第四节矩阵分块法
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矩阵分块法
第四节 矩阵分块法内容分布图示★ 矩阵的分块 ★ 例1 ★ 例2 ★ 分块矩阵的运算规则★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 分块矩阵的其它运算规则★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 克莱姆法则的证明 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-4★ 返回内容要点：一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C tk kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A 则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T t T s T TA A A A A5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A = (2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
分块矩阵
第四节 分块矩阵一：矩阵的分块及分块矩阵的定义把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由一些数组成的一样，在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓矩阵的分块，把每一小矩阵称为原矩阵的子块，分成子块的矩阵叫分块矩阵 。
例⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=013|00132|10321|01013001321032101A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211A A A A 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13 322112A ，()0021=A ，()01322=A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0|13|001|32|103|21|01013001321032101A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛232221131211B B B B B B 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100111B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=322112B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1313B ，()0021=B ，()1322=B ，()023=B 故同一矩阵可用不同的方法进行分块。
主要目的还是把零矩阵、单位矩阵分出来、或把整个矩阵尽可能化为分块对角阵。
二 矩阵的分块与矩阵的加法和数乘运算 （一）矩阵的分块与矩阵的加法1：矩阵的加法对矩阵的分块的要求：两个矩阵分法必须一致。
2：运算：对应子块相加。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n A A A A A A A A A 212222111211±⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n B B B B B B B B B212222111211= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛±±±±±±±±±mn mn m m m m n n n n B A B A BA B A B A B A B A B A B A221122222221211112121111（二）矩阵的分块与矩阵数乘1：矩阵的数乘对矩阵的分块的要求：无要求2：运算：A λ=λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n A A A A A A A A A212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n A A A A A A A A A λλλλλλλλλ 212222111211 三：矩阵的分块与矩阵乘法（一）：矩阵的乘法对矩阵的分块的要求：一般地，若A 和B 可乘，将A ，B 分别表示成分块矩阵作乘法时，要求A 的列的分法与B 的行的分法必须一致，以保证除了分块矩阵可乘，而且各子块间的运算也可行，而对A 的行的分法及B 的列的分法没有限制。
第四节 矩阵的分块法
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
A1 0 ( 7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 ⋅ L L L L 0 L As 0
0 L 0 A1B1 0 B2 L 0 0 A2B2 = L L L L L 0 0 L Bs 0
A1 A+ B = 0
0 B1 + A2 0
0 A1 + B1 = B2 0
, A2 + B2 0
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 A2 + B2 = + 1 b 1 b A1 0 B1 + ∴ A+ B = 0 A2 0
T T A11 L A r A11 L As1 1 T (4 ) 设 A = M M ,则 A = M M . As1 L A AT L AT sr sr 1r
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
−1
0 A X11 X12 = X X B 0 21 22
X 阶矩阵， 阶矩阵， 11 是
s
阶矩阵， 阶矩阵，
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
§4 矩阵分块法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Ams , Bsn ,Cmn
k 1 n
AT: AT 的第i行是A的第i列.
|A|= detA ,A必须是方阵.
n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子 式构成的矩阵
0 E
B11 E B B 22 21
所以
AB＝
E B B 21 22
B11 E AB B A B 1 11 21 1 22
其中
1 A1 B11 B21 1 3 0 1 A1 B22 1
伴 随 矩 阵
A
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
概 念
如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩 阵 用伴随矩阵 A 求 法
1
1 A A
0 1 B
分块对 A 角矩阵 0
记
ij ) mn , ( a A=
x1 x2 x= , x n
b1 b2 b= , b m
B=
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 . a a m1 m 2 amn bm
将A按列分块,得
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列.
