中学数学教学中的反证法

中学数学教学中的反证法

摘要：反证法是在中学数学中常用到的一种非常重要的证明方法.文章介绍了反证法的基本概念、步骤、典型例题和使用条件. 关键词：中学数学教学反证法使用条件

在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法——淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.

一、反证法的基本概念

1.反证法的定义

法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.

2.反证法的基本思想

反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：

“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无

误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.

3.反证法的逻辑依据

通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“a或者非a”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

二、反证法的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设.假设原命题的结论不成立；

2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确. 即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.

三、反证法的种类

1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达

到证题目的.

2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.

四、反证法的典型例题

例1：已知：ab，cd是圆内非直径的俩弦（如图），求证：ab与cd不能互相平分.

证明：假设ab与cd互相平分与点m，则由已知条件ab，cd均非圆o直径，可以判定m不是圆心o，联结oa，ob，om.

因为oa=ob，m是ab中点，所以om⊥ab（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：om⊥cd，从而过点m有两条直线ab，cd都垂直于om.这与已知的定理相矛盾.故ab与cd不能互相平分.

五、反证法的使用条件

任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.

虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.

例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.

分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定

原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b ≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明. 因此，对于下列命题，较适用反证法解决.

（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.

例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln （b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方

法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.

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