第八章 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系

课时作业 A 组——基础对点练

1．(2018·西安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )

A ．4

B ．3 3

C ．4 3

D ．8

解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝1

3(舍)，故A (3,23)，∴AK ＝4， ∴S △AKF ＝1

2×4×23＝4 3.故选C. 答案：C

2．已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) ①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3； ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条

D ．4条

解析：直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 答案：C

3．(2018·郴州模拟)过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为( ) A.3

3

B ．±33

C. 3 D ．±3

解析：∵△AOB 的面积为34，∴12×1×1×sin θ＝3

4， ∴sin θ＝3

2.

∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴圆心到直线l 的距离为32. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，

即kx －y ＋3k ＝0，∴32＝|3k |1＋k 2，∴k ＝±3

3.

答案：B

4．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x 2＝y 相交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则(x 1－1)(x 2－1)＝________.

解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程x 2＝y 得x 2－kx ＋k ＝0，故x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k ，因此(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1. 答案：1

5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为______________．

解析：抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p

2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b 2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2 ①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x . 答案：y ＝±x

6．过双曲线x 2

－y 2

2＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ

的直线l 恰有3条，则λ＝________. 解析：∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条．

∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程， 可得y ＝±2，故|AB |＝4.

∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，

∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4. 答案：4

7．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.

(1)求E 的离心率e ；

(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7

2，求E 的方程．

解析：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3a ，13b ，又k O M ＝510，从而b 2a ＝510，

进而得a ＝5b ，c ＝

a 2－

b 2＝2b ，故e ＝

c a ＝25

5.

(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b

＋y

b ＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52

b ，－12b .

设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

54

b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，

从而有⎩⎪⎨⎪⎧

5b 4＋x 125b

＋－14b ＋74

b ＝1，

72＋1

2b x 1

－52b

＝5，

解得b ＝3.

所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 2

9＝1.

8.已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，且它的离心率e ＝1

2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，

N 两点，若椭圆上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →

，求实数λ的取值范围． 解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧

4a 2＋3

b 2＝1，

c a ＝1

2，

c 2

＝a 2

－b 2

，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＝8

b 2＝6，

所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2

6＝1.

(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以

|t ＋k |

1＋k

2＝1⇒2

k ＝1－t 2

t (t ≠0)， 把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 2

6＝1并整理得： (3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0，