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
§4 矩阵分块法
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
19 June 2018
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
19 June 2018
3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
19 June 2018
9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
4 矩阵的分块
0 0 3 2
A 0 例2 设 D = C B 其中A，B都是可逆矩阵,
证明D可逆并求 D −1 解: 由A，B都是可逆矩阵, A ≠ 0 且 B ≠ 0 又 D = A B X 11 X 12 −1 得 D ≠ 0 所以D可逆的. 设 D = X 21 X 22 AX 11 AX 12 A 0 X 11 X 12 −1 DD = = CX + BX X CX 12 + BX 22 21 C B 21 X 22 11 X 11 = A−1 AX 11 = E E 0 AX = 0 −1 DD = E = X 12 = 0 得 12 得 0 E CX 11 + BX 21 = 0 X 21 = − B −1CA−1 −1 A 0 CX + BX = E −1 故D = 12 22 X 22 = B −1 −1 −1 −1 − B CA B
L L L
A1 A1 B A2 *: A2 B 1 Am×n Bn×s = B= M M Am Am B 有相应的重要结论(关于行的 关于行的)： 关于行的 (1) 乘积的第 i 行等于第一个矩阵的 i 行乘以第二个矩阵 第一个矩阵的
A11 ± B11 A21 ± B21 = M Am1 ± Bm1
A1n ± B1n L A2 n ± B2 n L Amn ± Bmn
其中
Aij
与
Bij (1 ≤ i ≤ m ,1 ≤ j ≤ n )
是同型矩阵
（二）矩阵数乘中矩阵分块 1 矩阵的数乘对矩阵的分块的要求：无要求 2 运算： ：
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的优缺点
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
线性代数 §4 矩阵分块法
§4 矩 阵 分 块 法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算
(1)(加)法 设矩 A 与 B 阵 的行数 ,列相 数,同 相 采用相同 ,有 的分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A
, B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
A11B11 A1r B1r
AB
.
As1Bs1 AsrBsr
(2)
(数乘)
设A
A11
A1r
,为数,那末
As1 Asr
A11 A1r
A
.
As1 Asr
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A,B分块成 11 00 00 00
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
(Block matrix)
0 1 1 b
1b0
二、分块矩阵的运算
(1)(加)法 设矩 A 与 B 阵 的行数 ,列相 数,同 相 采用相同 ,有 的分块法
A 11 A 1r
B11 B1r
A
, B
As1 Asr
Bs1 Bsr
其A i中 与 j B i的 j 行,列 数数 相 ,那 相 同 末 同
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B E
CO,其中OBEA ab10001
011 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1
a 0
0 b
0 1
A 1A 2A 3A 4 ,其中 AA 2413 a01b0
A11B11 A1r B1r
AB
.
As1Bs1 AsrBsr
(2)
(数乘)
设A
A11
A1r
,为数,那末
As1 Asr
A11 A1r
A
.
As1 Asr
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A,B分块成 11 00 00 00
第四节 分块矩阵
A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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线性代数PPT课件：矩阵 第4节 分块矩阵
(2)
(3)
x1a1 + x2a2 + … + xnan = b .
（ 4）
A11 A1t B11 B1r A ,B , A A B B st tr s1 t1
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j ,
…, Btj 的行数,那么
其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知向量，b 称为常
数项向量，B 称为增广矩阵. 按分块矩阵的记法，
可记
B=(A b),
或 B = ( A , b ) = ( a1 , a2 , … , an , b ) .
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b . (1) 的解向量. (2) 方程（2）以向量 x 为未知量，它的解称为方程组
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34
分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:
a11 a12 a13 a14 (1) a21 a22 a23 a24 , a a a a 31 32 33 34
即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为
以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的
分块矩阵可类似写出, 这里略.
