高中数学必修2直线与圆常考题型：点到直线的距离、两条平行线间的距离(教师版)

点到直线的距离、两条平行线间的距离

【知识梳理】

点到直线的距离与两条平行线间的距离

题型一、点到直线的距离

【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋1

4；(2)y ＝6；(3)x ＝4.

【类题通法】

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

【对点训练】

1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1

D.2＋1

2．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．

题型二、两平行线间的距离

【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．

【类题通法】

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：

y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|

k2＋1

；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2

时，d＝|C1－C2|

A2＋B2

.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

【对点训练】

3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．

题型三、距离的综合应用

【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．

【类题通法】

解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．

【对点训练】

4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．

【练习反馈】

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()

A．1 B. 3

C．2 D. 5

2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()

A．1 B. 2

C. 3 D．2

3．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．

4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．

5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.

【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋1

4

；(2)y ＝6；(3)x ＝4.

[解] (1)直线y ＝34x ＋1

4化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝

|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)

2＝

185

. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. 【类题通法】

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

【对点训练】

1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1

D.2＋1

解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2

＝1，

得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.

2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42

＝15

5＝3.

答案：3

【例2】 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，1

2

)，

则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×1

2

＋C |

52＋(－12)

2

＝|C －6|13，

由题意，得|C －6|

13＝2，

所以C ＝32，或C ＝－20.

故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52

＋(－12)

2

，

解得C ＝32，或C ＝－20.

故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【类题通法】

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝

|b 1－b 2|k 2

＋1

；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2

时，d ＝

|C 1－C 2|A 2

＋B

2

.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．

【对点训练】

3．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________． 解析：因为两直线平行，所以m ＝2.

法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝

|6×0＋2×3－1|

62＋22