两类曲线积分与格林公式-习题课

L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt


( )
1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f ( x, y )中 x, y 不彼此独立, 而是相互有关的 .
特殊情形
(1) L : y ( x ) a x b.
x (t ) ( 3) 推广 : y ( t ), t起点 , 终点 . z (t )


Pdx Qdy Rdz

{ P[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) R[ ( t ), ( t ), ( t )] ( t )}dt
: x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )


f ( x , y , z )ds

f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )


特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx.
( 2) L : x x ( y )
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y), y]x ( y) Q[ x ( y), y]}dy.
格林公式 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶连 续偏导数, 则有
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,
1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线 积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间 的联系。 2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.
y
B
BO e
故 e
L
x y
2
2
ds
2 a 2
0
e
a
2x
2dx e 1
a
O
A
x
x2 y2
ds 2(e 1)

4
aea
例 计算
( x y 3 )ds . 其中L是圆周 x 2 y 2 R 2 . L
y
x 2 y 2 R2
解 对称性,得
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
x2 y2
⌒ x a cos , y a sin , 0 AB : 4
ds 0 e dx e 1
x
O
x
⌒ e AB
x2 y2
ds e ad
4 0 a

4
ae
a
y x, 0 x 2 a . BO : 2 ds 1 12 dx
L
z f ( x, y)
s
L
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,
I x y 2 ds,
L
I y x 2 ds.
L
(5) 曲线弧的重心坐标
xds , x ds
L L
yds . y ds
L L
第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）
其中 F Pi Qj ,
对弧长的曲线积分 L f ( x , y )ds 存在.
3.推广
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为


f ( x , y , z )ds lim f ( i ,i , i ) si .
0
i 1
n
第一类曲线积分的计算
设 f ( x , y )在 曲 线 弧L上 有 定 义 且 连 续 , x ( t ), L的 参 数 方 程 为 ( t )其 中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上 具 有 一 阶 连 续 导 数则 ,
二、例题
例
计算 e
L
x2 y2
ds, L :由圆周x 2 y 2 a 2 ,

直线y x及x轴 在第一象限中所围图形的边界.
提示
L
e
x2 y2
ds
OA
a
⌒ AB

BO
a
y
B
解 OA :y 0, 0 x a, ds 1 02dx
A
OA e
几何与物理意义
(1) 当 ( x, y )表示 L的线密度时,
M L ( x , y )ds ; ( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积 f ( x , y )ds.
对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关.
第二类曲线积分的计算
定理 设P ( x , y ), Q ( x , y )在曲线弧L上有定义且连 x ( t ), 续, L的参数方程为 当参数t单调地由变 y ( t ),
到时, 点M ( x , y )从L的起点A沿L运动到终点B,
定理
函数 设D 是单连通域 ,
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有

L
P d x Qd y 0 .
(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分L P d x Qd y
与路径无关, 只与起止点有关.
(பைடு நூலகம்)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u( x , y ) P d x Q d y P Q . (4)在D 内每一点都有 y x
I
2 0
9 2 d 18 2
( x y )dx ( x y )dy 例 计算 I , 其中L为 x2 y2 L
圆周: x 2 y 2 a 2 ，方向沿逆时针.
x a cos t L: ( t : 0 2 ), y a sin t ( x y )dx ( x y )dy I a2 L
推广
空间有向曲线弧

n i 1 n

Pdx Qdy Rdz .


P ( x , y , z )dx lim P ( i ,i , i )xi .
0
Q( x, y, z )dy lim Q(i , i , i )yi . 0 i 1 R( x, y, z )dz lim R(i , i , i )zi . 0 i 1
P y2 4x2 Q 解 当 ( x, y ) (0,0) 时 ， 2 2 2 y (4 x y ) x
L：以（ ， 1 0）为圆心，R( R 1)为半径的圆周，逆时针 方向。
(1) 当R 1时,

xdy ydx 0 2 2 4x y
x r cos ( 2)当 R 1时, 作 曲 线 ： C , y 2r sin
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 y轴对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 x轴对称, L
L
被积函数 y 3是L上 关于y的奇函数 y 3ds 0 L
例
2
计算
2 2
其中为球面
9 x y z 与平面 x z 1的交线. 2

2
0
1 d 2
例 问 (e x )dx ( xe 2 y )dy是否为全微分式? (x,y)
y y
y
如是, 求其一个原函数. P Q y 解 法一 在全平面成立 O e . ( x ,0 ) y x 所以上式是全微分式. 全平面为单连通域， 因而一个原函数是：
解
(a cos t a sin t )( a sin t ) (a cos t a sin t )( a cos t ) dt 2 a 0
2
(sin t cos t )dt 0
2 2 0
2
2
dt 2
xdy ydx 例 ：计算 ， 2 2 L 4x y
n
性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则

L
Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy.
1 2
( 2) 设 L是有向曲线弧, L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则

L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy L P ( x, y )dx Q( x, y )dy
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有 一阶连
续导数, 且 2 ( t ) 2 ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L
{ P[ ( t ), ( t )] ( t ) Q[ ( t ), ( t )] ( t )}dt
u( x , y )
( x, y) ( 0,0 )

x
(e y x )dx ( xe y 2 y )dy
y

x
0
( xe y 2 y )dy (e x )dx 0
0
x2 xe y y 2 2
法二 这个原函数也可用下法“分组”凑出:
(e x )dx ( xe 2 y )dy
y y 问 (e x )dx ( xe 2 y )dy 是否为全微分式? 如是, 求其一个原函数. u ey x P 法三 因为函数u满足 x 2
y y
(e ydx xe ydy ) ( xdx 2 ydy )
x2 2 y d( xe ) d y 2 u( x , y ) y x2 2 d xe y 2
x2 u( x , y ) xe y y 2 2
L P ( x, y )dx L Q( x, y )dy P ( x , y )dx Q( x , y )dy LF ds. L
ds dxi dyj .
存在条件： 当P ( x , y ), Q( x , y )在光滑曲线弧L
上连续时, 第二类曲线积分存在.
两类曲线积分习题课
曲线积分 格林公式 曲线积分与路径无关
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、基本内容
1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）

L
f ( x , y )ds lim f ( i ,i ) si
0
i 1
n
2.存在条件： 当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时,
其 中r 0, 且 足 够 小 ， 使 得在L内 ，C取 逆 时 针 方 向 。 C
xdy ydx xdy ydx 原式 LC 4 x2 y 2 C 4 x2 y 2
0
2 0
r cos 2r cos 2r sin ( r sin ) d 2 4r

L
f ( x , y )ds
b
a
2 ( x )dx. ( a b ) f [ x , ( x )] 1
c y d.
d c
( 2) L : x ( y )

推广
L
f ( x , y )ds f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy. (c d )
解
x 2 cos
1 2 1 2 1 ( x ) y 1 化为参数方程 : 2 , 2 4 xz 1 1
:
1 z 2 cos 2
y 2 sin
2
0 2
( 2 sin ) 2 d 2d
ds

( 2 sin ) 2