2.4.2 分块矩阵的运算
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分别说明如下:
1.加法运算
设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用 相同的分块法, 有
如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方
程组 Ax = b 可记作
2章4节 分块矩阵
矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定。
注：一个m n矩阵也可看作以m n个元素为1阶子块的分块矩阵。
0 1 例 0 0 1 0 可以分成 A 0 0
1 0 矩阵A 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
3 1 ， 0 1 0 3 0 1 E 3 1 0 O 0 1
1 0 0 1 B11 = 4 1 B 21 2 0 E A1 B22
E , B22
3 4 1 0 2 1 2 1 0 A B B 其中 1 11 21 = B21 = 0 2 = 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 4 1 3 3 1 2 0 A1 B22 = 于是 = ， AB = 2 4 3 1 1 2 0 3 1 1 1 3
A11 O A= O O A22 O O O Ass
则称A为分块对角矩阵。
分块对角矩阵具有下列性质：
i 若 Aii
0,(i 1,2,
O 1 A22 O
, s) 则 A 0, 且 A A11 A22
O O ; 1 Ass
0 1 0
0 0 1， 2， ， n 1
i 为列向量，
则 Amn En A1， 2， ， n
A1，A 2， ，A n
Amn i， n1可乘，为m 1列向量，
A1，A2， ，An
a11 a A 1 = 21 a n1
1 0 4 2
1 0 A= 1 1
0 1 2 1
注：一个m n矩阵也可看作以m n个元素为1阶子块的分块矩阵。
0 1 例 0 0 1 0 可以分成 A 0 0
1 0 矩阵A 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
3 1 ， 0 1 0 3 0 1 E 3 1 0 O 0 1
1 0 0 1 B11 = 4 1 B 21 2 0 E A1 B22
E , B22
3 4 1 0 2 1 2 1 0 A B B 其中 1 11 21 = B21 = 0 2 = 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 4 1 3 3 1 2 0 A1 B22 = 于是 = ， AB = 2 4 3 1 1 2 0 3 1 1 1 3
A11 O A= O O A22 O O O Ass
则称A为分块对角矩阵。
分块对角矩阵具有下列性质：
i 若 Aii
0,(i 1,2,
O 1 A22 O
, s) 则 A 0, 且 A A11 A22
O O ; 1 Ass
0 1 0
0 0 1， 2， ， n 1
i 为列向量，
则 Amn En A1， 2， ， n
A1，A 2， ，A n
Amn i， n1可乘，为m 1列向量，
A1，A2， ，An
a11 a A 1 = 21 a n1
1 0 4 2
1 0 A= 1 1
0 1 2 1
《线性代数》第四节子矩阵
AB = I 可被等价地写成
Abi = ei ，i=1 , 2 , … , n 这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成
解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组， 第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的 第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0
这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.
例如对于矩阵
1 3 7 A 3 4 2
7 2 0
则它的所有的 3 个前主子矩阵为
A[1] 1
,
A[2]
1 3
3 4
,
A[3] A
一般地说，凡对角线元全为 A 对角线元的子
矩阵，称为 A 的主子矩阵， 如
1 7
7 0
,
4 2
2 0
就是 A 的另外两个 2 阶主子矩阵.
a22
a1n
a2n
a1
a
2
am1
am2
amn
a
m
其中带上标的小写黑体字母表示行向量， 如
a i 是 A 的第 i 行， a i [ai1 ai 2 ain ] .
利用矩阵按列与按行分块、分块运算法及 1 阶矩阵作其元（即数字）对峙，可对重要的矩阵
乘法及正交矩阵概念分别作些解释.
（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 . 通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方
程组
Ax = b
( 2-12′)
写成
x1
a1
a2
an
x2
b
.
xn
a2n xn b2
xx 22 a m n从 xn而得xaba到11ma2n（1nxxn2n-x122a）b2b12的向x量na形n 式b：
Abi = ei ，i=1 , 2 , … , n 这样，求 A 的逆矩阵 B (即 A-1) 的问题被归结成
解 n 个具有相同系数矩阵 A 的线性代数方程组， 第 i 个方程组的自由项向量 ei 为 n 阶单位阵的 第 i 个列向量，这是除第 i 个元为 1 其余皆为 0
这是自 A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.
例如对于矩阵
1 3 7 A 3 4 2
7 2 0
则它的所有的 3 个前主子矩阵为
A[1] 1
,
A[2]
1 3
3 4
,
A[3] A
一般地说，凡对角线元全为 A 对角线元的子
矩阵，称为 A 的主子矩阵， 如
1 7
7 0
,
4 2
2 0
就是 A 的另外两个 2 阶主子矩阵.
a22
a1n
a2n
a1
a
2
am1
am2
amn
a
m
其中带上标的小写黑体字母表示行向量， 如
a i 是 A 的第 i 行， a i [ai1 ai 2 ain ] .
