数列求和各种方法总结归纳

如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？
(2)由题意知 bn－an＝3n－1，所以 bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.
Tn＝
Sn＋
(1＋3＋
…＋
3n－
1)＝－
n2＋20
n＋
3n－1 2.
[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表
第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不
在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6
4
14
(1)求数列{an}的通项公式；第三行 9
8
18
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
2Sn＝2a1＋22a2＋ 23a3＋ …＋ 2nan②
①－②得－ Sn＝a1＋2(a2－a1)＋22(a3－a2)＋…＋2n－1(an－an－1)－2nan
＝
1－
(2＋22＋
…＋2n－
1)－2n(2
－n)＝1－
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
＋n·2n
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
，解得???
??
a1＝1， d＝－1.
故数列 {an}的通项公式为 an＝2－n.
(2)设数列{2an－n 1}的前n项和为Sn， 即Sn＝a1＋a22＋…＋2an－n 1，① 故S1＝1，S2n＝a21＋a42＋…＋a2nn，② 所以，当 n＞1时，①－②得
S2n＝a1＋a2－2 a1＋…＋an－2n－a1n－1－a2nn
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等
差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要
分q＝1或q≠1.
(1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝
n?n＋1? 2
(2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
[精析考题 ] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列 {an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
[自主解答] (1)设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件可得
???a1＋d＝0， ??2a1＋12d＝－10
2?1－2n? ① －②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝ 1－2 －n·2n+1
＝2n+1－2－n·2n+1
∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n?n1＋1?，则 Sn=
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋12???11－－1221n???＝n2＋1－21n.
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差 数列，Sn为{an}的前n项和．
所以 S2n＝b1＋b2＋…＋ b2n＝2(1＋3＋…＋ 32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
(1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}
的通项公式及其前n项和Tn
解：(1)因为{an}是首项为 a1＝19，公差为 d＝－2的等差数列，所以 an＝ 19－ 2(n－1)＝－ 2n＋21.
பைடு நூலகம்
Sn＝19
n＋
n?n－ 2
1? ·(－2)＝－
n2＋20n.
＝1－????12＋14＋…＋2n1－1????－2－2nn
＝1－????1－2n1－1????－2－2nn＝2nn.
所以Sn＝
n 2n－1.
综上，数列
{2an－n 1}
的前
n项和
Sn＝
n 2n－1.
在本例条件不变情况下，求数列{2n－1·an}的前n项和Sn.
解： Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an①