高中数列求和方法大全(配练习及答案)

数列的求和

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式?????≠--==)

1(1)1()1(11q q

q a q na S n

n （切记：公比含字母时一定要讨论）

3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；

1111()(2)22

n n n n =-++ )1

21

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=?

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。 7．倒序相加法： 《

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析：

例1．求和：①

个

n n S 111111111++++= ②22222)1

()1()1(n n n x

x x x x x S ++++++

= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。

|

解：①)110(9

110101011112

-=++++==k

k

k k a

个

]

)101010[(9

1

)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=

81

10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++

=n n

n x

x x x x x S n x

x x x x x n n 2)1

11()(242242++++++++=

（1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)

1()

1)(1(21)1(1)1(2

2222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③

k

k k k k k k k k k a k 2

3

252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-=

-+-+++++-=

2

)

1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++?=+++-+++=

+++=n n n n n n n a a a S n n

)25)(1(6

1

-+=

n n n 总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

、

2．错位相减法求和

例2．已知数列)0()12(,,5,3,11

2

≠--a a

n a a n ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列1

2

,,,,-n a a a a 对应项

积，可用错位相减法求和。 解

：

()1)12(5311

2--++++=n n a n a a S

()2)12(5332n

n a n a a a aS -++++=

()()n n n

a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---

当

n

n n n a a a S a a )12()

1()1(21)1(,12

1----+=-≠-时 2

1

)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=

+ 当2

,1n S a n ==时

3.裂项相消法求和

例3.求和)

12)(12()2(5343122

22+-+

+?+?=n n n S n 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

】 解

:

)1

21

121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=k k k k k k k k k k a k

1

2)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121++=

+-+=+--++-+-+=+++=n n n n n n n n a a a S n n 练习:求n n a n a a a S ++++= 32321 答案: ???

????≠----=+=)1()1()1()1()1(2)

1(2a a a a n a a a n n S n n

n 4.倒序相加法求和

例4求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++ 思路分析：由m

n n m n C C -=可用倒序相加法求和。

证：令)1()12(53210n

n

n n n n C n C C C S +++++=

则)2(35)12()12(0

121n

n n n n n n n C C C C n C n S ++++-++=- m

n n m n C C -=

n

n n n n n C n C n C n C n S )22()22()22()22(2:)2()1(210++++++++=+∴ 有 n n n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210?+=+++++=∴ 等式成立

5．其它求和方法 .

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列{}n n

n n S n a a 求],)1([2,---=。

思路分析：n

n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。

解：n

n n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===m

k k

m n m S S m n 21

2)

1(2

)2321(2,2 则

)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n

若

)

12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则

22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m

???---+-=∴)

(2)()

1(2

为正奇数为正偶数n n n n n n S n 预备：已知n n

n a a a a x a x a x a x f ,,,,)(321221且+++=成等差数列，n 为正偶数，

又n f n f =-=)1(,)1(2

，试比较)2

1(f 与3的大小。

*

解：???=+-+-+-=-=++++=-n a a a a a f n a a a a f n n n 13212

321)1()1( ???==+∴??

???==+∴2222)(121d n a a n d n n n

a a n n

1212

2)1(111-=∴=∴???==-++∴n a a d n

d n a a n n

n

n f x n x x x x f )2

1)(12()21(5)21(321)21()12(53)(3232-++++=-++++=

可求得n n n f )2

1)(12()21(3)21(2---=-，∵n 为正偶数，3)2

1

(<∴f

巩固练习

1．求下列数列的前n 项和n S ： （1）5，55，555，5555，…，5(101)9n

-，…； （2）

1111,,,,,132435

(2)

n n ?

??+； （3）n a =；

（4）23,2,3,,,n

a a a na ；

】

（5）13,24,35,

,(2),n n ???+；

（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++．

2．已知数列{}n a 的通项65()

2

()n n n n a n -?=??为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．

解：（1）55555555

5n n S =+++

+个

5

(999999999)9

n =+++

+个

235

[(101)(101)(101)(101)]9

n =-+-+-++-

235505

[10101010](101)9819n n n n =++++-=--． （2）∵

1111

()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111

(1)221

2

n n =

+--++．

%

（3

）∵n a

=

=

=∴1n S n =++

1)(1n =++++1=．

（4）2323n

n S a a a na =++++，

当1a =时，123n S =+++ (1)

2

n n n ++=，

当1a ≠时，23

23n S a a a =+++…n na + ，

23423n aS a a a =+++…1n na ++，

两式相减得 2

3

(1)n a S a a a -=+++ (1)

