数列求和7种方法(方法全_例子多)
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（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列{ 前n项和为 ，问 > 的最小正整数n是多少?
0.【解析】（1） ,
Baidu Nhomakorabea, ,
.
又数列 成等比数列， ，所以 ；
又公比 ，所以 ；
又 , , ；
数列 构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当 ， ；
( )；
（2）
；
由 得 ，满足 的最小正整数为112.
练习题1.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1]已知 ，求 的前n项和.
解：由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝ ＝ ＝1－
[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝ ＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
练习题 的前n项和为____
答案：
三、逆序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
[例5]求证：
证明： 设 …………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
（7）
（8）
[例9]求数列 的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
[例10]在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
（2009年广东文）20.（本小题满分14分）
已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前n项和为 ,数列 的首项为c，且前n项和 满足 － = + （n 2）.
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ……………………….②（设制错位）
[例7]求数列的前n项和： ，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时， ＝ （分组求和）
当 时， ＝
[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]求数列 前n项的和.
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 …………………………………①
………………………………②（设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
练习题1 已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
（4）等比型递推公式
（ 为常数， ）
可转化为等比数列，设
令 ，∴ ，∴ 是首项为 为公比的等比数列
∴ ，∴
（5）倒数法
如： ，求
由已知得： ，∴
∴ 为等差数列， ，公差为 ，∴ ，
∴
∴
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以 .
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
.
练习题2。 =
答案：
求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
［练习］数列 满足 ，求
注意到 ，代入得 ；又 ，∴ 是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列 中， ，求
解 ，∴ 又 ，∴ .
（3）等差型递推公式
由 ，求 ，用迭加法
时， 两边相加得
∴
［练习］数列 中， ，求 （ ）
已知数列 满足 ， ，求 。
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
（2）若数列{ 前n项和为 ，问 > 的最小正整数n是多少?
0.【解析】（1） ,
Baidu Nhomakorabea, ,
.
又数列 成等比数列， ，所以 ；
又公比 ，所以 ；
又 , , ；
数列 构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当 ， ；
( )；
（2）
；
由 得 ，满足 的最小正整数为112.
练习题1.
1、等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、 4、
5、
[例1]已知 ，求 的前n项和.
解：由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝ ＝ ＝1－
[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝ ＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
练习题 的前n项和为____
答案：
三、逆序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 .
[例5]求证：
证明： 设 …………………………..①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
（7）
（8）
[例9]求数列 的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
[例10]在数列{an}中， ，又 ，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝ ＝
（2009年广东文）20.（本小题满分14分）
已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前n项和为 ,数列 的首项为c，且前n项和 满足 － = + （n 2）.
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ……………………….②（设制错位）
[例7]求数列的前n项和： ，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时， ＝ （分组求和）
当 时， ＝
[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴ ＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝ （分组）
＝
＝ （分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]求数列 前n项的和.
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 …………………………………①
………………………………②（设制错位）
①－②得 （错位相减）
∴
练习题1 已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.
答案：
解：由条件知：
分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即
所以
，
（4）等比型递推公式
（ 为常数， ）
可转化为等比数列，设
令 ，∴ ，∴ 是首项为 为公比的等比数列
∴ ，∴
（5）倒数法
如： ，求
由已知得： ，∴
∴ 为等差数列， ，公差为 ，∴ ，
∴
∴
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以 .
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
.
练习题2。 =
答案：
求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
［练习］数列 满足 ，求
注意到 ，代入得 ；又 ，∴ 是等比数列，
时，
（2）叠乘法
如：数列 中， ，求
解 ，∴ 又 ，∴ .
（3）等差型递推公式
由 ，求 ，用迭加法
时， 两边相加得
∴
［练习］数列 中， ，求 （ ）
已知数列 满足 ， ，求 。
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.