利用矩阵按列与按行分块、分块运算法及 1 阶矩阵作其元（即数字）对峙，可对重要的矩阵
乘法及正交矩阵概念分别作些解释.
（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）； （2）每列元的平方和为 1； （3）相异列对应元的乘积之和都是 0 . 通过对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方
程组
Ax = b
( 2-12′)
写成
x1
a1
a2
an
x2
b
.
xn
a2n xn b2
xx 22 a m n从 xn而得xaba到11ma2n（1nxxn2n-x122a）b2b12的向x量na形n 式b：
第四节 矩阵的分块运算
准对角矩阵的运算规律: 对于两个有相同分块的准对角矩阵
A1 O O B1 O O
A
O
A2
O
,
B
O
B2
O
,
O
O
As
O
O
Bs
如果Ai与Bi是同阶的(i=1,2,,s),则
A1B1
AB
O
O
O A2B2
O
O
O
,
As
Bs
A1 B1
A B
O
求A+B 0 1 2 1
0 0 1 0
解:
A
A11
A21
A12
A22
其中
A11
1 2
11,
0 A12 0
0 0,
A21
1 0
0
1
1, A22 2
2 1
B
B11
B21
B12
B22
其中B11
1 0
2 1,
3 0
1 0
0 0
B12 2 1, B21 0 0, B22 1 0
A
B
§3.4 矩阵的分块运算
1.分块的矩阵概念 2.分块矩阵的运算规则
一、分块的矩阵概念
在处理阶数较高的矩阵运算时,常采用 分块法.即用若干条纵线和横线把大矩阵分 成许多块小矩阵.此时把大矩阵看成由这些 小块矩阵所构成的矩阵.每一个小矩阵称为 它的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称 为分块矩阵.
在运算中,可以把小矩阵当作元素一样 来处理,从而使运算简化为子块之间的运算, 而子块的阶数一般都比大矩阵的阶数要低.
Ar 1
Br 1
Ar 2 Br 2
线性代数第1章第4节矩阵的分块
A2 1
O
O O . 1 As
10
(6)
O O As O
O O B2 O O Bs
a 1 A1 , 0 a b 1 A2 . 1 b a 0 B1 , 1 a b 0 B2 . 1 b
16
A1 A B O
O B1 O A2
O A1 B1 O B2
其中Ai1, Ai2, ·, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ·, Bij的行数， · · · · 那么
C11 C1r AB C C sr s1
t
其中 C ij Aik Bkj
k 1
i 1,, s; j 1,, r .
5
二、分块矩阵的运算
(1) 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同 的分块法，有
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1
其中Aij与Bij的行数相同，列数相同，那末
8
T A11 AsT1 A11 A1r , 则 AT . (4) 设 A T A A AT Asr sr s1 1r
(5) 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是 方阵．即 A1 O O O A O 2 , A O O As 其中Ai (i = 1, 2,·, s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵. · ·
4
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
O
O O . 1 As
10
(6)
O O As O
O O B2 O O Bs
a 1 A1 , 0 a b 1 A2 . 1 b a 0 B1 , 1 a b 0 B2 . 1 b
16
A1 A B O
O B1 O A2
O A1 B1 O B2
其中Ai1, Ai2, ·, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ·, Bij的行数， · · · · 那么
C11 C1r AB C C sr s1
t
其中 C ij Aik Bkj
k 1
i 1,, s; j 1,, r .
