基本不等式均值不等式 人教版必修

3.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
4
2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x
1 y
的最小值．
32 2
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。
例3．求函数 f (x) 2x2 x 3 (x 0) 的最大
x
值，及此时x的值。
解： f (x) 1 (2x 3) ，因为x>0，
x
所以 2x 3 ≥ 2 2x 3 2 6
x
x
得 (2x 3)≤ -2 6
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
a
b 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作
在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个 常数，求长与宽的乘积的最大值。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，
y(m)，依题意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以，x
2
y
≥
xy
因此，即2(x+y)≥40。
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b ab
2
当且仅当a=b时 a b ab
2
称 a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
推导并掌握两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数这个重要定理； 利用均值定理求极值。了解均值不等式 在证明不等式中的简单应用。
教学重点：
推导并掌握两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数这个重要定理；利 用均值定理求极值。了解均值不等式在 证明不等式中的简单应用。
2
当a=b时，OC=CD，即
C
a b ab 2
a+wk.baidu.com 2 ab
A
aO D b B
例1．已知ab>0，求证： b a ≥ 2 ，并 ab
推导出式中等号成立的条件。
证明：因为ab>0，所以 b 0, a 0 ，
ab
根据均值不等式得
b a≥2 ba 2
ab
ab
即 b a≥2
ab
当且仅当 b a 时，即a2=b2时式中等号
图的方法，作出长度为 a b
2
和
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则 OC a b
2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 a b ab
成立， a b
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成
立的条件是a=b.
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？
分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是 一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以，xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81,
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时， 它的面积最大，最大值是81m2。
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8