十年全国卷数列求和集锦文科

2016年全国（新课标Ⅲ）（理科）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5=，求λ．

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）（理科）15.（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．

2015年全国（新课标Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．

2015年全国（理科）（新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3。设b n=，求数列{b n}的前n项和．

2014年全国（理科）（新课标Ⅱ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．

证明：++…+＜．

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）

18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

16．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）3. 数列{a n}的前n项和为S n，已知

S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）

A．B．C．D．

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

14．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn=an+，则数列{an}的通项公式是an=．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）

17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）

5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100

项和为（）

A． B． C． D．

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标版）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣an=3?22n﹣1

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

2009年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若

a5=5a3，则=．

19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．

20．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；

（2）求数列{a n}的通项公式．

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=

当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na

文科数学2010-2018高考真题分类专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ；（2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ；（3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ；（4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是

-数列全国卷高考真题教师版

20１5-2017年全国卷数列真题 1、（２0１5全国1卷17题）n S 为数列{n a ｝的前n 项和.已知n a ＞0,2 n n a a +＝43n S +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ）设1 1 n n n b a a += 错误!未定义书签。，求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ)21n +(Ⅱ)11 646 n - + 【解析】试题分析:（Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a ｝的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ）数列{n b ｝的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和．试题解析:（Ⅰ)当1n =时，2 11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a ＝3, 当 2 n ≥时, 2211 n n n n a a a a --+--＝ 14343 n n S S -+--= 4n a ，即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --＝2，所以数列{n a }是首项为3,公差为２的等差数列，所以n a ＝21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++，所以数列｛n b }前n 项和为12n b b b +++＝1111111 [()()( )]23557 2123 n n -+-+ +-++ = 11 646 n - +. 2、(2０15全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足ａ1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ） A ．21 Ｂ.4２ C ．63 D ．84 【解析】设等比数列公比为q ,则24 11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42 60q q +-=，解得2 2q =,所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B. 考点：等比数列通项公式和性质．

2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.4数列求和

2013高考数学一轮强化训练 5.4数列求和文新人教A 版 1.在等差数列{n a }中,已知32a =,则其前5项和为 . 答案:10 解析:55()5215352210222 a a a S +???====. 2.若数列{n a }的前n 项和225n S n n =++,则567a a a ++= . 答案:39 解析:5677439a a a S S ++=-=. 3.已知等差数列的通项公式52n a n =-+,则其前n 项和n S = . 答案:25122 n n -- 解析:∵52n a n =-+,∴13a =-. 即2(352)51222 n n n S n n --+==--. 题组一数列求和 1.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若81126a a =+,则9S 等于( ) A.54 B.45 C.36 D.27 答案:A 解析:∵81126a a =+, ∴112(7)610a d a d +=++. ∴146a d +=. ∴5959()1969542 a a a S a +=,===. 2.一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数 n 为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 答案:C 解析:1257510()n a a +=+,∴110n a a +=. 又10902 n ?=,∴n=18.

3.在等差数列{n a }中12a ,=- 008,其前n 项的和为n S .若20072005220072005S S -=,则2008S 等于( ) A.-2 007 B.-2 008 C .2 007 D.2 008 答案:B 解析:∵2007()2005()1200712005 200720052222007200520072005a a a a S S d ++-=-==. ∴20082S = 008(2?- 20082007008)2?+? 2= -2 008. 4.设47()222f n =+++…312(n n ++∈N )*,则f(n)等于( ) A.2(81)7n - B.1 2(81)7n +- C.2 2(81)7n +- D.3 2(81)7n +- 答案:B 解析:1 3(1)2[12]2()(81)3712n n f n ++-==--. 5.数列{(1)n n -?}的前2 010项的和2010S 为 ( ) A.-2 010 B.-1 005 C.2 010 D.1 005 答案:D 解析:2010123S =-+-+4-5+…+2 008- 2 009+ 2 010=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+ (2 010- 2 009) = 1 005. 6.数列{n a }的前n 项和为n S ,若 1a =1,13(1)n n a S n +=≥,则6a 等于( ) A.434? B.4341?+ C.54 D.541+ 答案:A 解析:由13n n a S +=,得13(2)n n a S n -=≥,相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=, 则14(2)n n a a n +=≥,即2n ≥时n a ,为等比数列. 又1213a a =,=,则4462434a a =?=?,选A. 7.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于 .

