结构的几何构造分析

S-W=n
由于自由度数S与多余约束数n都不是 负数，即S≥0，n≥0，因此，由（2-3） 可得，
S≥W
(2-4)
n ≥-W
(2-5)
下面讨论W的两种具体解法
部件
要注意刚片的内部是否有多余约束。
铰约束
刚结点约束
链杆约束
自由度W的求法（1）
例1
自由度W的求法（2）
W 3m (3g 2h b)
的总和a；其次在全部约束中确定非多余约束c； 最后将两数相减，得出体系的自由度数S。
S=a-c
(2-1)
该式简单，但应用时却有困难。
即事先需要分清楚：在全部约束中，究竟哪些 是非多余约束，哪些是多余约束。这个问题牵 涉到体系的具体构造，体系构造愈复杂，这个 问题愈难解决。为回避这个问题，现定义一个 新参数W——计算自由度如下：
几何参数的数目,即确定物体位置
的独立坐标数目。
y
⑴ 平面上的质点有两个自由度独
x
立变化的几何参数为：x、y。
o
A
y x
⑵ 平面上的刚片有三个自由度独立变化的几何 参数为：x、y、。
平面内一刚片
n=3
x
yy
3. 约束
减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个自 由的装置称为一个约束。
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
§2-3平面杆件体系的计算自由度
运用上节的三角形定律，对一些常见体系能够进行构 造分析，并对下面两个问题能够作出度量的回答：
（1）体系是否几何可变？自由度的个数S是多少？ （2）体系有无多余约束？多余约束的个数n是几个？
对自由度及多余约束的定量确定是为下一步选择求解 方法做准备的。
体系由部件和约束组成。首先设想体系中各个约 束都不存在，此种情况下计算各部件的自由度数
一个点与一个刚片（或基础）之间应当怎样连接 才能组成既无多余约束又是几何不变的整体呢？
规律1： 一个刚片与一个点用两根链杆连接，且 三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体， 且无多余约束。
2. 两个刚片之间的连接方式
规律2： 两个刚片用一个铰和一根链杆连接， 且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的 整体，且无多余约束。
进行结构的几何构造分析的目的是，把杆件结 构看成杆件体系，检查它是不是一个几何不变 体系。为此，需要研究几何不变体系的组成规 律。
什么形状是最稳定形状的基本单元。
三角形
在平面体系的几何分析中，最基本的规律是三 角形规律。规律本身简单，但运用变化无穷。
几何构造分析的目的：
1、判别某一体系是否为几何不变，从 而决定它能否作为结构。
y
B
y
xA
y
o
x
o
B
A 2
1
x
（2）单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单 铰相当于两个约束。
(2) 单铰
x α
铰
β
单铰联后
n=4
y
1个自由刚片3个自由度 2个自由刚片有6个自由度
（3）一个刚结点减少三个自由度
4. 多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而 减少，则此约束称为多余约束。
无穷远瞬铰的利用
(a) 一铰无穷远情况
几何不变体系 不平行
平
几何常变体系
行
等
长
相当于三链杆平行，在无穷远处相交
(b) 两铰无穷远情况
三刚片由三铰两两相连，其中两个瞬铰在无穷远 处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变， 反之几何可变。
四
杆
不
几何不变体系
全
平
行
四
杆
全
几何瞬变体系
平
行
四 杆 平 行 几何常变体系 等 长
2、区别静定结构、超静定结构，从而 选定相应计算方法。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以 决定合理的计算顺序。
§2-1几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系 几何不变体系(geometrically stable system)： 一个杆系，在任何荷载作用下，若略去杆件本身的
约束等效代换问题
解： 地基为刚片III，刚片I为三角形。 刚片I、II 刚片I、III由杆1、2连接于虚铰A， 刚片II、III由杆3、4连接于虚铰B， 刚片I、II由链杆5、6连接于虚铰C。 三铰A、B、C不共线，为几何不变
体系，且无多余约束。
“拉开距离”是三个刚片之间均用有链杆形成的瞬 铰相连，而尽量不用实铰。否则不能求解。
m刚片的个数；g 刚结点个数； h单铰结个数；b单链杆个数。
W 2jb
j结点个数。
例2：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？ 有几个单铰？ 有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
