材料力学--12截面的静矩和形心位置

6
4
1
yc
ZC
2
20
y
100
§ І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式 xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
y1 y
逆時针转取为 + 号，
x1
顺時针转取为 – 号

o
x
I x1
Ix
Iy 2
x
Ai xi Ai
,
y

Ai yi Ai
选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 x ，y, 计算 Ix , Iy , Ixy
I x I xi
I y I yi
I xy I xyi
确定主惯性轴的位置
2 (
2
0

1
I xy
)
tg
Ix
Iy
计算形心主惯性矩
解：将截面分成两个矩形截面。 zc
20
截面的形心必在对称轴 zc 上。
140
1
yc
2
取过矩形 2 的形心且平行
20
于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
y
100
A1 20 140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
zc
20
所以截面的形心坐标为
140
1
yc
ZC
ZC
A1 Z1 A2 Z 2 A1 A2
C(a,b)
y
yc
xc
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____ 截面对
x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y yc
I x I xc a A
2
Iy Iy b A
2
c
a o
C(a,b)
46.7mm
2
20
y
100
I I
1 yC

1 12 1
20 140 20 140 (80 46.7 )
3 3
2
2 yC
12
100 20 100 20 ( 46.7 )
2
zc
20
140
I yC I yC I yC 12.12 10 m
1 2
c 10
x
y
I xy

0
15 20 120 10 0 ( 25) ( 35) 70 10
4 4
97.3 10 mm
20
10
y
120 80
2 I xy tg 2 0 ( Ix I y ) 1.093
I x Iy
2α 0 在第三象限
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1 y1
Ix Iy 2
sin 2α I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
I x Iy
π d
4
x
所以
I x Iy
64
§ І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行移轴公式
x , y ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心 a （a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。 xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
y1
i 1
2 10
o
x2
x
80
y
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
矩形 1
A1 10 120 1200 mm
2
y
10
x1 5mm
y1 60mm
1
x1
矩形 2
y1
2
o
x2
y2
A2 10 70 700 mm
x 2 10 70 2 45mm
2
10
Ix Iy 2
Ix Iy
0


1 2
(I x I y )
2

4 I xy
2
0
例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。 y
c 10 10 20
120 80
70
y
x
解：该图形形心 c 的位置已确定, 如图所示。 过形心 c 选一对座标轴 X , y 轴， 计算其惯性矩（积）。
y
c 10
70
y
§І-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义 截面对 z , y 轴的静矩为： z
dA
S
z
ydA
A
y
z
S

zdA
A
o
y
y
静矩可正，可负，也可能等于零。
z
截面的形心 C 的坐标
公式为：
y
dA

ydA A
c

A
S
S
z
z
A

y
z
o
y y
z
zdA
A
y
A
A
S
z
Ay
S
y
Az
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 截面对形心轴的静矩等于零。
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角， 则有
Ix I y 2
sin 2
0

I xy cos 2 0
0
由此
tg 2 0 2I xy Ix I y
求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。
主惯性矩的计算公式
xc
I xy I x
c yc
abA
b
x
二、组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , I xyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
惯性积。
n
I
组合截面的惯性矩，惯性积
x

I
i 1 n
xi
I
y

I
i 1
yi
I xy I xyi
i 1
n
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。

Ix
Iy 2
cos 2α I xy sin 2 α
I y1

Ix Iy 2

Ix Iy 2
cos 2α I xy sin 2α
I x1 y1

Ix
Iy 2
sin 2α I xy cos 2α
上式称为转轴公式
y1 y
显然
x1

o
x
I x1 I y1 I x I y
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。 若 x , y 两坐标轴中有一个为
y dA y
截面的对称轴， 则截面对 x , y 轴的
dx dx x
惯性积一定等于零 。
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy A
,
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
二、
组合截面
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截
面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
S
z

Ay
i i 1
n
i
S
y

Az
i i 1
n
i
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
(y,
i
z ) —— 第 i个简单截面的形心坐标
i
计算组合截面形心坐标的公式如下：
2α 0 227.60
0
0
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113.8
形心主惯性轴 x0 , y0 分别由 x 轴和 y 轴绕 C点
逆时针转 113.80 得出。
形心主惯形矩为
Ix Iy
0

Ix Iy 2

1 2
I
x
Iy

2
4 I xy

2

321 10
4 4
0
57.4 10
mm
4
解：
2
dA = b dy
h 2
I x A y dA
bh
3
2
I x A y dA 2h by dy
2
12
y
Iy
hb
3
dy
12
h
C
y x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。 解：因为截面对其圆心 O 的 极惯性矩为
y
Iρ π d
4
32
I x I y Iρ
y
A y
i i 1
n
i
A
i 1
n
z
A z
i i 1
n
i
i
A
i 1
n
i
例 1-1
试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
Ai x i Ai
n
y
10
x1
1
y2
x
i 1 n

A1 x1 A2 x 2 A1 A2
x
80
y 2 5mm
所以
x
A1 x1 A A1 A A1 y1 A A1 A
2 2 2 2
x
2

37500 1900 75500 1900
20mm
y
y
2

40mm
y
10
1
x1
C (y , x )
y1
2
o
x2
y2
10
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
z
x
I
x

1 3 2 120 10 15 120 10 12 1 2 3 70 10 ( 25) 70 10 12

100.4 10
4 4
4
mm
4
I y 278.4 10 mm
20
10
120 80
70
I x0 I y0

Ix Iy 2

1 2
I x
Iy

2
4I
2
xy
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有 一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中
的极值。即：Imax = Ix0 ,
Imin = Iy0
截面的对称轴一定是形心主惯性轴。
求形心主惯性矩的步骤 确定形心 的位置

定义：
dA z
截面对 o 点的极惯性矩为
0

y
y
2 Ip Aρ dA
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
2 z dA Iy A
I
z

A
2 y dA
y
因为
2 2 2 ρ y z
dA
所以
2 Ip Aρ dA
y
x
x
0
I p = Ix + Iy
截面对 x , y 轴的惯性积为