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式错位相减法求与反序相加法求与分组相加法求与裂项消去法求与分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、一、利用常用求与公式求与利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、［例1］已知,求得前n项与。解:由由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积设………………………。②(设制错位)

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］求数列前n 项得与、解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］求得值解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、练习、求值:

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：

二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案：练习题2的前n 项和为____ 答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

近几年全国卷高考文科数列高考习题汇总

欢迎共阅数列高考题近几年全国高考文科数学数列部分考题统计及所占分值二．填空题 7.[2015.全国I 卷.T13]在数列{}n a 中，1n 1n 2,2a a a +==,n S 为{}n a 的前n 项和。若-n S =126，则n =. 8.[2014.全国II 卷.T14]数列{}n a 满足121 ,21n n a a a += =-，则1a = 9.[2013.北京卷.T11]若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =；前n 项和n S =。

10.[2012.全国卷.T14]等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S 3S 0+=，则公比q = 11.[2012.北京卷.T10]已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若2 1 1= a ，23S a =，则2a =，n S =_______。 12.[2011.北京卷.T12]在等比数列{}n a 中，若141 ,4,2 a a ==则公比q =；12n a a a ++?+=. 13.[2009.北京卷.T10]若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a =；前8项的和8S =.（用数字作答）三．解答题 14.[2016.全国II 卷.T17](本小题满分12分) 等差数列{}n a 其中[]x 表示不超过x 15.[2016.全国（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 15.[2016.北京卷已知{}n a （Ⅰ）求{}n a （Ⅱ）设n n c a =16.[2015.北京卷（Ⅰ）求{a （Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 17.[2014.全国I 卷.T17]（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求数列2n n a ?? ???? 的前n 项和.

高考文科数学练习题数列求和与综合应用

专题限时集训(四) 数列求和与综合应用 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 D [因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以{a n }是首项和公比均为2的等比数列，所以S n ＝2 1－2 n 1－2 ＝126，解得n ＝ 6.] 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 C [由S 6＞S 7＞S 5，得S 7＝S 6＋a 7＜S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5，所以a 7＜0，a 6＋a 7＞0，所以 S 13＝ 13a 1＋a 13 2 ＝13a 7＜0，S 12＝ 12 a 1＋a 12 2 ＝6(a 6＋a 7)＞0，所以S 12S 13＜0，即满足S n S n ＋ 1 ＜0的正整数n 的值为12，故选C.] 3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列???? ?? 1a n 的前5 项和为( ) A.15 8或5 B.31 16或5 C. 3116 D.158 C [依题意知{a n }的公比q ≠1，否则9S 3＝27a 1≠S 6＝6a 1,9S 3＝S 6?9×1· 1－q 3 1－q ＝ 1·1－q 6 1－q ?q 3 ＝8?q ＝2，∴数列??????1a n 是首项为1a 1＝1，公比为12的等比数列，∴数列???? ??1a n 的前5项和为S 5＝1×????? ?1－? ????1251－12 ＝31 16.] 4．已知函数f (n )＝? ???? n 2 当n 为奇数时，－n 2 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋… ＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 B [由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12 －22 －22 ＋32 ＋32 －42 －42 ＋52 ＋…＋992 －1002 －100 2 ＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3

高中数列求和方法大全

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用；（三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

(完整)高中数列求和方法集锦

数列求和的常用方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式（1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。解：Ⅰ、若q =0，则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

2016-2018年全国卷高考数列题

2016—2018年全国卷数列高考汇编 8.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 错误！未找到引用源。满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为． 6.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 7.【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 错误！未找到引用源。的前n 项和1n n S a λ=+错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。其中0λ≠．（I ）证明{}n a 错误！未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；（II ）若53132 S =错误！未找到引用源。，求λ． 4．【2017高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 15. 【2017高考新课标2理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n k k S ==∑ ． 9．【2017高考新课标3理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 4．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 15．【2018高考新课标1理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若21n n S a =+，则6S = ． 4．【2018高考新课标2文理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若17a =-，315S =-. ⑴求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值. 17．（2018年全国卷3）等比数列{}n a 中，12314a a a ==，． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

2019届人教B版(文科数学) 数列求和单元测试

31 数列求和 1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1 ＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3，所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1 ＝3n －12. 2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1 ＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4 ＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0. ∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋… ＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2 －4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足．

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

高考数列求和解题方法大全

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高考数列求和解题方法大全数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 例1．已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ，由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32=x x x n --1)1(＝211) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+=-+++++= 当时1≠x 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令 )(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。解析： ①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-

(完整版)历年数列高考题及答案

1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ，