高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济

大学下册

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

高等数学复习提纲

一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。

例题：一平面过点(1? 0? ?1)且平行于向量a ?(2? 1? 1)和b ?(1? ?1? 0)? 试求这平面方程? 解 所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i b a n 3011112-+=-=⨯=?

所求平面的方程为

(x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0? 即x ?y ?3z ?4?0?

2．空间直线及其方程。

例题：求过点(2? 0? ?3)且与直线⎩

⎨⎧=+-+=-+-012530

742z y x z y x 垂直的平面方程?

解 所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量? 即

k j i k

j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=?

所平面的方程为

?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即 16x ?14y ?11z ?65?0?

例题：求过点(3? 1? ?2)且通过直线

12354z

y x =+=-的平面方程?

解 所求平面的法线向量与直线1

2354z

y x =+=-的方向向量s 1?(5?

2? 1)垂直? 因为点(3? 1? ?2)和(4? ?3? 0)都在所求的平面上? 所

以所求平面的法线向量与向量s 2?(4? ?3? 0)?(3? 1? ?2)?(1? ?4? 2)也是垂直的? 因此所求平面的法线向量可取为

k j i k

j i s s n 229824112521--=-=⨯=?

所求平面的方程为

8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即 8x ?9y ?22z ?59?0?

3．旋转曲面。

例题：将

zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周? 求所生

成的旋转曲面的方程? 解 将方程中的z 换成22z y +±

得旋转曲面的方程

y 2?z 2?5x ?

例题：将zOx 坐标面上的圆x 2

?z 2

?9绕z 轴旋转一周? 求所生成的旋转曲面的方程? 解 将方程中的x 换成2

2y x +±

得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2

?9?

4. 多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数 x

y

e z = 的全微分

解 xdy e x

dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=?

例题：设z ?u 2ln v ? 而y

x u =? v ?3x ?2y ? 求x

z ∂∂? y

z ∂∂?

解 x

v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂

31ln 22⋅+⋅=v u y v u 22

2)23(3)23ln(2y

y x x y x y x -+-=? )2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y

y x x y x y x ----=?

例题：设z ?e

x ?2y

? 而x ?sin t ? y ?t 3

? 求dt

dz ?

解 dt dy

y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--

)6(cos )6(cos 22sin 223

t t e t t e t t y x -=-=--?

例题：设sin y ?e x

?xy 2

?0? 求

dx dy ? 解 令F (x ? y )?sin y ?e x ?xy 2? 则F x ?e x ?y 2

? F y ?cos y ?2xy ? xy

y e y xy y y e F F dx dy x

y x 2cos 2cos 222--=---=-=?

例题：设x y y x arctan ln 22=+? 求dx

dy

?

解 令x

y

y x y x F arctan ln ),(22-+=? 则

2

2222222)()(11221y x y x x y x

y y x x y x F x ++=-⋅+-

+⋅+=? 22222221)(11221y

x x y x x

y y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=? y

x y x F F dx dy

y x -+=-=?

5.重积分（直角坐标，极坐标）。

例题：⎰⎰+D

d y x σ)(22? 其中D ?{(x ? y )| |x |?1? |y |?1}?

解 积分区域可表示为D ? ?1?x ?1? ?1?y ?1? 于是 x d x ⎰-+=1

12)312(113]3232[-

+=x x 3

8=? 例题：⎰⎰+D

d y x x σ)cos(? 其中D 是顶点分别为(0? 0)? (?? 0)? 和(?? ?)的三角

形闭区域?

解 积分区域可表示为D ? 0?x ??? 0?y ?x ? 于是?