2018-2019学年江苏省无锡市滨湖区九年级(上)期末数学试卷解析版

2018-2019学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）方程x2＝x的根是（）
A．x＝0B．x＝1C．x＝0 或x＝1D．x＝0 或x＝﹣1
2．（3分）若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（）
A．a≤0B．a≥0C．a＞0D．a＜0
3．（3分）若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为（）A．d＜6B．d＝6C．d＞6D．d≤6
4．（3分）小洪根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
5．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
6．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为（）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣1
7．（3分）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于（）
A．3B．5C．
D．
8．（3分）若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（）A．65°B．25°C．65°或25°D．65°或30°
9．（3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（）
A．B．
C．
D．
10．（3分）如图，直线y＝x+1与x轴、y
轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，
AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为（）
A．B．C．2
D．
二、填空题（本大题共8个题，每小题3分，共16分，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为．
12．（3分）若，则
＝．
13．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是．
14．（3分）如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速（单位：千米/时）情况，则该时段内来往车辆的平均速度是千米/时．
15．（3分）如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为．
16．（3分）半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为．
17．（3分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝°．
18．（3分）记抛物线C1：y＝（x﹣2）2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1（a＜0）顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为．
三、解答题（本大题共10小题，共84分；请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣4x+1＝0．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（5，6），B（3，6），C（2，7）．
（1）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是；
（2）△ABC外接圆半径是；
（3）请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为2：1．
21．（8分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格填空；
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．22．甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．（请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．）
23．（8分）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．
24．（8分）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD 交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
25．已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，四边形ABCD是矩形；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°．
26．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，w有最大值，最大值是多少？
（2）商场的营销部结合上述情况，提出了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
27．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，动点P从点D出发，沿DA的方向运动到点A，每秒1个单位，同时点Q从点B出发，沿BD的方向运动到点D，每秒5个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为t（秒）．
（1）填空：当t＝时，PQ∥AB；
（2）设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数表达式；
（3）当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求t的值．
28．（10分）如图，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于C、D两点，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点D，与直线相交于点E，且CD：DE＝4：3．
（1）求点E的坐标和二次函数表达式；
（2）过点D的直线交x轴于点M．
①当DM与x轴的夹角等于2∠DCO时，请直接写出点M的坐标；
②当DM⊥CD时，过抛物线上一动点P（不与点D、E重合），作DM的平行线交直线
CD于点Q，若以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．
2018-2019学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．【解答】解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝0或x＝1，
故选：C．
2．【解答】解：∵方程（x﹣4）2＝a有实数解，
∴x﹣4＝±，
∴a≥0；
故选：B．
3．【解答】解：∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
即0≤d＜6．
故选：A．
4．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
5．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．
故选：B．
6．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2﹣3＝﹣5，
即与y轴交点的纵坐标为﹣5．
故选：A．
7．【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2Rπ，半圆的弧长＝
×2π×5＝2πR，
∴R＝．
8．【解答】解：（1）圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
∴∠BDC＝∠BOC＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；
（2）圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．
综上所述，△ABC底角的度数为65°或25°，
9．【解答】解：∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，
∴，
∵AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，
∴BD＝5，DC＝3，
∴DE＝＝
．
故选：B．
10．【解答】解：如图，连接DP，
∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
∴AB＝，
∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD（SSS），
∵⊙P的半径为，
∴DE＝，
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×
，
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，
∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．
二、填空题（本大题共8个题，每小题3分，共16分，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x+c＝0得32﹣2×3+c＝0，
解得c＝﹣3．
故答案为﹣3．
12．【解答】解：∵，
∴，
即＝
．
故答案为：．
13．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6的顶点坐标是：（1，﹣6）．故答案为：（1，﹣6）．
14．【解答】解：这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15＝60（千米/时）；
故答案为：60．
15．【解答】解：连结OA、OB，如图，
∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵⊙O的半径是3，
∴的长＝
π．
故答案为π．
16．【解答】解：设其半径是R，则其正三角形的边长是
R，
正方形的边长是R，则它们的比是
：
．
故答案为：：
．
17．【解答】解：：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°，
∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°，
∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝65°﹣25°＝40°；
故答案为40．
18．【解答】解：由y＝（x﹣2）2+3和y＝ax2+1（a＜0）知：A（2，3）、B（0，1），∴AB2＝（2﹣0）2+（3﹣1）2＝8．
∵抛物线C2的顶点B（0，1）在y轴上，
∴抛物线C2的解析式为y＝ax2+1．
设点C坐标为（c，0），
∴AC2＝（2﹣c）2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1．
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即c2﹣4c+13＝（c2+1）+8，解得：c＝1
∴C1（1，0），
将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，
②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即c2+1＝（c2﹣4c+13）+8，解得：c＝5，
∴C2（5，0），
将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣
，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣
x2+1．
故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1．三、解答题（本大题共10小题，共84分；请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．【解答】解：（1）原式＝2﹣
+1
＝+1；
（2）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3．
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣
．20．【解答】解：（1）位似中心M的坐标为（3，10），故答案为（3，10）．
（2）△ABC的外接圆的半径为CN＝，
故答案为．
（3）△A1B1C1如图所示．
21．【解答】解：①美团平均月收入：1.4+0.8+0.4+1+2.4＝6；
②滴滴中位数为4.5；
③方差：[5×（6﹣4）2+2×1+2×9+36]
＝7.6；
故答案为：6，4.5，7.6；
（2）选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定．22．【解答】解：画树状图为：
由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，
所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为＝
．
23．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，即
，解得AC＝9．
∴CE＝9﹣AE＝5．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即
，解得CD＝
．
24．【解答】（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝
．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝
＝
．
25．【解答】解：（1）如图①中，点P，点P′即为所求．
（2）如图②点P，点P′即为所求．
26．【解答】解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣50）（x﹣20），∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝35时，w最大值为2250；
（2）甲方案：x≤30，把x＝30代入函数表达式得：w＝2000，
已方案：250﹣10（x﹣25）≥10，且x﹣20≥25，
解得：45≤x≤49，当x＝45时，w有最大值为1250，
∵2000＞1250，
故：甲方案最大利润最高．
27．【解答】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
∠A＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝10，当PQ∥AB时，
△DPQ∽△DAB，
∴，
即，
∴t＝，故填：；
（2）如图2，过点Q作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
则MN∥AB，
∴△DMQ∽△DAB，
∴＝
＝，
＝
＝
，
∴MQ＝6﹣3t，MD＝NC＝8﹣4t，
∴NQ＝3t，MP＝MD﹣PD＝8﹣5t，
∴S△PQC＝S梯形MNCP﹣S△PMQ﹣S△QNC，。