5
二、分块矩阵的运算
(1) 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同 的分块法，有
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1
其中Aij与Bij的行数相同，列数相同，那末
8
T A11 AsT1 A11 A1r , 则 AT . (4) 设 A T A A AT Asr sr s1 1r
(5) 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是 方阵．即 A1 O O O A O 2 , A O O As 其中Ai (i = 1, 2,·, s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵. · ·
4
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
2-4-1 分块矩阵
Bs1 Bs2 Bsr
其中各对应的子块Aij 与 Bij 有相同的行数和列
数，则 A11 B11
A
B
A21 B21
A12 B12
A22 B22
A1r B1r A2r B2r
As1 Bs1 As2 Bs2 Asr Bsr
(2) 数乘运算
设 为任意的数， 则
所以
1 2 1 0 4 0 0 1
AB
4
1
0
1
5 2 1 2
4
5
2
0
例2 设 求 A1
3 0 0 0 0
0 0 1 0 0
A
0
2
5
0
0
0 0 0 1 0
0
0
0
0
1
解 : 将A分块如下
0 2 0
1 5 0
0 0 1
0 0 0
A1
A2
E2
运算来确定。
二、分块矩阵的运算
矩阵分块后, 把小矩阵当作元素，按普通的 矩阵运算法则进行运算。
(1) 加法
设 A, B 是两个m n矩阵，且用相同的分块 法，得分块矩阵为
A11
A
A21
A12
A22
A1r A2r
B11
B
B21
B12
B22
B1r B2r
As1 As2 Asr
k 1
(4) 转置
设A得分块为 A11
A
A21
A12
A22
A1r A2r
则
As1 As2 Asr
A1T1 A2T1 AsT1
AT
A1T2
分块矩阵
a 1 0 0
即
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
C1 C3
C2 C4
4 上一页 下一页 返 回
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
A E
O B
,
其中OBEA
ab01 10
01 0ba1
a 1 0 0
a10
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
的行数 , 则
AB
C 11
C1r
其中 C ij
t
C s1 C sr
Aik B kj i 1, , s; j 1, , r .
k 1
9
上一页 下一页 返 回
4 设
A
A11
As1
A1r
,
Asr
则
AT
A1T1
A1Tr
AsT1
.
AsTr
(5) 设方阵A可分块为以下形式
AB
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
又
A1B11
B21
1 1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
1 0 1 0
AB B11 A1B11 B21
0 3 2
0 1 1
A1 O
O , A2
A1 5,
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解: 把A, B分块成
A
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
00
0 1
E A1
O E
,
B
1 1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
01 01
B11 B21
E B22
则
AB
E A1
O E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
而
A1 B11
B21
1 1
21
.
ABA
A1 O
O A2
B1 O
O B2
A1 O
O A2
A1
B1 O
A1
A2
O B2
A2
,
而
A1B1 A1
a 0
1 a
a 1
0 a
a 0
1 a
a
3 a2
a
2aa32a1,
A2 B2 A2
b 1
1 b
b 1
b0
b 1
b1
b
3 3b
2b
2
2b b3
2 1 2b
,
所以
a3 a 2a2 1 0
子块外, 其余子块均为零矩阵, 且对角线上的子块均为
方阵, 即
A1 A
A2
O
O
, As
则称A为分块对角矩阵, 或准对角矩阵.
分块对角矩阵具有下述性质:
1.
| A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
2. 设分块对角矩阵A, 若| Ai | 0 (i=1,2,···,s),
2. A可逆 Ai可逆( i=1,2,···,s ), 且 A-1=diag(A1-1, A2-1, ···, As-1).
思考题
设A
=
B O
CD, 其中B和C都是可逆方阵, 证明A可
逆, 并求A-1.
思考题解答
证: 由于B和C都是可逆方阵, 并有|A|=|B||C|0,
所以A可逆. 设
A1 WX
则| A | 0, 且,
A11 A1
A21
O
,
O
As1
3.
A1 O
O A2
O O
B1 O
O B2
O O
O O As O O Bs
A1B1 O
O
O
A2 B2 O
O
O
As Bs
.
例2:
设
A
a 0
0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
1 2
31;
所以
A1
A11 O
O
A21
1 5
0
0 0
1 1.
0
2
3
三、小结
在矩阵理论的研究中, 矩阵的分块是一种最基本, 最重要的计算技巧与方法.