例3：计算图示体系的自由度
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
F A
I
C G
IIBiblioteka BDE首先，左边三个刚片AC、CD、DF由不共线的三个铰 A、D、F相连，组成一个屋多余约束的大刚片I；同理 右边形成大刚片II；大刚片I、II用一个铰C和一个链杆 DE相连，最后，用三个不共点的支杆固定于基础，因 此，整个体系为几何不变，且无多余约束。
E
F
C
D
B A
A、D、F三个不共线的铰固定三个刚片AD、DF、FA， 形成一个大刚片，同理BCE也是一个大刚片；两个大 刚片通过三个不共点的链杆DB、AC、EF相连，形成 一个更大的刚片，最后用三个不共点的支杆固定于基 础，因此，整个体系为几何不变，且无多余约束。
1
5
2
47
6
Ⅱ
Ⅲ
Ⅱ
例2 对图示体系作几何组成分析。
找出三个刚片 无多余联系的几何不变体
例 对图示体系作几何组成分析。
找
刚
片、
找
虚
铰
Ⅰ
瞬变体系
Ⅱ Ⅲ
它可 变吗？
行吗？
行吗？
作业
2-1（c） 2-2（b） 2-3（a） 2-4 （d） （e） 2-6 （b） 2-7 （a） 2-9 （c） 2-12
E
从地基出发，多次应用简单装配格式，可分别形成逐渐扩 大的刚片。用5对链杆（1,2）、（3,4）、（5,6）、 （7,8）、（7,10）依次固定A、B、C、D、E点，其中每 对连杆都不共线。依次逐个体系为无多余约束的几何不变 体系。
（2）从内部刚片出发进行装配——先在 体系内部选取一个或几个刚片作为基本 刚片，将其周围的部件按照基本装配格 式进行装配，形成一个或几个逐渐扩大 的基本刚片，最后将扩大的基本刚片再 于地基装配起来，形成整个体系。
铰
链杆
Ⅱ
实铰 虚铰
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
铰
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
3. 三个刚片之间的连接方式
规律3： 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两 相连，则组成几何不变的整体，且无多余约束。
上述三条规律虽然不同，但实际上可归 纳为一个基本规律：如果三个铰不共线， 则一个铰接三角形的形状是不变的且没 有多余约束。这就是三角形规律。
第二章 结构的几何构造分析
§2-1几何构造分析的几个概念 §2-2平面几何不变体系的组成规律 §2-3平面杆件体系的计算自由度
本章从几何构造角度讨论结构。
一个结构要能够承受各种荷载，首先它的 几何构造应当合理，几何稳定，且保持几 何形状不变为几何不变体系。反之，一个 杆件体系几何不稳固，不能保持几何形状 不变，则无法承受荷载。这种杆件体系称 为几何可变体系。
W 2jbr 2 9 15 3 0
W=a-d
(2-2)
这里，d为全部约束总数。
上面是两个式子外表相似，但后者要简单的多，
因为（2-2）式只需要算出全部约束的总数d即
可，而（2-1）却要算出非多余约束数c,从而需 要研究哪些约束是多余的哪些不是这个难题。
全部约束数d与非多余约束数c之差为多余约束 数n，故有
S-W=n （2-3）
5. 瞬变体系
这种本来是几何可变体系、经微小位移后又成为几 何不变体系，可称为瞬变体系。
束
6 .瞬铰
7. 无穷远处的瞬铰
§ 2-2 平面几何不变体系的组成规律
几何构造分析中，无多余约束的几何不 变体系的组成规律。这里只讨论杆件体 系最基本的组成规律。
1 . 一个点与一个刚片之间的连接方式
弹性变形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
弹性变形
几何不变体系
几何可变体系 (geometrically unstable system)： 一个杆系，在很小的荷载作用下，即使略去杆
件本身的弹性变形，它也不能保持其几何形状和位 置，而发生机械运动的体系。
P
几何可变
2.自由度
是指物体运动时可以独立变化的
b铰)交 交点 点在 不无 在穷 无远 穷处 远处
结构基本装配过程有两种
（1）从基础出发进行装配。
先取基础作为基本刚片，将周围某个部 件（一个结点，一个刚片或两个刚片） 按照基本装配格式固定在基本刚片上， 形成一个扩大的基本刚片。然后由近及 远地、由小到大地、逐个按照基本装配 格式进行装配，直至形成整个体系。
地基形成基本刚片; AB梁与地基按“两刚片规则-由不汇交于一点的三链杆” 相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ; BC通过一个铰和一个链杆与扩大的刚片II相连，形成更加 扩大的刚片III； CD梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。 此体系为几何不变，且无多余约束。