格林公式曲线积分

1 0
(
x
x
0.5 0.5)2
1
dx
1 1
y y2
0.5 0.25
dy
0 1
到点 D(0,1) 的路径(见图21-21).
分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足
与路径无关的条件,则可改变积分路径,使易于计算.
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解记 x 0.5 y
P( x, y) x 0.52 y2 ,
y
D(0, 1)
C (1, 1)
L
2
L L1
OE
x
Q( x,
y)
x 0.5 y
x dy y dx
2 ONA
2 AMO
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1
x dy y dx
2 AMO
1 2
0 a
x
2
a ax
1 (
ax
x)
dx
1 2
0 a
1 2
ax
dx
a 4
a 0
x dx 1 a2 . 6
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二、曲线积分与路线的无关性
在第二十章§2 中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中, 读者可能已经看到, 在例1中, 以 A为起点 B为终点的曲线积分, 若所沿的路线不同, 则其积分 值也不同, 但在例2 中的曲线积分值只与起点和终 点有关, 与路线的选取无关. 本段将讨论曲线积分在 什么条件下, 它的值与所沿路线的选取无关. 首先介绍单连通区域的概念. 若对于平面区域 D 内任一封闭曲线, 皆可不经过 D
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
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L P dx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关; (iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分,
即在 D 内有 du P dx Qdy;
(iv) 在 D 内处处成立 P Q . y x
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
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定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
P dx Q dy AB
与路线的选择无关, 故当 B( x, y) 在 D 内变动时, 其 积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D, 则函数 u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
又可表为
1( y) x 2( y), y .
这里 y 1( x) 和 y 2 ( x) 分
别为曲线 ACB 和 AEB 的方
y
E
2(x)
B
AD
C 1( x)
Oa
bx
程, 而 x 1( y)和 x 2 ( y) 则
图 21-13
分别是曲线 CAE 和 CBE 的方程. 于是
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(2)
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例3 计算抛物线 ( x y)2 ax (a 0) 与 x 轴所围图
形的面积 (图21-17).
y
M
解 曲线 AMO 由函数
O
y ax x , x [0, a]
表示, ONA 为直线 y 0, 于是
SD
1 2
x dy
y dx
N A(a,0) x
图 21 17
1 x dy y dx 1
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俗地说, 单连通区域就是没有“洞”的区域, 复连通区 域则是有“洞”的区域. 定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
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及 CGA 构成. 由(ii)知
D
Q x
P y
d
(Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
(Pdx Qdy) Pdx Qdy .
L2
L3
Байду номын сангаас
L1
L
注1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是
x 0.52 y2
.
A( 0, 1) B(1, 1)
图 21-21
易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足
Q x
P y
( x
0.5)2 y2 2 y( x [ ( x 0.5)2 y2 ]2
0.5)
.
设 L1 为由点 A(0, 1) 到点 B(1, 1), 再到点 C(1,1), 最
D
Q x
P y
d
L Pdx
Qdy ,
(1)
这里 L 为区域 D 的边界曲线, 并取正方向.
公式(1)称为格林公式.
证 根据区域 D 的不同形状, 这里对以下三种情形
作出证明:
(i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域(图21-13), 则可表为
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1( x) y 2( x), a x b,
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以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平 面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.
D1
D2
D3
D4
图 21 18
在图 21-18 中, D1 与 D2 是单连通区域, 而 D3 与 D4 则 是复连通区域. 单连通区域也可以这样叙述: D内任 一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点. 更通
y x 条件, 就得到
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L
P
dx
Q
dy
Q x
P y
d
0
.
上面我们将四个条件循环推导了一遍, 这就证明了
它们是相互等价的.
应用定理21.12 中的条件(iv)考察第二十章§2 中的
例1 与例2. 在例1中 P( x , y) xy , Q( x , y) y x .
由于 P x , Q 1, P Q ,故积分与路线有关.
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xu u( x x , y) u( x , y)
P dx Qdy P dx Q dy .
AC
AB
因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以
P dx Qdy P dx Qdy P dx Q dy .
