《高等数学》空间向量与空间解析几何课件

两点间距离公式：
d M1M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
d OM x 2 y 2 z 2
练 习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或
矢量);向量的大小称为向量的模.
代数法 表 达 方 式 图示 向量的模
用带有箭头的小写字母 a, b , c ,表示 或用黑体字母 , , , 表示.
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念； 会判断平面与平面、直线与直线以及
直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂
直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与
直线的各种方程.
能力目标 通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标 平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z Ⅲ Ⅳ O Ⅶ Ⅷ x Ⅴ Ⅱ Ⅰ
Ⅵ
y
这些坐标面把空间分成八个部分 , 每一个部分 称为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为
第I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念 ,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般 具有相同的长度单位,这三条轴分 别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅 垂线 . 它们的正向通常符合右手法则 ,即以右手握 住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向. 这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系 Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
加法运算
三角形法则 图示
C A B
AB BC AC
运 算 法 则
平等四边行法则 图示
D A C
AB AD AC
B
减法运算
三角形法则
C
图示
AB AC CB
A B
运 算 法 则
平等四边行法则 图示
D C
AB AD DB
A
B
数乘运算
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平行向量
方向相同或相反的非零向量.
记作 a // b
注 零向量与任何向量都平行. 平行向量又可称作共线向量. a 图示
b
7.1.3 向量的线性运算
向量的线性运算
向 量 的 加 法 运 算
向 量 的 减 法 运 算
向 量 的 数 乘 运 算
点坐标
空间中的任意一点P 与唯一一组有序数组x、y、 z之间建立起一一对应的关系. 这组数就叫做点P 的坐标，并依次称x、y、z为 点P 的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P (x,y,z).
z C P (x,y,z)
z x O
x A
y
By
两点间距离
任取空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示 记作向量AB(或 a ， ) A B
) (注：模长是标量) AB (或 a ，
两个基本向量
零向量 记作 单位向量 记作
模长为零的向量. (方向是任意的)
0
模长为1的向量. (方向未做规定)
e
向量的三种关系
相等向量 记作 模长相等,方向相同的两个向量.
a b
注 与始点、终点位置无关； 向量可以在空间中任意平移. a 图示
b
相反向量 记作 注 图示
模长相等,方向相反的向量.
a a a
a
a
Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 Microsoft Office Powe rPoint做出来的东西叫演示文稿，其格式后 缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为：pd f、图片格式等
时针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分
依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.
练 习
1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？
A（1，-2，3） C（2，-3，4） B （2，3，-4） D（-2，-2，1）
2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？ 指出下列各点的位置. A（3，4，0） B （0，4，3） C（3，0，0） D（0，-1，0）
d M1 M2
2
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2
2
M1Q QM 2
2 2
2
z1 P x1 O
M2
M1
Q y1
（△M1QM2 是直角三角形）
M1 P PQ QM 2
P PM2 QM 2 M1
2 2
2
（△M1PQ都是直角三角形）
2
M1
y2
y
x2 x
P
(Q ) M2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2