分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似:
(1) 加法: 同型矩阵, 采用相同的分块法. (2) 数乘: 数k乘矩阵A, 需k乘A的每个子块.
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0
1 b
B1 B2 B3
.
B231 (0a00
1a1
1010
b0b0)).,,
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 b1
C1 C3
C C
2 4
,
0 0a C4123 (a01b10 101b10),.,
A
a 0 1 0
1 a 0 1
§2.4 矩阵分块法
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A, 为了简化运算, 经 常采用分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 具 体做法是: 用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多个 小矩阵, 每一个小矩阵称为矩阵A的子块, 以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例如: A
a 0 1 0
1b00 ,
B
a 1 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
,
求A+B, ABA.
解: 将A, B分块
a 1 0 0
a 0 0 0
A
0 0 0
a 0 0
0 b 1
0 1 b
A1 O
O A2
,
B
1
0 0
a 0 0
0 b 1
0 0 b
B1 O
O B2
,
其中
A1
a 0
1 a
0
ABA
a2 0 0
a3 a 0 0
0 b3 2b
3b2
0 2b2 1 b3 2b
.
5 0 0
例3: 设
A
0 0
3 2
11,
求A-1.
5
解: 将A分块
A
0 0
0 3 2
0 1 1
A1 O
O A2
,
形成分块对角矩阵.
其中
A1
5, A2
3 2
11,
则 A11
1 5
;
A21
A
A11
As1
A1r ,
B
B11
Asr
Bs1
B1r Bsr
其中子块Aij与Bij是同型的( i=1,2,···, s ; j=1,2,···, r ), 则
A
B
A11
B11
As1 Bs1
A1r
B1r
.
Asr Bsr
(2) 分块矩阵的数乘: 设为数, 矩阵
A
0 0 b 1
00 b1
A E
O B
,
其中
OEBA
ab01 10
00b1a1
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 1 b
A1
A2
A3
a01
A4 ,
其中
A1423
0a 10b1b0
二、分块矩阵的运算规则
(1) 分块矩阵的加法: 设矩阵A与B是同型的, 按相
同的分块法, 有
数, 则
AB
C11
C1r
,
t
Cs1 Csr
其中 Cij Aik Bkj ( i=1, 2, ···, s ; j=1, 2, ···, r ).
k 1
1 0 0 0 1 0 1 0
例1:
设
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
001,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
011,
求AB.
(3) 乘法: 矩阵A, B相乘, A的列的分块与B的行分
块相一致.
(4) 转置
A
A11 As1
A1r
Asr
AT
A1T1 A1Tr
AsT1 AsTr
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
A1 A
A2
O
O
, As
1. | A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
Z Y
,
则由
B O
D C
WX
Z Y
E O
O E
,
BX DW E
X B1
得
BZ DY O
CW O
,
即
CY E
Y C 1
Z
B1 DC 1
.
W O
因此
A1
B 1 O
B 1 C
DC
1
1
.
,
A2
b 1
1 b
;
B1
a 1
0 a
,
B2
b 1
0 b
.
所以
A
B
A1 O
O A2
B1 O
O
B2
A1
O
B1
A2
O
B2
,
其中
A1
B1
a 0
1 a
a 1
0 a
2a 1
1 2a
,
A2
B2
b 1
b1
b 1
0 b
2b 2
1 2b
,
所以
A
B
2a 1 0 0
1 2a 0 0
0 0 2b 2
0 0 1 2b
A11
As1
A1r
Asr
,
则
A
A11
As1
A1r
Asr
.
(3) 分块矩阵的乘法:设A为ml 矩阵, B为l n矩阵,
分块为
A
A11
As1
A1t , Ast
B
B11
Bt1
B1r
Btr
,
其中Ai1, Ai2, ···, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ···, Btj的行
1 1
20
1 1
01
3 0
24
1 1
01
2 1
14,
A1
B22
1 1
21
4 2
103 313,源自于是AB1 1 2 1
0 2 4 1
1 0 3 3
3011.
(4)
设
A
A11 As1
A1r Asr
,
则
AT
A1T1
A1T1Trr
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