AC
AB
BC
因直线段 BC 平行于 x 轴, 故 dy 0, 从而由积分中
它们的格林公式, 然后相加即可.
如图21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x
型又是 y 型的区域 D1 , D2 , D3 . 于是
D
Q x
P y
d
D1
Q x
P y
d
D2
Q x
P y
d
D3
Q x
P y
d
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Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
一点处都有 ux y ( x, y) uyx ( x, y)
即
P y
Q . x
(iv) (i) 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线, 记 L
所围的区域为 . 由于 D 为单连通区域, 所以区域 含在 D 内. 应用格林公式及在 D 内恒有 P Q 的
由于 x dy 0, x dy 0, 因此
OA
BO
x dy d 1 πr2 .
AB
D
4
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例2 计算 I
L
xdy x2
ydx y2
,
其中
L
为任一不包含原
点的闭区域的边界线.
解 因为
x y2 x2
x
x2
y2
(x2
y2 )2
,
y y2 x2
y
y du P dx Qdy .
(iii) (iv) 设存在函数 u( x , y), 使得
du P dx Qdy , 因此 P( x , y) ux( x , y), Q( x , y) uy( x , y). 于是由
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P y
uxy ( x,
y)
,
Q x
uyx ( x,
L1
L2
L3
L Pdx Qdy .
(iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成, 如图21-15 所示. 这 时可适当添加线段 AB, CE, 把区域化为 (ii) 的情形来处 理. 在图21-15中添加了 AB,
G
E L3
C
DF
L2 B
L1 A
图 21 15
CE 后, D 的边界则由 AB, L2 , BA, AFC ,CE, L3, EC
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D
P y
d
L P(x,
y)dx .
将上述两个结果相加即得
D
Q x
P y
d
L Pdx
Qdy .
(ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成,
L3 D1
L2 D2
且可用几段光滑曲线将
D3
L1
D 分成有限个既是 x 型
图 21 14
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又是 y 型的子区域 (如图21-14), 则可逐块按 (i) 得到
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
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其中 0 1. 根据 P( x , y)在 D 上连续, 于是有 u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0 同理可证 u Q( x , y). 所以证得
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式
二、曲线积分与路线的无关性
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一、格林公式
设区域 D 的边界 L 是由
x2
y2
(x2
y2 )2
,
它们在上述区域 D 上连续且相等, 于是
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D
x
x2
x
y2
y
y x2 y2
d
0,
所以由格林公式立即可得
I 0. 在格林公式中, 令P y, Q x, 则得到一个计算平
面区域 D 的面积 SD 的公式:
SD
d
D
1 2
L
x dy
y dx .
y
x
y x
在例2 中 P( x , y) y , Q( x , y) x , 由于
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P Q 1, y x
所以积分与路线无关.
例4 计算
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
,
其中
L 为沿着右半圆周 x2 y2 1 ( x 0) 由点 A(0, -1)
证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ARB 与 ASB 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得
P dx Q dy P dx Q dy
ARB
ASB
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P dx Q dy P dx Q dy
ARB
BSA
P dx Q dy 0,
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
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y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
ARBSA
所以 P dx Q dy P dx Q dy .
ARB
ASB
y
A
R
y
BC
y0
A
D
S B
图 21 19
O
x0 x x x x
图 21 20
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(ii) (iii) 设 A( x0 , y0 ) 为 D 内某一定点, B( x, y) 为 D 内任意一点. 由 (ii), 曲线积分
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后到点 D(0,1) 的折线段. 因为 L 与 L1 可被包含在某
一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy L1
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB BC CD
请看以下二例:
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例1 计算 AB x dy , 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分 (图21-16).
y
解 对半径为 r 的四分之一圆域 A
D, 应用格林公式:
D
d L x dy
D
O
L B x
x dy x dy x dy .
OA
AB
BO
图 21 16
Q d
dy
2 ( y) Q dx
D x
1 ( y) x
Q( 2 ( y), y)dy Q(1( y), y)dy
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
CAE
Q( x , y)dy Q( x , y)dy
CBE
EAC
LQ( x , y)dy .
同理又可证得