + (y − ) = 4 4 4
4、圆ρ＝10 cos( − θ )的圆心坐标是 （ C ） 3 π π 2π C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 ,− ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 π 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 π 解：ρ＝4 cos(θ − ) = 4sin θ
7、从极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON， 求ON的中点的轨迹方程。
M
N
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r = OC = 4,
O
C(4,0)
连结CM ， M 是弦ON的中点 Q ∴ CM ⊥ ON , 所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4 cos θ
直线的极坐标方程： 四 直线的极坐标方程：
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样 适当的极坐标系） ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ρ，θ)为要求方程的曲线上任意一点） )为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） 列等式（ ④将等式坐标化 ⑤化简 即为曲线的方程） （此方程f(ρ,θ)=0即为曲线的方程） 此方程 即为曲线的方程
A o
ρ ﹚θ
M x
课堂练习2 设点A的极坐标为 课堂练习 设点 的极坐标为 ( a , 0)，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为α ,求直线l 的极坐标方程。 且与极轴所成的角为 求直线 的极坐标方程。 如图，建立极坐标系， 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( ρ , θ ) 上异于A点的任意一点 连接OM， 点的任意一点， 为直线 l上异于 点的任意一点，连接 ， 在 ∆MOA中，由正弦定理 得 M
π
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来， 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？ 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
ρ≥0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以 为了弥补这个不足， 取全体实数。 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为
2 2 化为直角坐标系为ρ ＝4 ρ sin θ
2 2 2 2
π
即x + y = 4 y x + ( y − 2) = 4
6、已知圆C1 : ρ = 2 cos θ ,圆C2 : ρ 2 − 2 3ρ sin θ + 2 = 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : ( x − 1) 2 + y 2 = 1,圆心O1 (1,0)半径为1 C2 : x 2 + ( y − 3 ) 2 = 1，圆心O2 (0, 3 )半径为1 O1O2 = 2所以两圆相外切。
a ρ o = sin(π − α ) sin(α − θ )
ρ θ ﹚ ﹚α
A
即
x
化简得
ρ sin(α − θ ) = a sin α
显然A点也满足上方程 显然 点也满足上方程
过点P且 例3：设点 的极坐标为( ρ1 ,θ1 )，直线 l 过点 且 ：设点P的极坐标为 α 求直线 的极坐标方程。 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 如图， 为直线上除点P外 解：如图，设点 M ( ρ , θ )为直线上除点 外 的任意一点，连接OM，则 OM = ρ , ∠xOM = θ 的任意一点，连接 ， 由点P的极坐标知 由点 的极坐标知 O P = ρ 1 ∠ x O P = θ 1 设直线L与极轴交于点 与极轴交于点A。 设直线 与极轴交于点 。则在∆MOP 中 ∠OMP = α − θ , ∠OPM = π − (α − θ1 ) M ρ 由正弦定理得 OM = OP ρ1 P sin ∠OPM sin ∠OMP ρ1 ρ = α 即 ﹚θ1 ﹚ sin[π − (α − θ1 )] sin(α − θ ) o x A ρ sin(α − θ ) = ρ1 sin(α − θ1 ) 显然点P的坐标也是上式的解 的坐标也是上式的解。 显然点 的坐标也是上式的解。
变式1: 在极坐标平面上, 求圆心A(8, ), 半径为5的圆的方程. 3
练习2
1.以极坐标系中的点 以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 为圆心， 为 以极坐标系中的点 为圆心 半径的圆的方程是( ) 半径的圆的方程是
π π A.ρ = 2 cos θ − B .ρ = 2 sin θ − 4 4 C .ρ = 2 cos(θ − 1) D.ρ = 2 sin(θ − 1)
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件？
M (ρ,θ) A
O
C(a,0)
x
解：圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A，那么 OA＝2a, 设M ( ρ , θ )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么OM ⊥ AM。在Rt∆AMO 中 OM = OA cos ∠MOA即ρ＝2a cos θ ...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
练习1 练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为 ； 中心在极点， １ 中心在极点 半径为2；
ρ ＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为 ； ２ 中心在 中心在Ｃ ，半径为a；
ρ＝2acos θ (３)中心在 π/2)，半径为 ； 中心在(a, ３ 中心在 ，半径为a； ρ＝2asin θ
思考： 思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与 轴垂直的直线方程为 x=3 且与x轴垂直的直线方程为 过点 且与 且与y轴垂直的直线方程为 过点(2,3)且与 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
例1： ： ⑴求过极点，倾斜角为 求过极点，
π
4
的射线的极坐标方程。 的射线的极坐标方程。 M
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( ρ ,θ ) 满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
π
曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(ρ,θ)=0有如下关系 （１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(ρ,θ)=0 ； （２）以方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(ρ,θ)=0 。
π
o
﹚
4
x
θ =
π
4
(ρ ≥ 0)
5π 的射线的极坐标方程。 （2）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 ）求过极点， 4
5 θ = π ( ρ ≥ 0) 4 π 的直线的极坐标方程。 （3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 ）求过极点， 4 5 ( ρ ≥ 0 ) 和 θ = π ( ρ ≥ 0) θ = 4 4
ρ
OM cos ∠MOA = OA
即
﹚θ o A x
ρ cos θ = a
可以验证， 的坐标也满足上式。 可以验证，点A的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 、据题意画出草图； 2、设点 M ( ρ , θ ) 是直线上任意一点； 是直线上任意一点； 、 3、连接MO； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 ρ ,θ 的方 、 程， 并化简； 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。 、检验并确认所得的方程即为所求。
练习3 练习 求过点P(4,π/3)且与极轴夹角为π/6的直线 l 的 求过点 且与极轴夹角为 的直线 方程。 方程。
ρ sin(θ − ) = 2
6
π
直线的几种极坐标方程 1、过极ห้องสมุดไป่ตู้ 、
l
θ = θ 0( ρ ∈ R )
﹚θ o
ρ
M A x M
2、过某个定点垂直于极轴 、
ρ cos θ = a
2、曲线的极坐标方程ρ＝4 sin θ化为直角坐标 方程是什么？
x + ( y − 2) = 4
2 2
3、极坐标方程ρ = cos( − θ )所表示的 4 曲线是 （ D ）
A、双曲线 、 C、抛物线 、 B、椭圆 、 D、圆 、
π
解：该方程可以化为ρ＝cos(θ − ) 4 1 π 1 以( , )为圆心， 为半径的圆。 2 4 2
的半径为r， 例1、已知圆 的半径为 ，建立怎样的极坐 、已知圆O的半径为 标系，可以使圆的极坐标方程简单？ 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
ρ
O
θ
r x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r. 设M ( ρ , θ )为圆上任意一点，则 OM = r , 即