第一章 状态空间表达式(2013)

a
2n
a n1
an2
ann
u1
u
u
2
ur
1 状态空间表达式 状态方程反映系统内部的运动规律 输出方程表达系统内部运动和系统输出的联系
状态方程
x Ax Bu
输出方程
y1
y
y2
M
ym
y Cx Du
c11 c12 c1n
C
c
21
c22
c
2n
经典微分方程和传递函数描述的缺陷： 输入—输出 无法处理初始条件（why?）
1 状态空间表达式 状态空间法：用由状态变量构成的一阶微分方程组描述，能反 映系统的全部独立变量的变化，能确定系统的内部运动状态， 可以方便地处理初始条件
状态变量：完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。
独立储能元件的个数
x&1 x&2
0
1 L
1 c R L
x1 x2
0 1 L
u
1 状态空间表达式
状态空间表达式一般形式
x1
x
x
2
xn
b11 b12 b1r
B b21
b22
b2n
bn1
bn2
bnr
x Ax Bu
a11 a12 a1n
A a21
a 22
y x1 x2
u+
x3
x2
∫
∫
+ ++
-2
方块图：分块 模拟结构图：模拟
∫ x1 + + y
-3
-6
3 状态空间表达式的建立 状态空间表达式的建立
系统方块图 物理机理 高阶微分方程或传递函数
u+
K1
K2
K3
y
T1s 1
T2s 1
T3s 1
+
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发
du(t )
bm dtm bm1 dtm1 L b1 dt b0u(t)
其中，n1，m0，an 0，bm 0
如质量、阻尼、弹簧系统
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式
微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程。 传递函数：零初始条件下输出量和输入量的Laplace变换的比。 基于传递函数描述和分析系统的方法又称之为频域方法。
经Laplace变换，得到
an s
n
y(s)
a s n1 n1
y(s)
a1sy(s) a0 y(s)
bm smu(s) bm1s u m1 (s) b1su(s) b0u(s)
G(S)
y(s) u(s)
bm s m an s n
bm1s m1 an1sn1
b1s b0 a1s a0
时间域vs频域 微分方程组描述相对于时间的变量：时间域 不考虑具体的细节，只考虑频响特性：频域
状态空间表达式 vs 传递函数 脉冲响应函数、 y(s)=G(s)X(s) 状态空间表达式
描述输入输出特性 vs 描述内部状态运动 优劣？过时？
控制系统分析和综合的基础为系统的数学模型，经 典控制理论中采用微分方程和传递函数描述系统。
状态变量x1(t)、x2(t) 、… 、xn(t) 构成状态
向量 状态空间：以状态变量为坐标轴所构成的空间
状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系 统的状态方程
表征系统的运动
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式 两个含有状态变量的一阶微分方程
u+
-
输入
R
c
uC
L
输出
c duc i dt
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？
系统分析—分析系统的性能 系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析；
所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
L di Ri uc u dt
两个独立储能元件：电容和电感
两个状态变量：
电容的储能与其两端的电压相关 uc 电感的储能与流过的电流相关 i
u&c
1 c
i
i&
1 L
uc
R L
i
1 L
u
1 状态空间表达式 写出状态空间表达式
u&c
1 c
i
i&
1 L
uc
R L
i
1 L
u
状态变量用一般符号x1,x2,…,xn表示
cm1
cm2
cmn
d11 d12 d1r
D
d
21
d 22
d
2r
d m1
d m2
dmr
2 状态空间表达式的模拟结构图 系统方块图与模拟结构图：系统方块图注重表达功能关系，模拟 结构图为系统方块图的细化，详细的描述一个现实物理系统。
x1 x2 x2 x3 x3 6x1 3x2 2x3 u
变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u+
K1
K2
K3
y
T1s 1
T2s 1
T 3s
+
K4
K1 T1 +
K1 1
T1 s 1
T1
x&3 ∫
x3
_
1 T1
传递函数 微分方程
模拟结构图
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发
第一章 控制系统的状态空间表达式
基础知识回顾
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化
典型的闭环控制系统：
扰动
参考量 + - 控制器
对象：如机械 臂，倒立摆等
输出量
通过误差来 减少误差
传感器
输入、动态系统、输出、测 量、比较、误差、输入构成 的一个环路。构成包含原动 态系统在内的一个新的动态 系统
如何描述对象？ 定性、定量、数学工具……
控制理论概述
系统的数学描述：微分方程、传递函数、状态空间表达式 微分方程：时域内描述动态系统，如机械系统的动力学方程
单输入，单输出系统的微分方程为：
an
d
n y(t dtn
)
an1
d
n1 y(t dtn1
)
L
a1
dy(t dt
)
a0
y(t
)
d mu(t)
d m1u(t)
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化 扰动
参考量 +
控制器
-
对象：如机械 臂，倒立摆等
输出量
基本概念：
传感器
如单摆
平衡：系统 x f [x,t] 存在状态 xe 使 f [xe , t] 0 →状态不变 稳定：系统偏离了平衡状态，有回到平衡状态的趋势； 或者这种偏离是有界的 不倒翁稳定 倒立摆不稳定
称之为系统的传递函数
举例
i2(t)
u0 (t) 0
i1(t) i2 (t)
i1(t) ui(t)
C
a
uo(t)
ui (t) C duo (t)
R
+
R
dt
i.e.
wk.baidu.com
RC
duo (t) dt
ui
(t)
微分方程
G(s) Uo(s) 1 Ui (s) RCs
传递函数
复习相关的知识
域与数学工具的区别：现代控制理论 vs 经典控制