25、指数方程和对数方程的解法(一)

第三章幂函数、指数函数和对数函数

【教材解读】

幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化.

指数函数是中学教材中的一个基本内容，是最重要的初等函数之一；它在反函数概念及对数函数概念的引入和学习中起关键作用；对培养学生的数学能力、特别是形成正确的数学观念有非常积极的作用.

为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，引入了对数。对数这一内容本身就是学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要.一方面，对数的运算要为后面学习对数函数以及对数方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别.这一部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫.当然在这个内容中运算法则的熟练运用尤为重要。

为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式.

“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.

“对数函数的图像与性质”是继学生学习了指数函数的图像与性质、对数概念及其运算、反函数的概念等知识之后的一节重要内容，是基本初等函数研究的继续，是数形结合的典型课例；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础，是解决一些物理、化学、经济学等实际问题的重要工具，更是高考的热点之一．在本节课的学习中，涉及到数形结合、类比归纳、分类讨论等数学思想，对培养学生的辨证思维能力，培养学生的创新意识有很大的帮助．是幂函数、指数函数等基本初等函数研究的继续；它是解指数方程、对数方程及其不等式的基础．在本节课的学习中，涉及到整体代换、数形结合、分类讨论等数学思想，对培养学生的综合思维能力，提高学生的思辩能力有很大的帮助．

指数方程是一种超越方程，以学生目前的知识只能解决一些常规类型的并且是简单的指数方程.因此这部分内容的学习，一是要求学生掌握简单的指数方程的解法，主要有换元法和取对数法，将指数方程转化为代数方程，利用已有的知识来解决问题，还有是利用指数函数的图像与性质来解决问题，二是要使学生感悟其中的等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，使学生学会研究问题的方法，学会学习.

在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对数函数性质的应用安排了对数方程.由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法.教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的允许值范围.

【知识结构】

第26课时．指数方程和对数方程的解法（一）

【教学目标】

1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学

知识解决简单的实际问题。

2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法，

从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.

3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法.

【教学重点】

指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法.

【教学难点】

感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.

【知识整理】

1．简单的指对数方程

指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。

2．常见的四种指数方程的一般解法 （1） 方程()

(0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （2） 方程()

()(0,1,)f x g x a

a a a =>≠的解法： )x (g )x (f =

（3） 方程()

()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ⋅=⋅

（4）方程20(0,1)x

x a

ba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围，

将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法

（1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式b

a )x (f =再求解，注意需验根．

（2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得

()()f x g x =，解出x 后，要满足()0

()0f x g x >⎧⎨

>⎩

. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2

a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =，

将原方程化简为Ay 2

+By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。

【例题解析】

【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算

【题目】

解方程：9x -4·3x +3=0.

【解答】

解：由(3x )2-4(3x )+3=0⇒ (3x -1)(3x -3)=0⇒3x =1或3⇒x =0或1.

【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算

【题目】

方程log 2［log 3(log 5x )］=0的根是 ( ) A.1 B.9 C.25 D.125

【解答】

答案：D ．解： log 3(log 5x )=1⇒log 5x =3.故选D ．

【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑思维

【题目】

已知关于x 的方程：2log 2

a x -7·log a x +3=0有一个根是2，求a 值及另一个根