捆绑法,插空法,排列组合,高二数学

捆绑法就是把几个物体看成一个整体排列，一般几个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，“捆绑”法比较简单，注意有无顺序，有序则为排列，无序则为组合

插空法就是先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。这个问题比较麻烦，我多举几个例子。同学参考

例1：把1、2、3、4、5组成没有重复数字且数字1、2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？

解析:本题直接解答较为麻烦，因此可先将3、4、5三个元素排定,共有33A 种排法，然后再将1、2插入四个空位有24A 种排法，故由乘法原理得：所有不同的五位数

有2433A A ⨯=72种。

例2：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

解析：直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插7个空位，有7种方法；再用另一个节目去插8个空位，有8种方法；用最后一个节目去插9个空位，有9方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为987⨯⨯=504种。

例3：一条马路上有编号为1、2……19的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

解析：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，

然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有37C 种方法，因此所有不同的关灯方法

有37C =35种

为了同学更好的理解排列组合，同学练习一下：

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置

(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边

(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起

(4)全体排成一行，男、女各不相邻

(5)全体排成一行，男生不能排在一起

(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人

(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人 解 (1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择 有A 13种，其余6人全排列，有A 6

6种 由乘法原理得A 13A 66=2160种

(2)位置分析法 先排最右边，除去甲外，有A 1

6种，余下的6个位置全排有

A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 1

5A 55种 则符合条件的排法共有A 16A 66－

A 1

5A 55=3720种 (3)捆绑法 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列 共有A 3

3A 55=720种

(4)插空法 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A 3

3A 44=144种

(5)插空法 先排女生，然后在空位中插入男生，共有A 4

4A 35=1440种

(6)定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，

第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A 7

7=N ×A 33，

∴N =337

7A A = 840种

(7)与无任何限制的排列相同，有A 7

7=5040种

(8)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A 3

5种，甲、乙和其

余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A 23A 3

3 最后再把选出的3人的排列插入

到甲、乙之间即可 共有A 3

5×A 22×A 33=720种