1(1)1n n n n a a a na

na a

++-+-=--，

∴212

(1)(1)

n n n na n a a

S a ++-++=-． （5）∵2

(2)2n n n n +=+，

`

∴ 原式222(123=+++ (2)

)2(123n ++?+++…)n +(1)(27)

6

n n n ++=．

（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++，

∴ 289S =，892

S =

． 2．已知数列{}n a 的通项65()

2

()n n n n a n -?=??为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．

解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；

当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有1

2

n -项，

∴1

121(165)

4(14)(1)(32)4(21)221423

n n n n n n n S --++--+--=+=+

-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2

n

项，

{

∴2

(165)4(14)(32)4(21)

221423

n n n n n n n S +----=+=+

-，

所以，1(1)(32)4(21)

()

23

(32)4(21)()

23n n n

n n n S n n n -?+--+??=?--?+??

为奇数为偶数．

高中数学经典的解题技巧和方法（等差数列、等比数列）

跟踪训练题

一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分） 1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4=( )

|

(A)12

(B)10

(C)8

(D)6

2.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211

(D)11×210

3.已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) (A)25

(B)50

(C)100

(D)不存在

4.已知{}

n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。若2312a a a ?=， 且4a 与27a 的等差中项为5

4，

则

5

S =( )

A ．35 .33 C 5. 设

{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列

等式中恒成立的是( ) A 、2X Z Y +=

B 、

()()

Y Y X Z Z X -=-

>

C 、2

Y XZ =

D 、

()()

Y Y X X Z X -=-

6.（2010·潍坊模拟）已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9

则下列说法不正确的是

（ ）

A ．S 9

B ．d<0

C ．S 7与S 8均为S n 的最大值

D ．a 8=0 二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）

7.将正偶数划分为数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，则第n 组各数的和是 .（用含n 的式子表示）

8.已知数列{a n }满足:a 4n-3=1,a 4n-1=0,a 2n =a n ,n ∈N *,则a 2 009=_______;a 2 014=_______. 9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=15,S 5=55,则过点P(3,a 3),Q(10,a 10)的直线的斜率为_______.

三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）

10.数列{}n a 的通项()()10111n

n a n n N *??

=+∈ ???试问该数列有没有最大项若有，求出最大项

和最大项的项数；若没有，说明理由

、

11.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.

（1）写出这个命题的逆命题； （2）判断逆命题是否为真并给出证明. 12.已知数列

}{n a 中，前n 项和为

n

S ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），

（1）求2a ，

3

a 的值；

（2）设

n n n a b 2λ

+=

，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。

（3）在（2）的条件下，设数列}

1

{1

+?n n b b 的前n 项和为

n

T ，求证：

51<

n T

参考答案

一、选择题 1. 【解析】选=

=2×(1+3)=8.

…

2. 【解析】选B.∵log 2x n+1-log 2x n =1,∴{x n }为等比数列，其

公比q=2,

又∵x 1+x 2+…+x 10=10,∴x 11+x 12+…+x 20=q 10(x 1+x 2+…+x 10)=210×10.

3. 【解析】选A.∵S 20=×20=100,∴a 1+a 20=10,

∵a 1+a 20=a 7+a 14,∴a 7+a 14=10. ∵a n >0,∴a 7·a 14≤()2=25.

4. 【解析】选 C

由

2311414222

a a a a a a a ?=??=?=，又

475224a a +=?

得 71

4a =

所以，37411428a q a ===，∴ 12q =，41321618a a q ===， 5

5116[1()]231112S -==-

5. 【解析】选 D ，设等比数列

{}n a 的公比为q (0)q ≠，由题意，12n

X a a a =++

+

12122n n n n

Y a a a a a a ++=++

++++

+

1212221223n n n n n n n

Z a a a a a a a a a ++++=++

+++++++++

'

∴Y X q

X -=，Z X

q Y -=，所以()()Y Y X X Z X -=-，故D 正确。

6. 【解析】选A 由题意知d<0，a 8=0，所以10981091090..

a a a S S a S <<=∴=+<

二、填空题

7. 【解析】前1n -组共有偶数的个数为

(1)

123(1).2n n n -++++-=

故第n 组共有n 个

偶数，且第一个偶数是正偶数数列

{}

2n 的第

2(1)(1)

12[1]222n n n n n n --+?+=-+项，即，

所以第n 组各数的和为

23(1)

(2)2.2

n n n n n n n --++

?=+

答案：3

.n n +

8. 【解析】依题意，得a 2 009=a 4×503-3=1,a 2 014=a 2×1 007=a 1 007=a 4×252-1=0. 答案：1 0

9. 【解析】∵a 4=15,S 5=55. ∴55==5a 3,∴a 3=11. ∴公差d=a 4-a 3=15-11=4.

a 10=a 4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) k PQ ==4.答案：4

三、解答题

10. 【解析】方法1：

()()1

110101092111111111n n n

n n n

a a n n ++-??

