(完整)上海师范大学高数试题(10)

《微积分下》作业2
学院 专业 年级班级 姓名 学号
一、单选题（5×4）
1.由曲线2
x y =及122
+=x y 所围成的平面图形的面积为（ D ） A.23 B.25 C.21 D.3
2
dx x x s ]2
1
[221
02-+=⎰
dx x )2
21(22
1
0-
=⎰ 3
2
01]62[23=-
=x x
3
2
，则c 的取值为（ B ） A.1 B.21 C.3
1
D.2
⎩⎨⎧==32cx y x y ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=
=c x x 1
0 dx cx x s c )(1
32⎰
-=
0]4131[143c cx x -=
32
1213
==
c 21=c
y
3
cx y =
3. 由曲线)0(sin 2
3π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为
（ C ） A.
34 B.32 C.π34 D.π3
2 4．抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形的面积为（ A ）
A.18
B.
58 C.5
18
D.8 5．曲线x y ln =与x 轴及直线e x e
x ==,1
所围成的图形的面积是（ B ）
A.e e 1-
B.e 22-
C.e e 2-
D.e
e 1+
二﹑综合题(2×10)
1．求心形线)0)(cos 1(>+=a a ϕρ与圆a =ρ所围各部分的面积。

解：(1)圆内,心形线内部分1A
221
212()22A d a πππ
ρϕϕ=+⎰=22
222)cos 1(a d a πϕϕππ++⎰
=
ϕϕ
ϕπ
π
πd a
a ]2
2cos 1cos 21[2
2
2
2⎰++
++ =ππϕϕϕπ
2
22]2sin 41
sin 223[2+++a a =
)24
5(]243[
2
222-=-+π
ππ
a a a (2)圆内,心形线外部分2A
)4
2(2122
π
π-=-=a A a A
(3) 圆外,心形线内部分3A
ϕϕπ
d a a A ])cos 1([2
1222220
3-+=⎰=ϕϕϕπ
d a ]1cos cos 21[202
2-++⎰
=ϕϕϕπ
d a
]cos cos 2[20
22
⎰
+=)4
2(2π
+
a
2．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线a x =,2=x ,及0=y 所围成的平面区域,2D 是由抛物线
22x y =和直线0=y ,a x =所围成的平面区域,其中20<<a .
(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ,2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ; (2)问当a 为何值时,21V V +取得最大值?试求此最大值.
解：（1）)32(54)2(5
22
21a dx x V a
-=
=⎰ππ
4202
22222a dy y a a V a πππ=-⋅=⎰
（2）4521)32(5
4a a V V V ππ
+-=+=
)1(43a a V -='π令0='V 1=⇒a
10<<a 0>'V 1>A 0<'V 1=∴a 是极大值点即最大值点
且最大值为π5
129。