????-=+-+=?

?

? ???????

?

∴当n ＜9时，110n n n n

a a a a ++->∴>

当9n =时

110n n n n

a a a a ++-=∴=，

当n ＞9时，110n n n n

a a a a ++-<∴≤

， 故

129101112a a a a a a <<<=>>>

，

∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为9

101011??? ?

??，其项数为9或10

()()()()()()1

11

1102

1,

111010129,111110.1010111111,910.

n

n n n n n n n n n a n n N n n a a n a a n n n n N n *++--*??

=+∈ ???

?????+≥+? ? ?

≥≥???????∴?????≥≤???????

+≥- ? ???????

∈∴=方法或

∴数列{}n a 中最大项为9a 或10a .其值为

9

10

10

11??? ?

??，其项数为9或10

11. 【解析】（1）在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列.

（2）设数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知:2a m+2=a m +a m+1， 即 2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m .

·

∵a 1≠0,q ≠0,∴2q 2-q-1=0,

12. 【解析】（1）由2

122++++=n n n n a S S （+

∈N n ）得

2122+++=-n n n n a S S 即

2

122+++=n n n a a （+

∈N n ）

∵51=a

∴

188********=+=+=+a a

52

1636222223=+=+=+a a

（2）由条件

25211λ

λ+=+=

a b

4182

2

22λ

λ+=+=

a b

85223

33λλ+=

+=

a b ∵

}

{n b 为等差数列∴

3

122b b b += 即

852254182λ

λλ+++=+?

解得0=λ

∴

n n n a b 2=

且 251=b ，29

2

=b ∴212=-b b ， 即数列

}

{n b 是公差为2=d ，首项为

25

1=

b 的等差数列

（3）由（2）得

2142)1(25+=?-+=

n n b n （+∈N n ）

∴541

141)54)(14(411

+-

+=++=?+n n n n b b n n ∴

n

T =13221111++++n n b b b b b b =)541141()13191()9151(+-+++-+-n n

=51

54151<+-n

∴ 51<

n T

知识要点梳理

知识点一：通项与前n项和的关系

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.迭加累加法：

，

则，，…，

2.迭乘累乘法：

，

则，，…，

知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.

精析

类型一：迭加法求数列通项公式

1．在数列中，，，求.

解析：∵，

当时，

，

，

，

将上面个式子相加得到：

∴（），

当时，符合上式

故..

举一反三：

【变式1】已知数列，，，求.

【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式.

【答案】.

类型二：迭乘法求数列通项公式

2．设是首项为1的正项数列，且

，求它的通项公式.

解析：由题意

∴

∵，∴，

∴，

∴，又，

∴当时，

，

当时，符合上式∴.

举一反三：

【变式1】在数列中，，，求.

【答案】

【变式2】已知数列中，，，求通项公式. 【答案】由得，∴，

∴，

∴当时，

当时，符合上式

∴

类型三：待定系数法求通项公式

4．已知数列中，，，求.

法一：设，解得

即原式化为

设，则数列为等比数列，且

∴

法二：∵①

②

由①－②得：

设，则数列为等比数列

∴

∴

∴

法三：，，

，……，

，

∴

总结升华：

1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.

2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.

举一反三：

【变式1】已知数列中，，求

【答案】令，则，

∴，即

∴，

∴为等比数列，且首项为，公比，

∴，

故.

【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.

【答案】∵，∴

设，则，即，

∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，

∴，∴.

∴.

类型五：和的递推关系的应用

5．已知数列中，是它的前n项和，并且

, .

(1)设,求证：数列是等比数列；

(2)设，求证：数列是等差数列；

(3)求数列的通项公式及前n项和.

解析：

（1）因为，所以

以上两式等号两边分别相减，得

即，变形得

因为，所以

由此可知，数列是公比为2的等比数列.

由,,

所以, 所以,

所以.

（2），所以

将代入得

由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，

故.

（3），所以

当n≥2时，

∴

由于也适合此公式，

故所求的前n项和公式是.

总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.

举一反三：

【变式1】设数列首项为1，前n项和满足

.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设数列的公比为，作数列，使，

，求的通项公式.

【答案】

（1），

∴

∴，

又

①－②

∴，

∴是一个首项为1公比为的等比数列；